专题由递推关系求数列的通项公式(含答案)

1、专题由递推关系求数列的通项公式一、目标要求通过具体的例题，掌握由递推关系求数列通项的常用方法：二、知识梳理求递推数列通项公式是数列知识的一个重点，也是一个难点，高考也往往通过考查递推数列来考查学生对知识的探索能力，求递推数列的通项公式一般是将递推公式变形，推得原数列是一种特殊的数列或原数列的项的某种组合是一种特殊数列，把一些较难处理的数列问题化为熟悉的等差或等比数列。三、典例精析fSn=11、公式法：利用熟知的公式求通项公式的方法称为公式法。常用的公式有an=3及、&-&,n至2等差数列和等比数列的通项公式。例 1 已知数列an中a1=2,生=n2+2,求数列an的通项公式评注

2、在运用an=Sn-Sn时要注意条件n至2,对 n=1 要验证。2、累加法：利用恒等式an=a1+(a2-a1)+(an-an)求通项公式的方法叫累加法。它是求型如an+=an+f(n)的递推数列的方法(其中数列f(n)的前n项和可求)。11例 2 已知数列an中a1=，an+=an+,求数列an的通项公式2n2+3n2a工(an#0)求通项公式的方法叫累乘法。它是求型如an4an+=g(nHn的递推数列的方法(数列%(n可求前n项积)评注此类问题关键累加可消中间项，而f(n)可求和则易得an一一-.一，a2a33、.累乘法：利用恒等式an=a1一一aa2例 3 已知数列an中Sn=1-nan,

3、求数列an的通项公式a评汪此类问题关键是化-=g(n),且式子右边累乘时可求积，而左边中间项可消。an14、转化法：通过变换递推关系，将非等差(等比)数列转化为等差或等比有关的数列而求得通项公式的方法称为转化法。常用的转化途径有：凑配、消项变换一一如将一阶线性递推公式an中=qan+d(q,d 为常数，q=0,q1)通过凑配变成例 4、已知数列an中，a1=1,an=2an,十1(n之2卜求数列an的通项公式点评：此类问题关键是利用配凑或消项变换将其转化为等比数列ca,1d11(2)倒数变换如将一阶分式递推公式 an=(c,d 为非手吊数)取倒数得=+-andan.1canca例 5 已知数列

4、an中，a1=1,an+=10,求数列an的通项公式2an1点评：此类问题关键是取倒数使其转化为一阶线性递推数列然后可用凑配、消项变换。an1d=qanq-i，或消常数项转化为an.2-an1=qan1-an对数变换如将一阶分式递推公式an+=ca；(an0,ca0,pa0,p=1)取对数可得lgani=plganlgc2-一一例 6 已知数列an中，a=10,an0,且an=10an,求数列an的通项公式点评：此类问题关键是取对数使其转化为关于an的对数的一阶线性递推数列即可用凑配、消项变换换元变换如将一阶分式递推公式an41=qan+dn（q,d 为非零常数，qwi,dwi）aqa1a变换

5、成 gi=qg+,令bn=3,则转化为一阶线性递推公式dddddrr，.、r，_、_n.一一一一.一.一例 7 在数列an中，a1=1,an4=3an+2（n=N）,求数列an的通项公式评注：此类问题关键是通过换元将其转化为一阶线性递推公式5、待定系数法递推公式为an七=pan由十qan（其中 P,q 均为常数）。解法：先把原递推公式转化为an七-san十=t（an+-san）,s+t=p其中 s,t 满足3,再应用刖面转化法（4）类型的万法求解。闾=-q21例8.已知数列9中，a=1,a2=2,an_2=-an由+-an,求an。337、叠代法例 9 已知数列右的前n项和Sn满足Sn=2an

6、+(-1)n,n1.求数列aj的通项公式。8、归纳法：由数列前几项用不完全归纳法猜测出数列的通项公式，再用数学归纳法证明其正确性，这种方法叫归纳法。*一.例 10 数列an满足Sn=2n-an(n=N),求数列an的通项公式四、实战演练1、2012 辽宁卷已知等比数列an为递增数列，且 a2=ai0,2(an+an+2)=5an+i,则数列an的通项公式为 an=.12、在数列an中，a1=3,an噌=an+，求通项公式an.n(n1)223、设数列an是首项为 1 的正项数列，且(n+1)an+-nan+an由an=0(n=1,2,3)，则它的通4、已知数列an,其中&=1,a2=2

7、,且当 n3 时，an2an+an_2=1,求通项公式ano5、设正数列a。，ai,an，an,满足，0商工JO二012=2an（n22）且a。=a1=1,求an的通项公式五、能力提升（逆推法）已知数列an）的前n项和Sn与an满足：an,Sn,Sn-（n之2）成等比数列，且ai=1,求数列2必n的前n项和Sn点评：本题的常规方法是先求通项公式，然后求和，但逆向思维，直接求出数列an的前n项和Sn的递推公式，是一种最佳解法由递推关系求数列的通项公式答案当n2由an=sn-snJL=n2+2-i(n-1)+2I=2n-13,n=1故an：2n-1,n_2回=1+1-11-1122334当n=1时

8、也成立。故有an=n11例 3 斛：当 n=1 时由a1=G=1a1可得a1=2由an1=sn由一sn=1(n+1)an书一1-nan可得例 4 解法一（凑配变换）：由an=2an4+1可得an+1=2（an,+1）,又21+1=2,故数列an+1是首项为 2,公比为 2 的等比数列，an+1=22n,，即an=2n-1解法二（消项变换）an=2an4+1工-得an由an=2（anan）（n之2）,故数列an书4是首项为a2a1=2公比为2 的等比数列即an书-an=2n,再用累加法得an=2n-1a一一11例 5 解:由an+=n一可得=一+2即2an1an1an1.、rr1，一=1+2(n

9、-1)，即an=an2n-1例 6 解：由an0,且an由=10a；可得lgan由=1+2lgan,即例 1 解:当n=1时为=s=3不满足例 2 解：由an+=an+1-2IZn+3n2可知an.1-an1112n3n2n1n2an.1ana?a3二a1一一aa2a_1an123n-2n-11=5nn1nn1当 n=1 时也成立。故有an=nn1an书=2an+11口，数列一、是以 1 为首项 2 为公差的等差数列。an二数列也ga+1是以lgai+1=2为首项以 2 为公比的等比数列，lgan+1=2n即an=102n_n_1-an=2anu2(-1),ani=2an/2(-1广.an=2

10、n(-1)2n2(TfIII2(-1尸=2n1(-1)n(-2)n1(-2)n(-2)=*_产1-L2)n43例 7 解：由an4=3an+2n可得罪3an1=*r-an122n2c(6+1)令bn=曳12nb=3bn12n,数列Jbj是以-为首项以-为公比的等比数列即bn=222uan3nbn=4-1=-n2n2即an=3n-2n例 8 解：由21an2=lan书+an可转化为33an2-san1=t(an1-san)即an2=(st)an1-stan-st-231st=3s=1s=1这里不妨选用（1t=一一3（当然也可选1s=一3，t=11an史an4(an+an)=Gn4an,正以首项为

11、a2a=131n1an+an=（），应用类型 1 的方法，分别令3n=1,2,3,；(n1),大家可以试一试），则1公比为-的等比数歹 U,所以3代入上式得（n-1）个等式累加之,10111nJ2即an-a1二().().(一)333T 产3113又丁a1=1,所以为二4一4（一3尸。例 9 解：由a1当n之2时,=S1=2al-1=a1=1an=Sn-Sn=2(烝箕。)2(-1):a2=2al-2.经验证a1=1也满足上式，所以an=22nN+（-1）nJ132-1一.时，左边=a1二1,右边=1 厂=1,猜想成立;2由-可得ak+=2-ak41+ak之2时an=SnSm不2na)d2(n1

12、)油可构造等比数列（以下略）四、实战演练1、（公式法）2n解析本小题主要考查等比数列的概念与性质.项变形式，是解决问题关键.由已知条件an为等比数列，可知，2（an+an+2）=5an+1?2（an+anq2）=5anq?2q25q+2=0?q=；或2,又因为an是递增数列，所以 q=2.由 a5=a10得a5=q=32，所以 a1=2,an=aqn-1=2n2、（累加法）解：原递推式可化为:则a2二a1a4=a31-33、（累乘法）1,anan14解：原递推式可化为：1一一一-逐项相加得:nan=a11_1,121一*1一一.故n_.11333223an=4-1.n(n1)am-nan(an

13、1an)=0an书+an0,an1ann1n1方法一.an=2an12(-1)一，_anj西=-2十21公比为-2首项为3(-1)1-2-.a-2=_2(n-)(-1)n3(-1)3-的等比数列3（以下略）3例 10 斛：易求a1=1,a2=2，a3715-=,a4=,由此可猜想an48n)2-12n卜面用数学归纳法证明：当n=1假设 n=k 时命题成立，即ak2k-12k,那么由已知sk=2k-akak1t=12k-12k1-12k1-12k=住小二，即当n=k+1时命题也成立。221广*.由，可知命题对任何n=N都成立。点评:此类问题关键是利用归纳假设的ak证明 n=k+1 时命题成立。方

14、法二、n=1时a1=S1=2-aa十1解题的突破口为灵活应用等比数列通4、（换元法与累加法的综合）解由an-2an1十街/=1 得：（an一an）一（an一an_2）=1,令bn=n.。由于b1b2bm=a2-a1a3-a2ann(n-1)21所以an1=In（n1）,即 5、（换兀法与累乘法综合）2a2则a12%3a3逐项相乘得:an11=,即an=.a1nbn,=ananL则上式为立=1,因此3是个等差数列,bi=a2a1=1,公差为 1.故_a_2虹=1ani.anN设bn=-n-，则b1=I=1,bn-2、,=1,故有bn,anJ:ao一23=1bn=2bn,+1=bn+1=2(bn二+1)=bn+1是公比为2,首项为 2 的等比数列，bn=2n1即三=2n1.，旦=(2n1)2an工an逐项相乘得：an=(2-1)2(22-1)2：(2n-1)2,考虑到a0=1,故an1-