2020版高考数学立体几何6第6讲平行、垂直的综合问题新题培优练文含解析新人教A版

1、第 6 讲平行、垂直的综合问题基础题组练1.如图所示，四边形ABCD中，AD/BCAD=ABZBCD=45,/BAD=90.将ADB沿BD折起，使平面ABDL平面BCD构成三棱锥A-BCD则在三棱锥A-BCD,下列结论正确的是（）A.平面ABDL平面ABCB.平面ADC_平面BDCC.平面ABCL平面BDCD,平面ADC_平面ABC解析：选 D.因为在四边形ABCW,AD/BGAD=ABZBCD=45,/BA氏 90,所以BDLCD又平面ABDL平面BCD且平面ABm平面BCD=BD故CDL平面ABD则CDLAB又AD,ABADHCD=D,AD?平面ADCCDy 平面ADC故AB1平面ADC又

2、AB?平面ABC所以平面ADC_平面ABC2.如图，四边形ABCD,AB=AD=CD=1,BD=也BDLCD将四边形ABCD替对角线BD折成四面体ABCD使平面ABDL平面BCD则下列结论正确的是（）A.ACBDB./BAC=90C.CA与平面ABD所成的角为 301D.四面体ABCD勺体积为-3解析：选 B.若 A 成立可得BDLAD,产生矛盾，故 A 不正确;由题设知：4BAD为等腰RtA,CDL平面ABD得BA平面ACD则BA，AC,刷好题,做于是B正确；由CA与平面ABD所成的角为/CAD=45知 C 不正确;1VA-BCDV-ABD=,6D 不正确.故选 B.3.如图，在四棱锥P-A

3、BCD,底面ABC比矩形，点E在PC上（异于点P,C）,平面ABE与PD交于点F.求证：AB/EF；(2)若平面PAD_平面ABCD求证：AFEF证明：(1)因为四边形ABCD1矩形，所以AB/CD又因为AB?平面PDCCD?平面PDC所以AB/平面PDC又因为AB?平面ABEF平面ABEF平面PDC=EF,所以AB/EF(2)因为四边形ABCD矩形，所以ABLAD又因为平面PADL平面ABCD平面PAD?平面ABCDAD,AB?平面ABCD所以ABL平面PAD又因为AF?平面PAD所以ABLAF.由(1)知AB/EF,所以AFEF4 .(2019郑州市第二次质量预测)如图，四棱锥P-ABCD

4、K底面ABCD产院一是边长为 2 的菱形，/BAD=-y,APAD等边三角形，F为AD的中点，PD卜:密:/ABBF(1)求证：ADLPB1(2)若E在线段BC上，且EC=4BC能否在棱PC上找到一点G,使平面口0_平面ABCD若存在，求出三棱锥DCEG勺体积；若不存在，请说明理由.解：(1)连接PF,因为/PAD等边三角形，所以PFAD.TT.因为底面ABCD菱形，/BAD=三，所以BFAD3又PFnBF=F,所以ADL平面BFP又PB?平面BFP所以ADLPB(2)能在棱PC上找到一点G使平面DEG平面ABCD由(1)知AD!BF,因为PDLBF,AmPD=D,所以BF，平面PAD又BF?

5、平面ABCD所以平面ABCD_平面PAD又平面ABCD平面PAD=AD且PFAD所以PFL平面ABCD连接CF交DET点H,过H作HG/PF交PC于G,所以GHL平面ABCD又GH?平面DEG所以平面DEG平面ABCDCHCE1CGCH113因为AD/BC所以DFHTECH所以缄岸=；，所以干品工，所以GH=-PF=,HrDr2GPHr2331sCDE-GH=1X1DC.CE-sin-GH=二.3323125.如图，在四棱锥P-ABC由，底面ABCM菱形，PAL平面ABCD/ABC=60,E是所以VCEG=VG-CDIE=BC的中点.(1)证明：BEL平面DAE(2)设F为CD的中点，在线段A

6、B上是否存在一点M使得MF/平面DAE若存在，求出AM勺值；若不存在，请说明理由.解：(1)证明：因为四边形ABCD为矩形且AD=DE=EC=BC=2,所以/AEB=90。，即BEXAE又平面DAEL平面ABCE平面DAEn平面ABCE=AE,所以BE1平面DAE(1)证明：AEL平面PAD(2)取AB=2,若H为PD上的动点,EH与平面PA所成的最大角白正切值为半，求PA的长度.解：(1)证明：由四边形ABC师菱形，ZABC=60,可得ABC正三角形.因为E为BC的中点，所以AE!BC又因为BC/AD所以AE!AD因为PAL平面ABCDAE?平面ABCD所以PALAE而PA?平面PADAD?

7、平面PADPAHAD=A,所以AE1平面PAD(2)连接AH由(1)知AEX平面PAD则/EHAEH与平面PA所成的角.在 RSEAH43,AE=tan/EHA=之更，AHAH所以当AH最短，即AHLPD时，/EHAt大，此时 tan/EHA=靠=11|=涯，因此AH=啦.AHAH2又因为AD=2,所以/ADH=45,所以PA=AD=2.综合题组练1.(2019武汉市部分学校调研)如图(1),在矩形ABC珅，AB=4,AD=2,E是CD的中点，将ADEgAE折起，得到如图(2)所示的四棱锥D-ABCE其中平面DAEL平面ABCE图图（2）得 4,理由如下:B41_取DE的中点L,连接FL,AK

8、图略），所以FL/EC又EC/AB,所以FL/AB且FL=4AB所以M,F,L,A四点共面，若MF/平面ADE,则MF/AL所以四边形AMFL为平行四边形,1 一 AM1所以AM=FLAE4AB42.（2019合肥市第一次教学质量检测）如图，在多面体ABCDE冲,形，BFL平面ABCDDE1平面ABCDBF=DEM为棱AE的中点.四边形ABCO正方求证：平面BDM平面EFC（2）若AB=1,BF=2,求三棱锥ACEF的体积.解：（1）如图，设AC与BD交于点N,则N为AC的中点，连接MN又M为棱AE的中点，所以MIN/EC因为所以因为所以MN?平面EFCEC?平面EFCMN/平面EFCBFL平

9、面ABCDDEL平面ABCD且BF=DEBF触DE所以四边形BDE叨平行四边形，所以BD/EF因为BD?平面EFCEF?平面EFC所以BD/平面EFC又MNPBD=N,所以平面BDM平面EFC（2）连接EN,FN在正方形ABC珅，ACLBD,又BFL面ABCD所以BFAC又BFABD=B,所以ACL平面BDEF又N是AC的中点，所以V-NEHV-NEF,1cc121c2所以WCEF=2V-NEF=2X3XANK8ANE-2X3X2X-x2X2=,2所以三棱锥ACEF的体积为033.如图（1）,在 RtABC,ZABC=90,D为AC的中点，AE1BD于点E（不同于点D）,延长AE交BC于F,将

10、ABDgB的起，得到三棱锥A-BCD如图（2）所示.图图(1)若M是FC的中点，求证：直线DM/平面AEF;(2)求证：BDLAF;(3)若平面ABDL平面BCD试判断直线AB与直线CDt归否垂直？并说明理由.解：(1)证明：因为D,M分别为AC,FC的中点，所以DM/EF,又EF?平面AEF,DM?平面AEF,所以DM/平面AEF(2)证明：因为AEBD,EFBD且AEnEF=E,所以BDL平面AEF.又AF?平面AEF所以BDLAF.(3)直线AiB与直线CD不能垂直.理由如下：因为平面AiBDL平面BCD平面ABDH平面BCD=BDEFBD,EF?平面BCD所以EF平面ABD因为AB?平

11、面ABD所以ABEF,又因为EF/DM所以AB!DM假设ABCD因为CEDM=D,所以ABL平面BCD所以ABBD这与/ABD为锐角矛盾，所以直线AB与直线CK能垂直.4 .如图，在正四棱柱ABCDABCD中，E为AD的中点，F为BC的中点.(1)求证：AF/平面ECC；(2)在线段CD上是否存在一点明你的结论；若不存在，请说明理由.解：(1)如图所示，在正四棱柱接AMFM则BiF/BMHBF=BM所以四边形BFM祀平行四边形,所以FM/BB且FM=BiB.所以FWAA且FM=AA,G使BGL平面ECC?若存在，请确定点ABCDABCD中，取BC的中点M,连/JAG的位置，并证所以四边形AAF

12、M是平行四边形，所以FA/AM因为E为AD的中点，所以AE/MdAE=MC所以四边形AMC遑平行四边形.所以EC/AM所以EC/AiF.因为AF?平面ECC,EC?平面ECC,G且G是CD的中点，使BGL平面EC&证明如下.BGDEGCCD=BC/EDC=/BCG所以CC，BG又ESCC=C,所以BGL平面ECC故在CD上存在点G,且G是CD的中点，使得BGL平面ECC5 .阳马和鳖月需（biendo）是九章算术商功里对两种锥体的称谓.如图所示，取一个长方体，按下图斜割一分为二，得两个一模一样的三棱柱，称为堑堵.啦堵得四棱锥和三棱锥各一个，以矩形为底，E-ABCD,余下的三棱锥是由四个直角三角

13、形在阳马（四棱锥E-ABCD中，连接BD,若AB=AD证明：EdBD;（2）求阳马（四棱锥E-ABCD和鳖月需（三棱锥E-FCD的体积比.所以AF/平面ECC（2）在CD上存在一点取CD的中点G连接在ACDEznBCG,所以CD降BCG所以/因为/CGB-/GBC=90,所以BGLECECD=/GBC所以/CGB-/DCEF90,因为CC，平面ABCDBG平面ABCD长方体再沿其中一个堑堵的一个顶点与相对的棱剖开,有一棱与底面垂直的四棱锥，称为阳马（四棱锥组成的四面体，称为鳖月需（三棱锥EFCD.解：（1）如图，连接AC因为四边形ABCD1矩形，AB=AD所以矩形ABC比正方形，/：所以ACLBD因为EAL平面ABCDBD?平面ABCD所以EALBD又EAnAC=A,EA?平面EACAC?平面EAC所以BDL平面EAC因为EC?平面EAC所以EC!BD(2)设AB=a,AD=b,EA=c.在阳马