电动力学第四章

1、电动力学B刘克新第四章电磁波的1本章主要内容§1、波动方程和平面电磁波§2、电磁波在介质表面的反射和折射§3.导体中的电磁波§4、波导与谐振腔2§1、波动方程和平面电磁波Ø 1、波动方程及其解Ø 2、平面电磁波的能量密度和能流密度3Ø 1、波动方程及其解变化的电磁场以波的方式,变化的电流是电磁波源。电磁波一经产生，离开源后就按自身规律运动。需要研究两个问题：(1)(2)电磁波的激发问题(下一章)。电磁波自身的运动规律，即电磁波的传输。讨论限于某一区域，其内为线性、均匀、各向同性介质， 即e(w)、m(w)、s 都不

2、随空间位置变化，并且区域内没有自由电荷分布。如果把e、m、s 分别用真空中的对应量e0 、m0 、0代替， 就得到真空中的结果。4介电常数和磁导率与频率有关的现象称为介质的色散，m = m(w)，e = e (w ).即这将导致介质中不同频率的电磁波有不同的波速。rrD = å D(wi ) = åe(wi )E(wi )¹ e E.这时ii仅当电磁波只含有单一频率 w 时，或者介质没有色散时上式对应的等式才成立。B与H的关系类似。Ñ× D = 0,1234Ñ× B = 0,Ñ´ E = -¶B

3、 / ¶t,介质中的Maxwell方程组rÑ´rr¶H = J f+ ¶t D.s E5把方程组3式两边取旋度:rÑ´ (Ñ´ r= -m ¶ Ñ´ H ,r¶ E) = - ¶tÑ´ B¶trrÑ(Ñ × D ) - Ñ2E = -Ñ2Ee方程组4式对 t 偏导:r¶ Ñ´ rr¶ æ¶E öH =

4、82;tçs E + e¶t ÷ ,¶tè¶2Eør¶r- msE = 0,Ñ2E - me消去H得：¶t 2¶t如果从Maxwell方程组消去E得：rr¶2B¶BB - me- msÑ2= 0.¶t 2¶t6对于绝缘体，由s = 0 得到电磁场的波动方程r¶2EE - meÑ2= 0,¶t 2把上面的E换成B就得到关于B的方程。这些方程限于电磁波只含有单一频率 w （单色波），或无色散介质。一般形式的电磁

5、波可以通过单色波的叠加。v 上述波动方程的单色波r 解可写成复数形式更为方便：E = E ei (k gr -wt ),0réù实际电磁波取实部： E = Re Ei (k gr -wt )e,ëû0其中， E0 是复常矢量，其幅角是初始时刻原点处波动的初相位，这里的k和w 分别为实常矢量和实标量。7电磁场的复数表示方法是为了有关电磁波的运算方便，前提是取实部的操作与所作的运算可交换次序。这样才能保证运算后再取实部所得结果的正确性。rv 电场对时间偏微商：¶E / ¶t = -iw E,限于E 的上述形式，可以用代换关系表示：

6、2; Þ -iw.rrrrr ¶t¶E / ¶x = ikx E, ¶E / ¶y = iky E, ¶E / ¶z = ikz E,由代换关系：Ñ Þ ik ,rrrÑ× E = ik × E,Ñ´ E = ik ´ E.例如，v 如果限于单色波解， Maxwell方程组的前2式是不的，因为对4式求散度就得到1式：8rrr ùr¶éÑ×êÑ´ H = s

7、E + ¶t Dú Þ 0 = Ñ× D,ëû。同样可说明2式也不v 电磁波的解的性质：(1) 等相位面，波矢量，波长，相速度k把电场的复数解代入波动方程，得r-k 2E + mew 2 E = 0,rk = wme ,O从波动方程知，k 可以取任意方向。kr wt = const 给出等相位的条件，在任一时刻，垂直于k 的全部空间点即等相位面。了一个平面，9等相位面若把 x 轴取在k方向，则等相位条件变为k x wt = const,k dx wdt = 0，微分得wk 1medxdt=v =由此得等相位面移动的速度为：.

8、等相位面沿k方向移动，因此k 被称为波矢，= w= 2p ,k = wmel为波长。lv在真空中，设电磁波的速度为 c，由上面的速度公式得：1c =,m0e0这个速度与真空中的光速相同，因此Maxwell认为，光是一种电磁波。10v = 1= c n=cmrer< c,电磁波在介质中的速度为：men 是介质的折射率，通常大于1。(2) 电磁波的横波特性Ñ´ E = -¶B / ¶t 得：ik ´ E = iwB,由由于这个等式对任意时间、任意地点都成立，所以， B和E的波矢、圆频率、初始时刻在原点的r初相位必须相等，消去共同的指数因子得：

9、 k ´ ER = wBR ,这里，下标r“R”表示复矢量的实数（Real）振幅部分，即E = E ei (k gr -wt )ei (k gr -wt +a ).= E0R rrrrrrrr磁场B垂直于波矢k 。由此得，k × BR= k × (k ´ ER ) = ER × (k ´ k ) =r0再由Gauss定理 Ñ× E = 0即k也与E垂直。得：k × ER = 011所以ER，BR，k相互垂直的右手系（与i，j，k三个方向之间的关系相同）。即电磁r 波为横波，如图。k ´ ER =

10、 wBR= v,由3者相互垂直及关系式E = w得：Bk在真空中，这个比值就是光速 c （如果用Gauss 比值为1）。制，这种等相位面为平面，电场（磁场）沿固定方向，并且振幅不随时间和位置变化的波称为平面波。12Ø 2、平面电磁波的能量密度和能流密度由于能量密度和能流密度都有场强的二次式r，(Re E)2 ¹ Re E2.与取复共厄运算不可交换，即在求平均值时需要注意。平面电磁波的能量密度为：rrrru = 1 e (Re E) +1m1m(Re B) = e (Re E)=2222(Re B) ,2根据平面电磁波的电、磁场的比例关系知道，电场的能量和磁场能量相等。制的关

11、系，E，B 没有直接的可比性，若要相由于比，就要看对能量的贡献。在这个意义上，可认为平面电磁波中电场和磁场相等。13v 平面电磁波的能流密度为：rrrremS = Re E ´ Re H= Re E ´k ´ Re Ere1= (Re E)m k =uk = uvk,me2这表明能流密度就是能量密度 u 以相速v 沿方向的。电磁场随时间周期性变化，时间平均值更为重要。由于用复数表示电磁波，在求时间平均值时用到以下公式。14ei(a -wt +b ) ,g(t) = gei(a -wt ) ,设2个函数 f、g ：f (t) = fRR它们的实部分别代表某2个物理量

12、，其中a 、b 是任意不依赖 t 的函数，例如 k·r 。 fR 和 gR 都是实数。f 和 g 的周期平均值为：fg º< fg > º 1Tòf cos(wt -a) gcos(wt -a - b )dt,R R T0= 1 cos b + cos(2wt - 2a - b )= 1 fg cos b ,2RR2计算：1 Re( f g*) = 1 Re( f * g)22= fg,= 1 f2g cos bRR15由此可以得出结论，求2个物理量的周期平均值时，把任意一个量取复共轭，与另一个相乘，其积的实部的一半就是这2个量的周期平均值。

13、上述结论也可以用来求两r个矢量相乘的平均值，< f ´ r >, < f × r > .例如可以求ggr1u = e < E2 >e ER ,=2因此，2r1<>=rr´e E2 k.= 12SRe(EH*)2mR16§2、电磁波在电介质表面的反射和折射Ø 1、 反射定律和折射定律Ø 2、Fresnel公式Ø 3、全反射17电磁波入射于介质界面时，会发生反射和折射现象。任何波动在界面上的反射和折射现象都与边值问题相关，它是由波动的基本物理量(例如 E, B)在两种不同介质的界面

14、上的边值关系确定的。Ø 1、 反射定律和折射定律由于电介质是绝缘体，在界面上 Kf 0，电荷，即 af 0，设界面上在第一章导出的一般情况下的电磁场的边值关系为:D2n D1n af0 ，B2n B1n ，n× ( E2 E1 ) 0 ，0 .n× ( H2 H1 ) Kf18前面讨论过，对平面电磁波而言， Maxwell方程组中的4个方程中，第1、2两个是不的。对应的，在上述边值关系中，只需要考虑后面2个方程。设介质 1 和介质 2 的分界面是无穷大平面， 且平面电磁波从介质 1 入射于界面上。与入射电磁波相关的量用上标zktqti （incident）表示，则

15、21rrririEi =Ei ei (k ×r -w t ) ,x0被界面挡住返回的波称为反射波，qqrikikr用上标r （reflected）表示，rrrrrrEr=Erei (k ×r -w t ) ,019z反射波是否是平面波？一般形式的电磁波总可以表示成平面波的叠加。可先把反射波设为平面波的形式， 如果结果不是平面波，就应该解出多个频率和(或)波矢。穿过界面进入介质2的波称为折射波ktqt21xqqrikikr或透射波（refracted，transmitted），rrrtr用上标 t 表示， Ett=Et ei (k ×r -w t ) ,0= 0,k

16、 i对入射波，选坐标轴使入射波矢在 x-z 平面，即代入电场在界面（ z=0）的边值关系的 x 分量：yrrri ( k x+k y -w tt ) ,tti ( k x+k y -w t )i ( k x-w t )ii+ Er e= EtEieexyxyx0 x0 x0 x20z在上述方程中取坐标为原点值，再除以入射波的振动因子得：ri (w it -w rt )ktqtei (w it -w tt ) ,= EtEi0 x21此式对任意时间都成立，所以得xw i= w r= w t= w ,qqri即入射、反射、透射波的频率相同。kikr消去w,得：= k ,irk t1xx= k t=

17、 0.k ryy即反射波、透射波也都是平面波，ki、kr 、kt 都在x-z 平面内。= w 2 me ,= w 2 / v2k 2k i由得： 再加上= k r ,1 式和反射波本身的特点得：k i= -kr ,zz21q i= q r ,z光学中的反射定律。对透射波，ktqtsinqk i/ k iik t= x21sinq tk t/ k tk ixxm evinqq= 22 =ri= n, 2 m evt21nkikr111这就是光学中的折射定律（Snell定律）。Ø 2、Fresnel公式入射、反射、折射波的振幅关系(反映了强度关系)。以入射平面做基准，把电场分解成垂直和平

18、行于该平面的2个的方向，如下页图。22垂直方向以从外面进入屏幕为正，平行方向、垂直方向和波矢右手关系就规定了平行分量的正向。zktEt0+qtEt电场在界面上连续可以给出x, y 2个方向的方程：x方向：210PxqqEiirEr0 +0kr(E- E) cosq= Ecosq ,12irittki0P0P0PEiEry方向：Ei+ Er= Et,0P0P000r1 æ kr öH = m ç w ´ E ÷ ,对平面波，H与E有如下关系：èø在界面的自由面电流密度为0的情况下， H在界面上也是连续的：2311+ k r E

19、r ) cosq i = -cosq t ,3(-ki Eik t Etx方向：m000m1211(ki Ei + k r Er ) =k t Et,y方向：4mm0P0P0P12在入射电磁波已知的情况下，求反射和透射波的4个分量（各有2个分量） 。上面的方程也是4个，原则上反射和透射波的振幅都可以解出来。m1 » m2 » m0 ,一般可设me = w n / c µ n µk = we ,由2和3式得， Ercosq icosq i- nt cosq t+ nt cosq tni 0=Eini024= - sin(q i-q t )sinq int1

20、+q t ) ,=sinq t)(用sin(q ini2ni cosq2 cosqsinq tEtii2= 0 .cosq i + nt cosq tsin(q i +q t )Eini0= tan(q i-q t )+q t )Ercosq icosq i- ni cosq t+ ni cosq tnt由1和4式得，0P=3,tan(q iEint0PEt2 cosq i sinq tsin(q i +q t ) cos(q i -q t ) 0P=.4Ei0P上面4式就是光学中的Fresnel公式。这里导出的结果与光学实验一致，说明Maxwell方程是许多光学规律的理论基础，光是一种电磁波

21、。25根据Fresnel公式，我们可以得出以下结论：入射波只有垂直分量，则反射波和透射波也只有垂直分量；对平行分量也一样。自然光可以看作各种频率和振动方向的平面波的叠= Ei加，因此 Ei, 一般地，反射或透射后的电磁波的00P这2个方 向的振幅不再相等，即为部分偏振光。(3) 当入射角与透射角之和为p /2 时，该入射角记为qB ，qB +q= p / 2,tq i= qB ,由Fresnel公式 3 知道，这时= 0,= ErErEr,00P0即反射电波完全变成方向的偏振波。这个规律在1812 年由D. Brewster 发现，被称为Brewster定律。26发生这种现象的入射角称为Bre

22、wster角，即qB 。由折射sinq= nt sinq t = nt cosq ,ni定律得BB最后得出计算Brewster角的公式： tanqB= nt / ni .(4)半波损失Fresnel公式也能给出波动的相位关系，例如当电磁波从光疏介质到光密媒质入射（e1< e2），Ei = Ei并且入射波只有垂直分量（）时，00由Fresnel公式 1 得：< 0,180°的相位突变，Er/ Ei00这表明，从入射波到反射波出现了这种现象称为半波损失。27Ø 3、全反射当 e1 > e2 ，即 v1 < v2 时，如果入射角满足m e/ m esinq

23、 i = n= v / v (< 1),21则透射角为90°： sinq t221112= v2= v2v1sinq i= 1,v1v1v2当入射角再增大时， sinq t 将大于1，透射角没有实数解.z设边值关系仍然成立,得：ktqt= k tsinq ik i= k i= 0,> 0,xx21= k tk iyyxq= k inqk t再由ri21v1kikr得= k ik t< k i sinq i= k t ,xv228透射波矢的 x 分量比这个波矢本身还大，所以透射波矢的 z 分量只能是纯虚数，(kt )2 - (kt )2 = ±ki-(sin

24、2 q i - n2 ) = ±k tzx21= ±ikisin2 q i取正值,透射波的解为：= ±ia,- n221rEtr- azi (k x-wt )t=E ete,x0取解的实部即得到电场的解，表示随着z 的增大，电场迅速减小，即电场为衰减波。而 ia 解则表示随着z 的增大，电场迅速增大，不合理，应该舍去。若把所有的 cosq换成 k t/ k t ,t则Fresnel公式仍然成立。z从衰减波的表达式可以看出，当在z 方向进入第2种介质的深度为1/a 时，电波衰减为原来的1/e ，称为穿透深度d29li1au l ,d =i2psin2 q i - n

25、221即电波能进入第2种介质几个波长。rrEEv 计算反射波的振幅得到= 0 Pi= 1, 0 iEE0 0 P这可以说明入射波和反射波的能流密度相等，即入射的能量全部被反射了，进入第2种介质的平均能量为0。在第2种介质中，波矢为复数，电场和磁场的相位不同， 可计算出能流密度的时间平均值为0 。能流密度在半个周期中为正，电磁能量进入第2种介质, 另半个周期为负，能量又从第2种介质回到第1种介质.复数波矢代表沿空间衰减的波， 复数频率代表随时间衰减的波。30§3.Ø 1 .Ø 2.Ø 3.Ø 4.导体中的电磁波导体内的自由电荷分布导体内的电磁波趋

26、肤效应和穿透深度导体表面上的反射31在真空和理想绝缘介质内部，由于电流，其中的电磁波可以无衰减地。在导体内部，由于电磁场的作用，自由电子可形成传导电流，以Joule 热的方式形成能量损耗，即rJrr= (s E ) × E = s¹ 0, × E2Ef由能量守恒，导体内部的电磁波应该是衰减波。以下仅限于讨论线性、各向同性、均匀介质， 即 m、e、s 都是标量常数的情形。32Ø 1 .导体内的自由电荷分布静电场中导体内部不带电，自由电荷只能分布在表面上。对频率不太高的电磁场，这一特性同样存在。设导体内的自由电荷密度为 rf ，¶ rr= - &#

27、209; g- sD ) =- Ñ g(s= - Ñ g(s E ) =fr,Jef¶ tef- str ( t ) = r 0 eeeT?,所以只要电磁波的周期 T 满足s时间经过若干个周期以后，就可以认为 r (t) = 0。s此即为通常所说的良导体条件，也可以写成：w ,?e一般金属导体 s /e的数量级为1017s-133Ø 2.导体内的电磁波电磁场的波动方程：¶ öæ E ö =æ¶2Ñ - me- ms2¶t ÷ç r ÷0,

28、1;¶t 2øè B øè当s 0 时，上式就是以前的波动方程，它有平面波解：rE = E ei (k gr -wt ),0k = wme .其中，在全反射问题中，复数形式可以表示衰减波。34现从形式上的平面波出发，讨论金属中电磁波。r= m (i w ) ¶t 2 E,rs¶¶2ms对电场的平面波解¶t E由此可见，方程中对 t 的1次偏导项可以并入2次偏导项中，即如果把介电常数e 改为：e ' = e + i s ,w这时上面关于电场的微分方程为：r¶2EE - me '&#

29、209;2= 0.¶t 235只要把以前电介质结果中的e 换成e ，就得到电磁波在金属中形式。= w 2 me ,= w 2 me ¢,k 2k 2以前关于波矢的关系式变成因此波矢是一个复数，代表沿空间衰减的电磁波。r+rk = b其中a、b 均为实矢量。ia ,设rrr- r rra ×r ei ( b ×r -w t ) ,，沿a 方向衰减的波。由此得E = E e0这代表沿b 方向v 复数介电常数的物理意义Ñ´ H = -iwe E + s E (= -iwe ¢),右方的两项 -iwe E，s E 分别代表位移电流和

30、自由电流。自由电流耗散的(平均)功率密度为36rrrr1< J × E >=< s E × E > =s E ,2R2位移电流 iwe E(该项在绝缘介质也存在)，由于有因子 i ， 使得它与 E 有 90° 的相位差，对时间平均后其消耗的功率密度为 0，即总体上不消耗电磁能量。复介电常数 e ¢ = e + is / w实际就是把以上两种效应综合在一起，实部 e 代表位移电流的贡献，虚部代表自由电流的贡献(耗散部分)。37Ø 3.趋肤效应和穿透深度在导体表面上，电磁波和导体的自由电子相互作用引起导体表层上的电流，透入导

31、体表面薄层内的电磁波通过自由电流使电磁场的能量耗散为Joule热。v 只考虑 垂射的情况。设导体表面为 x-y 平面，= k i= 0,k iz 轴指向导体内部，对入射波有xyzOkx = ky = 0,k = zb + iza,透射波矢的2个分量为所以k 只有z 分量，即导体中的电磁波为： Exi (bz -wt )- az=E ee，ki0r=b2 - a2 + 2iagb = w 2 m (e + is / w ),并且k 2381-绝缘体2-导体穿透深度s 2e 2w 211me (-1)2 ,a = w1+2s 2e 2w 21+1)2 ,1me (b = w1+2对良导体， k的虚

32、部远大于实部(两者之比s /ew >>1)，2上式还可化简为» iwmsk 2k =iwms= b + ia,wms , 2a » b »d = 1 »2wms.由此可得穿透深度：a39u 107 (ohm × m)-1， m : 10-6 N × A-2，对典型的金属，se : 10-11Coul × N -1m-2，w : 1015 s-1，对可见光，穿透深度d大约是108 m ，即大约10到100个的尺度。这就解释了金属为什么是不透明的。v 以上结果还说明，对高频电磁波，电磁场以及和它相作用的高频电流仅集中

33、在金属表面很薄一层内，这种现象称趋肤效应（skin effect）。对弱导电介质?40v 金属中的磁场( 限于 垂射)i (k gr -wt )由得wmHÑ´ E = i， E =E e，011wm(b + ia)k´ E,=H =k ´ Ewmipswms4 k´ E,H »对良导体，a » b »wm e,2良导体中磁场比电场的相位滞后45°.k ´ EmemememeH EH E kwm在电介质中，= 1,=Esewsmw在良导体中，»=? 1,这说明在导体中，磁场远比电场重要，

34、金属内的电磁波的能量主要是磁场能量。41zOkiØ 4.导体表面上的反射先讨论从真空向导体的 垂射x(这已经可以反映出导体反射的特点)。E 可以看成是垂直于入射平面的（也可以看成平行入射平面）。Ei×H i00zO金属中的m 和e 分别近似地取为 m和e，00x仍然可以从前面得到的Fresnel公式出发：H r0Er ×- kcosq i - n cosqcosq i + n cosqk iErni0=(= 0 z )kr+ kk iEiniz01-e '/ e1-1+ is / we1- k / k i= 0 0 z1+ k/ k i1+e '/

35、 e1+1+ is / wez00421-真空2-导体1-真空2-导体we0/ s -we0 / is -we0 / is +1 » -1+we0 / isi=we0/ s +we0 / is +we0 / is +1we0 / is1+i(2we0 / s -1)- i=,2we0 / s +1)+ i反射系数 R 定义为反射、入射能流之比，2=(1 -2we /s ) +122weEr» 1. 0» 1 - 2R = 0 s(1 +2we /s )2 +1Ei0因此, 良导体可以做反射镜。43射情形,利用前面2种介质界面的边值关系，v 对非垂也可以解出反射波和

36、透射波。界面上， 3种波波矢的x 和y分量对应相等，所以rk =rb= a= 0,b + ia,yy1b = k i ,a= 0,xxx只有透射波x 分量的实部， z 分量的虚、实部3个分量可能不为0。r × b,» iwms= b2 - a2 + 2iak 22sew» a2 ,b2比较实虚部r12= wm0s /2 =a × b = azbzwm0e? (k )³ b ,2i22x(ki )2>>144k = zb + iza,忽略b2 , b » b得：xz并且a » b »wm0s / 2,（负

37、根舍去）因此，在任意入射角的情况下a (反映衰减)垂直于表面，b (反映) 也接近法线方向。穿透深度 d1/a 的表达式与垂射时相同。45§4、波导与谐振腔Ø 1.Ø 2.Ø 3.Ø 4.Ø 5.理想导体的边界条件矩形波导(空心金属管)中的电磁波波导中电磁波的截止频率谐振腔谐振腔的品质因数Ø 6*.同轴线46v 在上一节中讨论的平面波的等相位面为无限大平面，因此这种波只存在于空间，当空间被边界限制时，相应的电磁波不再是平面波。边界可以由不同的材料的各种不同形状，此处只讨论由理想导体(s为无限大)围成的简单、对称空间波导。&#

38、216; 1.理想导体的边界条件理想导体的穿透深度d =在其内部有 Ec2 / wm0s= 0，HcÞ 0,= 0，47可能不为0，n在金属表面 Kf导体与电介质界面上的边值关系为：D2n D1n af，B2n B1n ，n× ( E2 E1 ) 0 ，n× ( H2 H1 ) Kf .只有后面2式（相当于4个分量方程）是的，用没有上下标的字符表示介质中电磁场，得：n× E 0 ，n× H Kf.上面的第1式表示导体外边界处的电场与界面垂直， 第2式反映了介质中的磁场与导体表面上的高频电流之间的关系。求出介质的电磁场后，就可得到导体表面的电流分

39、布。482：电介质1：导体下面的讨论仅限于单一频率的电磁波，更一般电磁波原则上可以用单一频率的电磁波的叠加表示出来。如以前所述，在单频波Maxwell方程组中，只有Faraday定律和Ampére定理2式是这2式相当于如下3个方程：的。r1Ñ2E + k2E = 0,(Helmholtz方程)= w 2 me ,k 2其中rir= -Ñ´2BE,(Faraday定律)w3Ñ× E = 0,49rÑ´imwÑ´ H = Ñ´(B / m) = Ñ´(-E)

40、=éÑ(Ñ× rrùi= -iw(e E),= -E) -Ñ2Eûmw ë该等式的两端就是电介质中单频情况下的Ampére定理。把电场的散度为0用在电介质中， 导体附近，取界面为x-y 平面：n+ ¶Ey¶Ex+ ¶En= 0,¶x¶y¶n¶En= 0.该式常与边界条件一同使用。¶n50边界上电场的切向分量总为0，沿边界的偏导自然为0。2：电介质1：导体yØ 2.矩形波导(空心金属管)中的电磁波v 现在要求r的电场需

41、要满足：a123Ñ2E + k2E = 0,¶En / ¶n = 0,zxbO在边界上n× E 0 .另一个方程(Faraday定律)和另一个边界条件 n× H Kf分别是求磁场和 Kf 用的。现在需要求波导管内沿 z 方向的单频电磁波电场，如果没有2和3r式的限制，解应该是：E =E ei (kz z -wt )，0为垂直于z 方向的任意常矢量，其中， E0但现在加上了2和3式的限制， E0不再是常矢量设：ri (kz z -wt )E(r , t) =E (x, y)e，051代入Holmholtz方程得ö ræ

42、82;2+ ¶2÷ E0 (x, y) +(k- k )E0 (x, y) = 0,22綶y22xzèø设 u(x, y ) 为 E0 的任意一个直角分量，并利用分离变量法求解，即令 u(x, y ) = X(x) Y (y)，代入上式d 2 X +k X = 0,2xdx2d 2Y +k Y = 0,2ydy2+ k 2 + k 2 = k 2,k 2xyz其中，kx 和ky 是求解过程中引入的待定常量。这类方程的解为正弦或余弦型函数。52特解为u(x, y) = XY = (c1 cos kx x + d1 sin

43、kx x)(c2 cos ky y + d2 sin ky y),c1、c2、d1、d2 是待定的任意复常数。边界条件如下：ya在 x = 0 和 x = a 处,zxb¶E0 x/ ¶x = 0,= E0 z = 0,E0 yO在 y = 0 和 y = b 处,¶E0 y/ ¶y = 0,= E0 z = 0,E0 x利用x = 0 和y = 0 处的边条件得E0= A1 cos kx x sin ky y,= A2 sin kx x cos ky y,= A3 sin kx x sin ky y.E0x E0 y E0z53再利用x = a 和y

44、= b 处的边条件得kx = mp / a,ky = np / b,其中， m，n = 0, 1, 2, ,yazxb（同时为0给出的是电磁场始终为0的解，应该舍去）Okz 不受限制，可以连续取值。rriwm由H = -Ñ´ E,求出磁场：e (Ak + iA k ) cos k x cos k= 1k= 1kHym0x2y3xxye (Ak + iA k ) cos k x cos k yHm0 y1y3xxye (Ak - A k ) cos k x cos k y.= iHm0z1y2xxykÑ× E = 0,A1kx + A2ky - iA3kz

45、 = 0,在波导内有54 在 A1、A2 、A33个待定常数中，只有2个是的，即对给定的 w, m，n，有2个通常的选取如下：的振动模式，(1)选Ez 0 ，即 A3 0 ，这时，电场垂直于方向，因此称为横电波（transversal electric），记为TE；(2) 选Hz 0 ，即 A1 /A2 kx / ky ，这时，方向，因此称为横磁波，记为TM .磁场垂直于这2种模式随m 和 n 的不同分别为 TEmn 和TMmn 。一般情况下，波导内的电磁波是这些波的迭加。TEM 型波?矩形波导中能否55Ø 3.波导中电磁波的截止频率= ( mp )2 + ( np )2 + k 2

46、 ,= w 2 me( mp )2k 2= k 2 + k 2 + k 2由xyzzab+ ( np )2 > w 2 me 时，k得：将成为虚数，当zab方向衰减的波，因此对给定的m，n，的波的最低频率称为截止（cutoff）电磁波变为沿能在波导中长途频率：w pmemn=() + () ,abc22mn和 m，n 决定的。截止频率是由波导的如果 a>b ，m=1，n=0 的TE波具有最低的截止频率w= vp / a,c（不存在TM型的波），即m010l= 2a.相应的截止（最大）波长是：c10所以波导适于量级）。厘米波（波导管的宽度一般是厘米56x对TE10 波，kx = p

47、/ a, ky = 0, Ez= 0,A0，3Ak + A k- iA k= 0,由1x2y3zy得 Ar1 0，p x E0 = (0, A2 sin, 0),a其中， A2 由波导内传输的电磁波的能流确定。rriH = - wm Ñ´ E,由rp xipp xA2求出H0 = wm (kz sin, 0, -cos),aaa上面是E（虚线、点、叉）和H（实线）的示意图。最后，由边界条件n× H0 Kf 0可得自由面电流密度。57× × ×.×××.× × × ×

48、 × × ×:. :.× × × × × × ××××v 如果在宽边正沿z方向开槽，切断电流线，影响波导内场分布，可安装测量线。v 如沿横向开槽就可能切断电流线， 成为缝隙天线.这种缝可用于波导间的耦合。矩形波导中TE模的管壁电流1058vzv 对电场，全部解为：crri (k z -wt )E(r , t) =E0 (x, y)e，z其实部才是真正的电场。它随坐标x 和y的变化都是驻波形式（正弦或余弦），随坐标 z 的变化是行波形式，等相位面沿z 方向的速度为：=

49、 1/me= c / n,> w / k= w / kzvz= dz / dtk < k =+ k 2 + k 2 ,k 2zxyzvz 可以大于光速 c 。直观来看，电磁场平面波的波速为c ，在不垂直于等相位面方向看到的速度就大于c ，59v 从波导管中电磁场的解可以看出，由于在 x 和y 方向有金属界面，导致随这2个坐标变化的电磁场为驻波形式，在z 方向没有阻碍，因此仍是行波形式。60Ø 4.谐振腔对矩形波导，如果在z 方向也有2个与该方向垂直的金属平面界面，随这个坐标变化的电磁场也将为驻波形式。此即矩形谐振腔。设z 方向的长度为c, 谐振腔内电磁场的解为:Ex =

50、A1 cos kx x sin ky y sin kz z, Ey = A2 sin kx x cos ky y sin kz z, Ez = A3 sin kx x sin ky y cos kz z.kx = mp / a, ky = np / b, kz= lp / c其中仍有TM和TE两组模式。p) + ( np )2+ ( pp )2 ,cm= w 2 mek 2此时= k 2 + k 2 + k2z= (2xyabk和w只能取特定值（本征值）。61v 圆柱型谐振腔更常用（半径为R,长L)柱坐标下Helmholtz方程为：rrrrEr¶2E + 1 ¶E +1 &

51、#182; E + ¶22+ k E = 02¶r 2r ¶rr 2¶f 2¶ z2设 u(r, f，z ) 为 E 的任意一个分量,分离变量, 令 u(r, f, z ) = R(r) F (f)Z(z), 带入原方程，d 2 R + 1 dR +2- m= k 2- kk 22)R = 02(kcczdr 2r drr 2d2F +d2Zm F = 02+ kzZ = 02df 2d z262TMmnp模ìE= -æ pp ö kp éù pz()AJk r cos m¢f sinwt-ieç÷ cïïêúrmcè