2020届高考数学大二轮复习专题八数学文化与创新应用第1讲数学文化及核心素养类试题练习文

1、第 1 讲数学文化及核心素养类试题考情研析数学文化与数学知识相结合，有效考查考生的阅读理解能力、抽象概括能力、转化与化归能力，既体现了对数学应用性的考查，也体现了我国数学文化的源远流长.高考中多以选择题的形式出现，难度中等核心知识回顾1 .以古代数学书籍九章算术数书九章等书为背景的数学文化类题目.2 .与高等数学相衔接的题目，如几类特殊的函数：取整函数、狄利克雷函数、符号函数.3 .以课本阅读和课后习题为背景的数学文化类题目：辗转相除法、更相减损术、秦九韶算法、二进制、割圆术、阿氏圆等.4 .以中外一些经典的数学问题为背景的题目，如：回文数、匹克定理、哥尼斯堡七桥问题、四色猜想等经典数学小问题

2、.热点考向探究考向1算法中的数学文化例1（2019哈尔滨市第三中学高三第二次模拟）我国古代名著庄子天下篇中有一句名言“一尺之植，日取其半，万世不竭”，其意思为：一尺的木棍，每天截取一半，永远都截不完.现将该木棍依此规律截取，如图所示的程序框图的功能就是计算截取20天后所剩木棍的长度（单位：尺），则处可分别填入的是（）.八八1.A.I20,S=S.,I=2iccc 八八1cB.i20,S=S-7i=2i八cc-S,C.i20,S=1i=i+1r.ccCS.，D.i20,S=2，i=i+1答案D1-,一S一一1，.解析根据题意可知，第一天S=2所以满足S=-,不?t足S=S-1故排除A,B;由框图

3、可知，计算第二十天的剩余时，有S=S,且i=21,所以循环条件应该是iW20.故选D.方法指导以古代秦九韶算法，更相减损术、割圆术等为背景，将数学文化嵌入到程序框图，既强调了算法的历史，又展示了算法的思想，解题时要弄明白计数变量和累加变量的变化规律，理解程序框图的算法功能.r对点精练我国古代数学著作孙子算经中有如下问题：“今有方物一束，外周一匝有三十二枚，问积几何？”设每层外周枚数为a,如图是解决该问题的程序框图，则输出的结果为（）A.121B.81C.74D.49答案B解析满足a32,第一次循环：S=1,n=2,a=8;满足a32,第二次循环：S=9,n=3,a=16；满足a32,第三次循环

4、：S=25,n=4,a=24；满足aw32,第四次循环：S=49,n=5,a=32；满足a32,第五次循环：S=81,n=6,a=40.不满足a2=2,故选C.考向4概率中的数学文化例4（2019皖南八校高三第三次联考）七巧板是古代中国劳动人民发明的一种中国传统智力玩具，它由五块等腰直角三角形，一块正方形和一块平行四边形共七块板组成.清陆以湘冷庐杂识卷一中写道：近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余.体物肖形，随手变幻，盖游戏之具，足以排闷破寂，故世俗皆喜为之.如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率为（）答案A解析设正方形的边长为4,则正方形

5、的面积为S=4X4=16,此时阴影部分所对应的直LLL1.角梯形的上底边长为2斓，下底边长为3，2,高为，2,所以阴影部分的面积为S=-X(2+S53的X2考向5推理与证明中的数学文化例5（2019南充市第三次诊断）九章算术是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何.”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分五钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）.这个问题中，甲所得为（）AB.。钱CD.4323答案B解析设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为a-2d,ad,

6、a,a+d,a+2d,则a-2d+a-d=a+a+d+a+2d,解得a=-6d,又a2d+ad+a+a+d+a+2d=5,a44,a=1,贝Ua2d=a2x=a=,故选B.633方法指导以古代有代表意义的猜想推理为背景，考查数学文化相关知识，让学生通过逻辑推理得到结论.解题时要联系具体实例，体会和领悟归纳推理、类比推理、演绎推理的原理、内涵及特点，并会用这些方法分析、解决具体问题.对点精练（2019上海市奉贤区高三一模）天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支.十天干：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸.十二地支：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.天干地支纪年法是

7、按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年为“甲子第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，以此类推，已知2016年为丙申年，那么到改革开放100年时，即2078年为年.答案戊戌解析从2017年到2078年经过了61年， 且2017年为丁酉年，61+10=6余1,则2078年的天干为戊，61+12=5余1,则2078年的地支为戌，所以2078年为戊戌年.考向6数学文化与现代科学例62016年1月14日，国防科工局宣布，嫦娥四号

8、任务已经通过了探月工程重大专项领导小组审议，正式开始实施.如图所示，假设“嫦娥四号”卫星将沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道I绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道n绕月飞行.若用2C1和2c2分别表示椭圆轨道I和n的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道I和n的长轴长，给出下列式子：a1+C1=%+C2；a1C1=a2C2；但ac.a1a2其中正确式子的序号是（）A.B.C.D.答案D解析观察题图可知aa2,cC2,，adC1a2+C2,即式不正确；a-c=a2C2=|PF|,31C182-C2a1C1C2即式正确；由

9、a1C1=a2C20,C1C20,知,即一a1C2,.C1C2C1C2a1a2即式正确，式不正确.方法指导(1)命题者抓住“嫦娥奔月”这个古老而又现代的浪漫话题,以探测卫星轨道为背景，抽象出共一条对称轴、一个焦点和一个顶点的两个椭圆的几何性质，并以加减乘除的方式构造两个等式和两个不等式，考查椭圆的几何性质，可谓匠心独运.（2）注意到椭圆轨道I和n共一个顶点P和一个焦点F,题目所给四个式子涉及长半轴长和半焦距，从焦距入手，这是求解的关键，本题对考生的数学能力进行了比较全面的考查,是一道名副其实的小中见大、常中见新、蕴文化于现代科学技术应用之中的好题.p对点精练第24届国际数学家大会会标是以我国古

10、代数学家赵爽的弦图为基础进行设计的.示，会标是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.如果小正方形的兀面积为1,大正方形的面积为25,直角三角形中较大的锐角为8,那么tan0+彳=答案7.八八1则sine-cose、.,434,Tttan0+1因此sine=5,cose=-tane=3.故tane+了=7=7真题模拟1. （2019浙江高考）祖的I是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“哥势既同，则积不容异”称为祖的I原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式V柱体=Sh,其中S是柱体的底面积，h是柱体的高.若某柱体的三视图如图所示（单位：cm）,则该柱体的体积（单位：cm3）是（

11、）如图所解析依题意，得大、小正方形的边长分别是一，兀5,1,于是有5sin0-5cos8=10,从而(sin0+cos0)2=2-(sin0-cos0)24925押题正视图侧视图俯视图A.158B.162C.182D.324答案B而成，其中一个上底为4,下底为6,高为3,另一个的上底为2,下底为6,高为3.则底面2+64+6_面积S=2X3+一1X3=27,因此，该枉体的体积V=27X6=162.故选B.2. （2019北京高考）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的5E1星等与亮度满足R2-m=5lg三，其中星等为m的星的亮度为E（k=1,2）.已知太阳的星等是2E226

12、.7,天狼星的星等是一1.45,则太阳与天狼星的亮度的比值为（）A.1010.1B.10.1C.lg10.1D,1010.1答案A5E解析由题意知，m=26.7,m=1.45,代入所给公式得1.45（26.7）=g己,所以lg10.1,所以1010.1.故选A.E2E23. （2019湖南省高三六校联考）秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在所著数书九章中提出的求多项式值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图，是利解析如图，该柱体是一个五棱柱，棱柱的高为6,底面可以看作由两个直角梯形组合A.17B.11.5C. 10D. 7答案B3解析初始值n=3,x=程序运行过程如下：v=2,

13、一3v=2x2+1=4,n=2,不满足nw0；.3v=4x-+1=7,n=1,不满足nwo；323v=7x1=5,n=0,满足n0,退出循环，23，,输出v的值为1=11.5.故选B.4.（2019全国卷H）中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有个面，其棱长为.用秦九韶算法求一个多项式的值，若输入

14、3n,x的值分力1J为3,则输出v的值为（答案26娘1解析先求面数，有如下两种方法.有8个面，下部分有9个面，共有2X9+8=26（个）面.解法二：一般地，对于凸多面体，顶点数（V）+面数（F）棱数（E）=2（欧拉公式）.由图形知，棱数为48的半正多面体的顶点数为24,故由V+F-E=2,得面数F=2+E-V=2+4824=26.再求棱长.作中间部分的横截面，由题意知该截面为各顶点都在边长为ABCDEFGH口图，设其边长为x,则正八边形的边长即为半正多面体的棱长.连2一G分别作HMLAF,GNLAF,垂足分别为MN,则AMhMH=NG=NF=当x.又AM即）x+x+x=i.解得x=y2i,即半

15、正多面体的棱长为yi.5.九章算术中有一题：今有牛、马、羊食人苗.苗主责之粟五斗.羊主日：“我羊食半马.”马主日：“我马食半牛.”今欲衰偿之，问各出几何.其意思是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿五斗粟.羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半.马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半.”若按此比例偿还，牛、马、羊的主人各应赔偿多少粟？在这个问题中，牛主人比羊主人多赔偿（）解法一：由“半正多面体”的结构特征及棱数为48可知，其上部分有9个面，中间部分1的正方形上的正八边形接AF,过H,+MINFNF=1,A5010q而八1520q而A.斗米B.-7斗米C.斗米D.斗米答案C解析解法一

16、：设羊、马、牛主人赔偿的粟的斗数分别为31,32,33,则这3个数依次成52020515一等比数列，公比q=2,所以3I+23I+431=5,解得3i=y,故33=,33-3i=-=,故选C.解法二：羊、马、牛主人赔偿的比例是1：2：4,故牛主人应赔偿5X；=20斗，羊主人1520515应赔偿5X；=5斗，故牛主人比羊主人多赔偿了20-=斗，故选C.6.九章算术中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”.已知某“堑堵”的三视图如图所示，俯视图中虚线平分矩形的面积，则该“堑堵”的侧面积为俯视图A.2C. 4+4/答案CB.4+22D. 4+62解析由三视图知几何体为一个三棱柱，底面为等腰直角

17、三角形，高为1,则底面三角形腰长为小,底边长为2,三棱柱高为2,所以侧面积为2X2+2x42X2=4+4小.故选C.、选择题1 .（2019赤峰市高三模拟）史记卷六十五孙子吴起列传第五中有这样一道题:齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现从双方的马匹中随机选一匹马进行一场比赛，齐王获胜的概率是答案A解析因为双方各有3匹马，所以“从双方的马匹中随机选一匹马进行一场比赛”的事件数为9种，满足“齐王获胜”这一条件的情况为：齐王派出上等马，则获胜的事件数为3;齐王派出中等马，则获胜的事件数为2;齐

18、王派出下等马，则获胜的事件数为1;故满足“齐王获胜”这一条件的事件数为6种，2 .（2019南昌外国语学校高三高考适应性测试）下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著九章算术中的“更相减损术”.执行该程序框图，若输入的a,b分别为16,20,则输出的a的值为（）配套作业A.2B.3355C.9D.根据古典概型公式可得，齐王获胜的概率A选故2-9-6-9答案C解析输入a,b的值，分别为16,20,3 .中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”.其大意为:“有一个人走378里路，第一天健步行走，从

19、第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了6天后到达目的地”.则该人第五天走的路程为（）A.48里B.24里C.12里D.6里第一次循环：第一层判断：满足满足ab,ab,ab,ab,答案C4 .（2019河南洛阳高三阶段性考试）九章算术中有如下问题：“今有牛、羊、马食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：我羊食半马.马主曰：我马食半牛.今欲衰偿之，问各出几何？”翻译为：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟.羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半.”马主人说“我马吃的禾苗只有牛的一半.”打算按此比率偿还，问：牛、马、羊的主人各应赔偿多少粟？已知1斗=10升，针对这一问题,设计程序框图如

20、图所示，若输出k的值为2,则正（）解析设第一天的路程为a1里,则11一2=378,1a1=192,所以a5=192x3=12.以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”.它体现了一种无限与有限的转化过程.比如在，一1，1表达式1+-中“”即代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程1+-=1x1+1+.类比上述过程，则/3+2-/3+2=（）答案3+23+2V-=x(x0),两边平方，得3+2寸3+2口=X2,即3+2x=x2,x=-1(舍去)，故3+2A/3+27=3,选A.6.（2019江西省名校高三5月联考）我国古代九章算术将上、下两个平行平面为矩形的六面体称为刍童.如图是一个刍童的三

21、视图，其中正视图及侧视图均为等腰梯形，两底答案解析c50c10c100B.7C.5D.V运行该程序，第一次循环，S=50m,k=1；第二循环，S=50-3mk=2;第三次循环，S=5073此时要输出k的值，则507m0,50解得m=,故选B.5.我国古代数学名著九章算术的论割圆术中有:“割之弥细，所失弥少，割之又割,x求得x=A.3B.C.6D.13+1222解析解得x=3,的长分别为2和6,高为2,则该刍童的体积为（）100Ar答案1一一_104,的体积V=1X(4+36+44X36)X2=-.故选B.337.（2019河北联考）九章算术是我国古代第一部数学专著，它有如下问题：“今有圆堡璇（

22、cong）,周四丈八尺，高一丈一尺.问积几何？”意思是“今有圆柱体形的土筑小城8. （2019南宁市高三第一次适应性测试）元朝著名数学家朱世杰在四元玉鉴中有首诗：“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经三处，没了壶中酒,借问此壶中，当原多少酒？”用程序框图表达如图所示.若将“没了壶中酒”改为“剩余原，1,，人1，人,壶中 W 的酒量”，即输出值是输入值的则输入的x=（）33解析由题意，几何体原图为正四棱台，底面的边长分别为2和6,高为2,所以几何体堡，底面周长为4丈8尺，高1丈1尺.则它的体积是(注：1丈=10尺，取3=3)()A.704立方尺B. 2112立方尺C. 2115

23、立方尺D.2118立方尺答案解析设圆柱体底面圆半径为r,高为h,周长为C.因为C=2兀，所以r=C2h482X114兀12=2112（立方尺）.故选B.次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤.问1本持金几何.”其意思为：今有人持金出五关，第1关收税金为持金的2,第2关收税金为剩1-，人，1-，/，4,第4关收税金为剩余金的5,第5关收税金为剩余金的1-,5关所收税金之和，恰好重1斤.问此人总共持金多少.61一1一1一A.20斤B.2?斤C.35斤D.答案B解析假设原来持金为x,则第1关收税金：x；第2关收税金11-1x=7x；第3关2322X3收税金11；

24、/x=1-x；第4关收税金11ohx=Nvx；第5关收税金14263人4526124八J69B.1121C.2345D.47答案C解析i=1时，x=2x1；i=21=8x7;i=4时，退出循环.此时,9.我国古代数学著作九章算术时，x=2(2x-1)-1=4x-3;i=3时，x=2(4x-3)218x-7=-x,解得x=行故选C.323中有如下问题：“今有人持金出五关，前关二而税一,/，1-，余金的第3关收税金为剩余金的3则在此问题中，第5关收税金（3610.（2019陕西省高三第一次模拟）公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创

25、立了“割圆术”，A.12B.24C.48D.96答案B解析模拟执行程序，可得n=6,S=3sin60=不满足条件S3.10,n=12,S=6Xsin30=3,不满足条件S3.10,n=24,S=12Xsin15=12X0.2588=3.1056,满足条件退出循环，输出n的值为24.故选B.角”进行高次开方运算，而杨辉在公元1261年所著的详解九章算法一书中，辑录了贾宪三角形数表，并称之为“开方作法本源”图.下列数表的构造思路就源于“杨辉三角”.该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数是（）111112.612-20 x=5361

26、x.依题意，得X+2X3x+3X4x+4X5x+5361x=1,即16x5-6,=1,/:1,解得x=5,所以x=5X65X661X-=-.故选B.525利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14,这就是著名的“徽率”是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出的n的值为（）(参考数据：sin15=0.2588,sin7.5=0.1305)11.“杨辉三角”又称“贾宪三角”，是因为贾宪约在公元1050年首先使用“贾宪三O201720162015201465432140334031402911975380648060201612816124362820A.2017X22016B.2018X22015C.2017X22015D,2018X22016答案B解析从给出的数表可以看出，该数表每行都是等差数列，其中第一行从右到左是公差为1的等差数列，第二行从右到左的公差为2,第三行从右到左的公差为4,，即第n行从右到左的公差为2nt,而从右向左看，每行的第一个数