三年高考2017-2019文数真题专项汇编：专题04导数及其应用解答题解析版

1、专题 04 导数及其应用(解答题)1.【2019 年高考全国I卷文数】已知函数 f(x)=2sinx-xcosx-x,f(x)为 f(x)的导数.(1)证明：f(x)在区间(0,力存在唯一零点；(2)若 xC0,兀时，f(x)*x,求 a 的取值范围.【答案】(1)见解析；(2)a,0.【解析】(1)设g(x)f(x),则g(x)cosxxsinx1,g(x)xcosx.Tt_TT.，、.兀.TT.当x(0,)时，g(x)0；当x,冗时，g(x)0,所以g(x)在(0,)单倜递增，在一，冗单2222调递减.一冗，、-，一、一一一-4二一又g(0)0,g-0,g(冗)2,故g(x)在(0,力存在

2、唯一零点.所以f(x)在(0,时存在唯一零点.(2)由题设知f(力af(花)0,可得aw。.由(1)知，f(x)在(0,/)只有一个零点，设为x,且当x0,%时，f(x)0；当x/，冗时,f(x)0,所以f(x)在0,x0单调递增，在,冗单调递减.又f(0)0,f(u)0,所以，当x0,用时，f(x-0.又当a,0,x0,用时，ax0,故f(x)ax.因此，a 的取值范围是(,0.【名师点睛】本题考查利用导数讨论函数零点个数、根据恒成立的不等式求解参数范围的问题.对于此类端点值恰为恒成立不等式取等的值的问题，通常采用构造函数的方式，将问题转变成函数最值与零之间的比较，进而通过导函数的正负来确定

3、所构造函数的单调性，从而得到最值2.【2019 年高考全国n卷文数】已知函数f(x)(x1)lnxx1.证明：(1)f(x)存在唯一的极值点；(2)f(x)=0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数.【答案】(1)见解析；(2)见解析.【解析】(1)f(x)的定义域为(0,+).,，、x1,/,1f(x)Inx1Inx-.xx1因为ylnx单倜递增，y单调递减，所以f(x)单调递增，又f(1)10,x，1ln41，f(2)ln2-0,故存在唯一xo(1,2),使得fxo0.22又当xxo时，f(x)0,f(x)单调递减；当xxo时，f(x)0,f(x)单调递增.因此，f(x)存在唯一的极值点.由

4、(1)知fx0f(1)2,又fe2e230,所以f(x)0在x0,内存在唯一根x.,一1由x01得一1%.一1111f()1一一一.又f1ln1(=0,故一是f(x)0在0,x0的唯一根.综上，f(x)0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数.【名师点睛】本题主要考查导数的应用，通常需要对函数求导，用导数的方法研究函数的单调性、极值，以及函数零点的问题，属于常考题型.3.【2019年高考天津文数】设函数f(x)lnxa(x1)ex,其中aR.(I)若a0,讨论f(x)的单调性；41(n)若0a-,e(i)证明f(x)恰有两个零点；x1为f(x)的零点，且x1x0,证明3x0 x12.)内单调递增

5、.；(n)(i)见解析；(ii)见解析.(ii)设x0为f(x)的极值点,【答案】(I)f(x)在(0,【解析】(I)解：由已知,f(x)的定义域为(0,)，且1(x)xd2xx,、x1axeaea(x1)e因此当a旬时，12xaxef(x)0,所以f(x)在(0,)内单调递增.(n)证明：(i)由(I)知f(x)2x1axe.令g(x)1ax2ex,由0a1,e可知g(x)在(0,)内单调递减，又g(1)1ae0,且考查函数思想、化归与转化思想.考查综合分析问题和解决问题的能力32.【2019 年高考全国出卷文数】已知函数f(x)2xax2.(1)讨论f(x)的单调性；(2)当 0a0,则当

6、x(,0)U-,3时，f(x)0；当x时，f(x)0.故f(x)在若 a/1xlnx,x，则7(x1)1%x(*2x21)x.x1(.x1)(.x1.2x)x17(1(1,)p(x)0+p(x)1p()单调递减极小值p(1)单调递增所以，p(x)p(1)0.因此，g(t)g(2.2)2p(x)0.11一-1(ii)当x,-时，g(t)-gJ1e7.x令q(x)2,xInx(x1),x.11,1故q(x)在 f上单倜递增，所以q(x),q一e77所以，q(x)0.p(x)2v222xXJx,xx1x2xInx(x1)2.x0,由(i)得,27vp2、7/八p(1)因此g(t),g11q(x)0.

7、则q(x)11由(i)(ii)知对任意x,e,t272,),g(t)O即对任意x-12,均有f(x),.e2a.2综上所述，所求 a 的取值范围是0,丝,4【名师点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系.(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数.(3)利用导数求函数的最彳 1(极值)，解决生活中的优化问题.(4)考查数形结合思想的应用.【2019 年高考江苏】设函数f(x)(xa)(xb)(xc),a,b,cR、f(x)为 f(x

8、)的导函数.(1)若 a=b=c,f(4)=8,求 a 的值；(2)若 a 巾，b=c,且 f(x)和 f(x)的零点均在集合3,1,3中，求 f(x)的极小值；4(3)若a0,0b,1,c1,且f(x)的极大值为M,求证：MW.27【答案】(1)a2；(2)见解析；(3)见解析.【解析】(1)因为abc,所以f(x)(xa)(xb)(xc)(xa)3.因为f(4)8,所以(4a)38,解得a2.(2)因为 bc,所以f(x)(xa)(xb)2x3(a2b)x2b(2ab)xab2,2ab2ab从而f(x)3(xb)x2ab.令f(x)0,得xb或x2ab.33因为ab&b都在集合3,

9、1,3中，且ab,32ab所以刍-1,a3,b3.3此时f(x)(x3)(x3)2,f(x)3(x3)(x1).令f(x)0,得x3或x1.列表如下：x(,3)3(3,1)1(1,)f(x)+0一0+7.f(x)Z极大值极小值Z所以f(x)的极小值为f(1)(13)(13)232.(3)因为a0,c1,所以f(x)x(xb)(x1)x3(b1)x2bx,f(x)3x22(b1)xb.22因为0b1,所以4(b1)12b(2b1)30,则f(x)有 2 个不同的零点，设为x1,x2x1x2.b1b2b1b1.b2b1由f(x)0,得为,x2.33列表如下：x(,x1)x1x1，x2x2(x2,)

10、f1(x)+0一0+f(x)Z极大值极小值Z所以f(x)的极大值Mfx1.解法一：32,Mfx1x(b1)x1b%22x1b12bbib(b1)3x12(b1)x1b-%39992b2b1(b1)27b(b1)3bb127b(b1)2(b1)2(b1)27272|(,b(b1)1)3b(b1)24272727解法二：因此M427因为0b1,所以x1(0,1).当x(0,1)时，f(x)x(xb)(x1)x(x1)2.2_1令g(x)x(x1),x(0,1),则g(x)3x-(x1).31令g(x)0,得x.列表如下:3x1。3)13或)g(x)+0一g(x)Z极大值114所以当x1时，g(x)

11、取得极大值，且是最大值，故g(x)maxg13.332744所以当x(0,1)时，f(x)g(x),因此M.2727【名师点睛】本题主要考查利用导数研究函数的性质，考查综合运用数学思想方法分析与解决问题以及逻辑推理能力.(1)求曲线yf(x)在点(0,1)处的切线方程；证明：当a1时，f(x)e0.【答案】(1)2xy10;见解析.【解析】(1)f(x)-ax-(2：1)x2f(0)2.e因此曲线yf(x)在点(0,1)处的切线方程是2xy10.(2)当a1时，f(x)e(x2x1ex1)ex令g(x)x2x1ex1,则g(x)2x1ex1所以g(x)g(1)=0.因此f(x)e0.【名师点睛

12、】本题考查函数与导数的综合应用，第一问由导数的几何意义可求出切线方程，第二问当a18.【2018 年高考全国出卷文数】已知函数f(x)2axx1xe当x1时，g(x)0,g(x)单调递减；当x1时，g(x)0,g(x)单调递增;时，f(x)e(x2x1ex1)ex,令g(x)x2x1ex1,求出g(x)的最小值即可证明x9.【2018 年高考全国 i 卷文数】已知函数fxaelnx1.(1)设x2是fx的极值点，求a,并求fx的单调区间；八-1(2)证明：当a-时，fx0.e【答案】(1)在(0,2)单调递减，在(2,+8)单调递增；(2)见解析.1【解析】(1)f(x)的TE义域为(0,),

13、f(x)=aex-.x1由题设知，f(2)=0,所以 a=.2e1x,1x1从而f(x)=-2eInx1,f(x)=-2e.2e2ex当 0Vx2 时，f(x)2 时，f(x)0.所以 f(x)在(0,2)单调递减，在(2,+8)单调递增.(2)当 a，时，f(x)e$-xe一设g(x)=lnx1,则g(x)e当 0 x1 时，g(x)1 时，g(x)0.所以 x=1 是 g(x)的最小值点.故当 x0 时，g(x)匐(1)=0.1.因此，当a时，f(x)0.e【名师点睛】该题考查的是有关导数的应用问题，涉及的知识点有导数与极值、导数与最值、导数与函数的单调性的关系以及证明不等式问题，在解题的

14、过程中，首先要确定函数的定义域，之后根据导数与极值的关系求得参数值，之后利用极值的特点，确定出函数的单调区间，第二问在求解的时候构造新函数，应用不等式的传递性证得结果.132.10.【2018 年局考全国 n 卷又数】已知函数fx-xaxx1.xe1一一ex3(1)若a3,求f(x)的单调区间；(2)证明：f(x)只有一个零点.【答案】(1)在(但，3273),(32百，+)单调递增，在(32后,32/3)单调递减；(2)见解析.1Q。c【解析】(1)当a=3时，f(x)=_x3x3x3,f(x)=x26x3.3令f(x)=0解得x=32J3或x=32近.当xC(3，32乔)U(32邪,+00

15、)时，f(x)0；当xC(324,32出)时，f(x)0.故f(x)在(PO,32J3),(32J3,+8)单调递增，在(32P,32/3)单调递减.3x由于x2x10,所以f(x)0等价于 F3a0.xx13设g(x)=hx3a,xx1，x2(x22x3).贝Ug(x)=-4/可，仅当x=0时g(x)=0,(xx1)所以g(x)在(3,+8)单调递增.故g(x)至多有一个零点，从而f(x)至多有一个零点.11、21八又f(3aT)=6a22a6(a-)20366f(3a+1)=10,故f(x)有一个零点.3综上，f(x)只有一个零点.【名师点睛】(1)用导数求函数单调区间的步骤如下：确定函数

16、的定义域；求导数&；由00。(或口)解出相应的3的取值范围，当(a)。时，在相应区间上是增函数；当(狂)1,则当x(一,1)时，f(x)0；a当x(1,)时，f(x)0.所以f(x)在 x=1 处取得极小值.若a1,则当x(0,1)时，ax1x10,所以f(x)0.所以 1 不是f(x)的极小值点.综上可知，a 的取值范围是(1,).方法二：f(x)(ax1)(x1)ex.(1)当 a=0 时，令f(x)0得 x=1.f(x),f(x)随 x 的变化情况如下表：x(,1)1(1)f(x)+0-f(x)极大值f(x)在 x=1 处取得极大值，不合题意.1当 a0 时，令f(x)0得x1,

17、x21.a当x1x2,即 a=1 时，f(x)(x1)2ex0,f(x)在R上单调递增，f(x)无极值，不合题意.当x1x2，即 0a1 时，f(x),f(x)随 x 的变化情况如下表:x1(,一)a1a1(-,1)a1(1,)f(x)+0一0+f(x)/极大值极小值.f(x)在 x=1 处取得极小值，即 a1 满足题意.1当 aQ 这时g(x)在 R 上单调递增，不合题意.-2d21、d21当 d21 时，g(x)=0,解得XI=产,x2=尸一33易得，g(x)在(-8,XI)上单调递增，在XI,x2上单调递减，在(x2,+丐上单调递增.3ew士d212、.3(d21)2cKg(x)的极大值

18、 g(xi)=g(-了)=96j30.3g(x)的极小值 g(x2)=g(1)=-2包d21尸66.39若 g(x2)由 g(x)的单调性可知函数 y=g(x)至多有两个零点，不合题意.3若g(x2)0,即(d21)227,也就是|d|屈,此时|d|x2,g(|d|)|d|6730,且2d|xi,g(2|d|)6|d|32|d|6g62而6出0,从而由g(x)的单调性，可知函数yg（x）在区间（2|d|,为）,（为，x?）x2,|d|）内各有一个零点，符合题意.所以，d的取值范围是（，J10）U（M,）.【名师点睛】本小题主要考查导数的运算、导数的几何意义、运用导数研究函数的性质等基础知识和方

19、法，考查函数思想和分类讨论思想，考查综合分析问题和解决问题的能力【答案】（I）见解析；（n）见解析1111由f(x1)f(x2)得2Xr27：2.为x12、：x211因为xx2,所以衣反由基本不等式得11x2Jx1&72yxix2因为xx2,所以为加256.设g(x)1VxInx,2则g(x)(,x4),4x所以x(0,16)16(16,+8)【解析】（I）函数f（x）的导函数f（x）_1_2.x由题意得f(x1)f(x2)x11nxi.x2Inx21,xx2ln(x1x2).g(x)-0+g(x)2-4ln2z所以 g(x)在256,+8)上单调递增,故g(x1x2)g(256)88

20、1n2,即f(xi)f(X2)881n2.(n)令 m=eqak),n=(_a_1)21,则kf(m)-km-a|a|+k-k-a0,f(n)*n*n(；a.nn所以，存在XOC(m,n)使 f(XO)=kx0+a,所以，对于任意的 aeR 及 ke(0,+oo),直线尸 kx+a 与曲线 y=f(x)有公共点.设h(x),x.lnx122xg(x)1a52x故g(x)T+aWg(16)-1+a=-3+4ln2+a0,直线 y=kx+a 与曲线 y=f(x)有唯一公共点.【名师点睛】本题主要考查函数的单调性，导数的运算及其应用，同时考查逻辑思维能力和综合应用能力.【2018 年高考江苏】某农场

21、有一块农田，如图所示，它的边界由圆。的一段圆弧 MPN(P 为此圆弧的中点)和线段 MN 构成.已知圆 O 的半径为 40 米，点 P 到 MN 的距离为 50 米.现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚 I 内的地块形状为矩形 ABCD,大棚 H 内的地块形状为 4CDP,要求 A,BA,B 均在线段 MN 上，C,DC,D 均在圆弧上.设 OC 与 MN 所成的角为.(1)用分别表示矩形 ABCD 和 4CDP 的面积，并确定 sin 的取值范围；(2)若大棚 I 内种植甲种蔬菜，大棚 H 内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为由(I)可知 g(x)为(16),又 aw34

22、1n2,由 f(x)=kx+a 得k.lnxa则h(x)14.4:3.求当为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大.【答案】(1)矩形 ABCD 的面积为 800(4sin0cos 卅 cos。)平方米，4CDP 的面积为 1600(cos。-sin9cos0)平方米，sin。的取值范围是工，1;(2)当,时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大.46【解析】(1)连结 PO 并延长交 MN 于 H,则 PHXMN,所以 OH=10.过 O 作 OELBC 于 E,贝 UOE/MN,所以/COE=0,故 OE=40cos。，EC=40sin0,则矩形 ABCD 的面积为 2%0cos。(40si

23、n 卅 10)=800(4sin9coscos，1CDP 的面积为一 X20),则年总产值为 4kx800(4sin0cos 卅 cos0)+3kM600(cos。-sin(Cos0)，.一一八n.=8000k(sin(Cos 卅 cos0),0(b,-.2设 f(0)=sin(CosOcos0,0(02则f()cos2sin2sin(2sin2sin1)(2sin1)(sin1).令f()=0,得仁 6当长(缸)时，f()0,所以f(为增函数；6当长(，)时，f()0,所以f(0)为减函数，62因此，当打时，f()取到最大值.6答：当打时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大.6【名师点睛】本小

24、题主要考查三角函数的应用、用导数求最值等基础知识，考查直观想象和数学建模及运用数学知识分析和解决实际问题的能力.15.【2018 年高考江苏】记f(x),g(x)分别为函数f(x),g(x)的导函数.若存在x0R,满足f(x0)g(x0)且f(x)g(x),则称x0为函数f(x)与g(x)的一个“S 点”.(1)证明：函数f(x)x与g(x)x22x2不存在“S点”；2右函数f(x)ax1与g(x)lnx存在 S 点，求实数 a 的值；2,、bex(3)已知函数f(x)xa,g(x).对任息a0,判断是否存在b0,使函数f(x)与g(x)x在区间(0,)内存在“S 点”，并说明理由.e【答案】

25、(1)见解析；(2);(3)见解析.2【解析】(1)函数 f(x)=x,g(x)=x2+2x-2,贝 Uf(x)=1,g(x)=2x+2.由 f(x)=g(x)且 f(x)=g(x),得xx22x2,此方程组无解，12x2(2)因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4:3,因此，f(x)与 g(x)不存在S点.因此，对任意 ao,存在 bo,使函数 f(x)与 g(x)在区间(o,+8)内存在“S 点”.【名师点睛】本小题主要考查利用导数研究初等函数的性质，考查综合运用数学思想方法分析与解决(2)函数f(x)2axg(x)则f(x)g(x)设 x0为 fg(x)S”点,由 f(xo)=g(x

26、o)且 f，(xo)=g(xo),得_2ax1lnxo2axoxo2ax。22axolnxo,(*)得Inxoxo112(e1e5当a时，x0e2满足方程组2*),即 xo为 f(x)与 g(x)的S点.因此，a 的值为 e.2(3)对任意 ao,设h(x)x33x2axa因为h(o)ao,h(1)13o,且 h(x)的图象是不间断的,所以存在xe(o,1),使得h(xo)o.令b2x3ex(1xo),则 bo.函数f(x)a,g(x)bexx则f(x)g(x)bex(x1)由 f(x)=g (x)且 f(x)=g(x),得bex2x32xxbex(x1)ex(1x0)x此时,2x2x3ex(

27、x1),(*)xo满足方程组(*),即ex(1x)x2xo是函数 f(x)与 g(x)在区间(o,1)内的一个“S 点”.问题以及逻辑推理能力.16.【2017 年高考全国I卷文数】已知函数f(x)=ex(ex-a)-a2x.(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)0,求a的取值范围.【答案】(1)当a0时，f(x)在(，)单调递增；当a0时，f(x)在(，lna)单调递减，在a,a(lna,)单调递增；当a0时，f(x)在(,ln(一)单调递减，在(ln(-),)单调递增；(2)2232e4,1.【解析】(1)函数f(x)的定义域为(，)，f(x)2e2xaexa2(2exa)(exa)

28、,若a0,则f(x)32”,在(，)单调递增.若a0,则由f(x)0得xlna.当x(,lna)时，f(x)0;当x(lna,)时，f(x)0,故f(x)在(,lna)单调递减，在(lna,)单调递增.-若a0,则由f(x)0得xln(a).2-当x(,ln(一)时，f(x)0；当x(ln(-),)时，f(x)0,故f(x)在(,ln(一)单222-.倜递减，在(ln(-),)单调递增.2若a0,则f(x)e2x,所以f(x)0.若a0,则由(1)得，当xlna时，f(x)取得最小值，最小值为f(lna)a2lna.从而当且仅当a2lna0,即a1时，f(x)0.-若a0,则由(1)得，当xl

29、n(与)时，f(x)取得最小值，最小值为2-_33333f(ln(a)a2ln(一).从而当且仅当a2ln(-)0,即a2e4时f(x)0.242423综上，a的取值范围为2e4,1.【名师点睛】本题主要考查导数两大方面的应用：(1)函数单调性的讨论：运用导数知识来讨论函数单调性时，首先考虑函数的定义域，再求出f(x),由f(x)的正负，得出函数f(x)的单调区间；(2)函数的最值(极值)的求法：由确认的单调区间，结合极值点的定义及自变量的取值范围，得出函数f(x)的极值或最值.17.【2017 年高考全国n卷文数】设函数f(x)(1x2)ex.(1)讨论f(x)的单调性；当x0时，f(x)ax1,求a的取值范围.【答案】(1)在(，1/2)和(1J2,)单调递减，在(1J2,1J2)单调递增；(2)1,).【解析】(1)f(x)(12xx2)ex.令f(x)0得x1也x1+72.当x(,1历时，f(x)0；当x(172,172)时，f(x)0；当x(1J2,)时，f(x)0.所以f(x)在(，1历和(1位，)单调递减，在(1夜，1J2)单调递增.(2