2020版高考数学大一轮复习-第3节平面向量的数量积及其应用讲义理含解析新人教A版

1、第 3 节平面向量的数量积及其应用考试要求 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义；2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系；3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系；5.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题.|知识百匕库验如收小夯实基戕知识梳理1 .平面向量数量积的有关概念(1)向量的夹角：已知两个非零向量a和 b,记O屋a,OB=b,则/AOB=0(0。0180)叫做向量a与b的夹角.(2)数量积的定义：已知两个非零向量a与 b,它们的夹角为 0,则a与b的数量积(或内积)ab=|a|b|cos_

2、e.规定：零向量与任一向量的数量积为 0,即 0a=0.数量积的几何意义：数量积a-b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos_6 的乘积.2 .平面向量数量积的性质及其坐标表示设向量a=(X1,y1),b=(X2,y2),9为向量a,b的夹角.(1)数量积：a-b=|a|b|cos0=X1X2+y1y2.(2)模：|a|=5a=yjx；+y2.八a-bX1X2+y1y2夹角：cose=|T=VX2+y；2.VX2+y2.(4)两非零向量 a_Lb的充要条件：a,b=0?X1X2+y1y2=0.(5)|a-b|0 且a,b不共线；两个向量a,b的夹角为钝角？ab=|a|c|cosa

3、,c,所以向量b和c不一定相等.答案(1)X(2)V(3)V(4)X教材运化2.(必修 4P108A10 改编)设 a,b 是非零向量.ab=|a|b|是“a/b”的()A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件解析设a与b的夹角为0.因为a-b=|a|-|b|cos0=|a|b|,所以 cos0=1,即a与b的夹角为0,故a/b.当a/b时，a与b的夹角为 0或 180,所以a-b=|a|-Ib|cos0=+Ia|-Ib|,所以ab=|a|Ib|是a/b”的充分而不必要条件.答案 A3.(必修 4P108A2 改编)在圆O中，长度为电的弦AB不经过圆

4、心，则Ab而勺值为.一一一一一一一一 1 一解析设向量AOAB勺夹角为e,则AOAB=|AO|ABcos0=|AOcos0|AB=习ABII 丽=；x（02=1.答案 14.（2018全国 n 卷）已知向量 a,b满足 Ia|=1,ab=1,则 a（2ab）=（）A.4B.3C.2D.0解析 a（2ab）=2|a|2ab=2xi2（1）=3.答案 B5.（2018 上海嘉定区调研）平面向量a与b的夹角为 45,a=（1,1）,|b|=2,则|3a+b|等于（）A.13+监 B.25C.30D.34解析依题意得a2=2,ab=y2x2xcos45=2,|3a+b|（3a+b）2=M9a2+6ab

5、+b2=18+12+4=/34.答案 D6.(2017全国 l 卷)已知向量a=(-1,2),b=(m1).若向量a+b与a垂直，则 m=解析由题意得 a+b=(m-1,3),因为 a+b与a垂直，所以(a+b)a=0,所以一(m-1)+2X3=0,解得 m=7.答案 7考点聚焦突破分类讲脸以倒求法考点一平面向量数量积的运算【例 1】(1)若向量 m=(2k1,k)与向量 n=(4,1)共线，则 m-n=()A.0B.4C.-D.-卫22(2)(2018天津卷)在如图的平面图形中，已知 OMI=1,ON=2,/MON：120,BM=2MACN=2 曲则 BbOMJ值为()A.-15B.-9C.

6、-6D.0-1解析(1)由题意得 2k14k=0,解得 k=-,1即 mi=一 2,一 2，一.1.17所以 mrn=-2X4+x1=.(2)连接OA在AB8,髭MXB=3A*3XU3(ONkOA3(OwOA=3(ONkOiyi,.Bo-OM=3(ON-OM-OM=3(ON-OM-OM)=3X(2X1Xcos12012)=3X(-2)=-6.答案(1)D(2)C规律方法 1.数量积公式a-b=|a|b|cose 在解题中的运用，解题过程具有一定的技巧性，需要借助向量加、减法的运算及其几何意义进行适当变形；也可建立平面直角坐标系，借助数量积的坐标运算公式ab=X1X2+y/2求解，较为简捷、明了

7、.2.在分析两向量的夹角时，必须使两个向量的起点重合，如果起点不重合，可通过“平移”实现.兀1一,，一【训练 1】(1)在ABC中，AB=4,BC=6,ZABC=万，D是AC的中点，E在BC上， 且AE!BD则ALBCC?于()A.16B.12C.8D.-4(2)(2019皖南八校三模)已知|a|=|b|=1,向量a与b的夹角为 45,则(a+2b)a=.解析(1)以B为原点，BABC所在直线分别为 x,y轴建立平面直角坐标系(图略)，A(4,0),R0,0),Q0,6),D(2,3).设 R0,t),BXE=(2,3)(-4,t)=-8+3t=0,危鼠一 4,8(0,6)=16.3(2)因为

8、|a|=|b|=1,向量a与b的夹角为 45,E Enrnr8-38-3所以(a+2b)a=a2+2ab=|a|2+2|a|b|cos45=1+/.答案(1)A(2)1+J2考点二平面向量数量积的应用多维探究角度 1 平面向量的垂直【例【例21(1)(2018北京卷)设向量 a=(1,0),b=(-1,m).若a(na-b),则 f（2）（2019宜昌二模）已知ABC43,ZA=120,且 AB=3,AC=4,若用工入画硝且扉BC,则实数入的值为（）解析(1)a=(1,0),b=(-1,n),a2=1,a-b=-1,由a(ma-b)得a(na-b)=0,即ma2-a-b=0.1.m-(-1)=

9、0,1,m=-1.(2)因为AP=入AB+AC且APLBC2所以有APBC=(入AB+AC)(AC-AR=入ABAC-入A+ACAB-AC=(入-1)AB-AC-入庙+AC=0,整理可得（入1）X3X4Xcos120-9 入+16=0,-22斛得X=15答案（1）1（2）A规律方法 1.当向量a,b是非坐标形式时，要把a,b用已知的不共线向量作为基底来表示且不共线的向量要知道其模与夹角，从而进行运算2.数量积白运算a-b=0?ab中，是对非零向量而言的，若 a=0,虽然有ab=0,但不能说ab.角度 2 平面向量的模【例【例22】（1）已知平面向量a,B,|a|=1|=2,a，（a2）,则|2

10、a+|的值是.（2） （2019杭州调研）已知直角梯形ABC加，AD/BC/ADC=90,AD=2,BC=1,P是腰DC上的动点，则|附 3PB的最小值为.解析（1）由a_L（a2）得a，（a2）=a2a,=0,1所以 a-3=2，22A.一1510B.C.612D.(2)建立平面直角坐标系如图所示，则A(2,0),设 R0,y),C(0,b),则B(1,b).所以输 3PB(2,y)+3(1,b-y)=(5,3b-4y),所以|PA3PB=25+(3b4y)2(0yb),所以当 y=4b时，|PA甘 3 前取得最小值 5.答案(1)10(2)5规律方法 1.求向量的模的方法：(1)公式法，利

11、用|a|=aa及(ab)2=|a|22ab+|b|2,把向量的模的运算转化为数量积运算；(2)几何法，利用向量的几何意义.2.求向量模的最值(范围)的方法：(1)代数法，把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解；(2)几何法(数形结合法)，弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解.角度 3 平面向量的夹角【例23(1)(2019衡水中学调研)已知非零向量a,b满足|a+b|=|ab|=乎|a|,则向量a+b与ab的夹角为.(2)若向量 a=(k,3),b=(1,4),c=(2,1),已知 2a3b与c的夹角为钝角，则k的取值范围是解析(1)将|a+b|=|ab|两边平方，

12、得a2+b2+2ab=a2+b22ab,，ab=0.将|a+b|=ga|两边平方，得a2+b2+2ab=ga：33b2=1a2.3设a+b与 ab的夹角为 0,所以(2a+)2=4a2=4Xl2+22+4xg=10,一八兀又ee0,%,e=.3(2) .2a3b与c的夹角为钝角,(2a3b)-c0,即(2k3,6)(2,1)0,解得 ky3ei&+e2=13-0+1=2.同理|ei+入e2|=中+32.crn,(旅-e2)-(ei+入e2)所以 cos60=F|J3eie2|ei+入e2|3ei+(yJ3 入-i)ei。&入e23 一入 i2十122 巾+122，解得入=f.3

13、答案(i)2(2)23(3)-z33考点三平面向量与三角函数【例 3】(20i9 潍坊摸底)在ABC4角A,B,C的对边分别为 a,b,c,向量m(cos(AB),sin(A-B),n=(cosB,-sinB),且 mn=-3.5求 sinA的值；(2)若2=4/，b=5,求角B的大小及向量BA4BC方向上白投影.3解(i)由 mn=-53得 cos(AE)cosBsin(AE)sinB=5所以 cosA=7.因为 0Ab,所以AB且B是AB5内角，则由余弦定理得(42)2=52+c2-2X5cX3,解得 c=1,c=-7 舍去,故向量丽就向上的投影为|BAcosB=ccosB=1X规律方法平

14、面向量与三角函数的综合问题的解题思路:(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解.(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等【训练 3】(2019 石家庄模拟)已知A,B,C分别为ABCW三边a,b,c所对的角，向量m=(sinA,sinB),n=(cosBcosA),且 mn=sin2C求角C的大小；(2)若 sinA,sinGsinB 成等差数列，且 O-(AB-A(5=18,求边 c 的长.解(1)由已知得 mrn=s

15、inAcosB+cosAsinB=sin(A+E),因为 A+B+C=兀,所以 sin(A+B)=sin(兀一C)=sinC,所以 mrn=sinC,又 mrn=sin2C,一,一一一，一 1所以 sin2C=sinC所以 cosC=3兀又 0CTt,所以 C=.3(2)由已知及正弦定理得 2c=a+b.因为CK(AB-AC=CA-CB=18,所以abcosC=18,所以ab=36.由余弦定理得c2=a2+b2-2abcosC=(a+b)23ab所以c2=4c2-3X36,所以c2=36,所以c=6.思维升华1 .计算向量数量积的三种方法定义、坐标运算、数量积的几何意义，要灵活运用，与图形有关

16、的不要忽略数量积几何意义的应用.2 .求向量模的常用方法利用公式|a|2=a2,将模的运算转化为向量的数量积的运算.3 .利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法与技巧易错防范数量积运算律要准确理解、应用，例如，a-b=a-c(aw0)不能彳#出b=c,两边不能约去一个向量.数量积运算不满足结合律，(ab)-c不一定等于a(bc).I核心素养提升数学运算、数学建模一一平面向量与三角形的“四心”1 .数学运算是指在明晰运算的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养.通过学习平面向量与三角形的“四心”，学生能进一步发展数学运算能力，形成规范化思考问题的品质，养成一丝不苟、严

17、谨求实的科学精神.2 .数学建模要求在熟悉的情境中，发现问题并转化为数学问题，能够在关联的情境中，经历数学建模的过程，理解数学建模的意义.本系列通过学习平面向量与三角形的“四心”模型，能够培养学生用模型的思想解决相关问题.设O为ABO在平面上一点，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则(i)。为乙ABC勺外心?OA=OB=OC=-a；.2sinA(2)。为ABC勺重心？OAFOBOC0.O为ABC勺垂心？OA-OB=OB-OC=OCOA(4)0为4ABC勺内心？aO/AFbOBbcOC=0.类型 1 平面向量与三角形的“重心”1f【例 1】已知A,B,C是平面上不共线的二点，O为坐标原点，

18、动点P满足0e-（1入）OA3十（1入）0诽（1+2 入）OC,入 eR,则点P的轨迹一定经过（）A.ABC勺内心 B.ABC勺垂心C.ABC勺重心 D.AB边的中点解析取AB的中点D,则2OD=04OB1O 曰-（1入）ON（1-入）01（1+2 入）OC,3.OP=12（1-入）ODb（1+2 入）OC3=5中OC33=2（1入）1+2 入一一心而+=1,P,C,D二点共线，33.点P的轨迹一定经过ABC勺重心.答案 C类型 2 平面向量与三角形的“内心”问题1【例 2】在4ABC中,AB=5,AO6,cosA=-5O是4ABC勺内心，若OAxO拼yOC其 5中 x,yC0,1,则动点P的

19、轨迹所覆盖图形的面积为（）A.10-6B.%6C.43D.6233,解析根据向量加法的平行四边形法则可知，动点P的轨迹是以OBOC为邻边的平行四边形及其内部，其面积为BOCJ面积的 2 倍.在ABC4设内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,得 a=7.设ABC勺内切圆的半径为r,则答案 B类型 3 平面向量与三角形的“垂心”问题1bcsinA=2(a+b+c)r,解得二236,11BOXaxr=2x7x2.63=7_J3故动点P的轨迹所覆盖图形的面积为2SRk 小2SABOIC3即动点P的轨迹一定通过ABC勺垂心.答案 B类型 4 平面向量与三角形

20、的“外心”问题【例【例4】已知在ABC中，AB=1,BO 乖，AO2,点O为ABC勺外心，若於xAByAC,则有序实数对(x,丫)为()43A.5，543c.5,5解析取AB的中点M和AC的中点N,连接OMON则OiVLAB,0也此11OM=AWAO=2AE(xAB+yAQ=2-xAByACON=AN-Ab=；AC-(xAB+yAC=-yAC-xAB1由。MLAR彳导2-xAB-yAC-AB=0,由ONLAC彳导2-yACxAC.AB=0,又因为BC=(AC-曲2=AC2AbAB+ATS,【例【例3】已知O是平面上的一个定点,A,B,C是平面上不共线的三个点，动点P满足OP=OAF入ABXC-

21、+,-二,入|ABcosB|AQcosCC(0,+8),则动点 P 的轨迹一定通过ABC()A.重心B.垂心C.外心D.内心解析因为隹OAvAB+|ABcosBAC|ACcosC所以BbAP=Bb入所以BCiAp所以点AB+|ABcosBAB+|ABcosB=0,AC|AC|cosCAC|AC|cosCP在BC的高线上,34D.-5,石、选择题1.已知向量 a=(mi-1,1),b=(m2),则mi=2是“a,b”的()A,充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析当 m=2 时，a=(1,1),b=(2,-2),所以 a-b=(1,1)-(2,-2)=2-2=0

22、,所以 aXb,充分性成立;当ab时，ab=(im-1,1)(m2)=m(mi-1)2=0,解得 m=2 或 vm=1,必要性不成立.所以“m=2”是“ab”的充分不必要条件.答案 A2.（2019北京通州区二模）已知非零向量 a,b的夹角为 60,且|b|=1,|2ab|=1,则|a|=()1_AQB.1C.2所以位AB=AC2+AE2-BC2把代入、得1-2x+y=0,解得4+x8y=0,43x=5,y=5.故实数对（x,y）为答案 AI分层限时巾炼分层训练基础巩固题组（建议用时：40 分钟）D.2o即 4|a|-2|a|=0,又|a|w。,1解得|a|=2-答案 A3.（2019 石家庄

23、二模）若两个非零向量 a,b 满足|a+b|=|ab|=2|b|,则向量 a+b 与 a的夹角为（）兀27157171A.-B.-C.-T-D.3366解析设|b|=1,则|a+b|=|ab|=2.由 Ia+b|=|ab|,得 ab=0,故以 a、b 为邻边的平行四边形是矩形，且|a|=，5,设向量 a+b 与 a 的夹角为 6,则 cos-（a+b）=b=旧=3、|a|-|a+b|a|-|a+b|a+b|2一兀又 OW04X2X；=4,1XB-配=4X2X-=-4,前Bb=2X2X2=12,BEAF一一一一又入，所以 BE 入 BQAF=入 ABoUAo1D.解析在等腰梯形 ABC 砰，AB

24、=4,BG=CD=2,可得心元=60：,所以=60,BO=120,，LT贝UAE=AB+BE=AB+入BCDEAF-AD=入ABAD所以AE-DF=（AB+入的（xAB-AD22丁=入AB-AB-AD+入AB-BC-入AD-BC=0,即 2 入27 入+2=0,解得入=孑（舍去）或产3.4448答案 B5.（2017浙江卷）如图，已知平面四边形ABCDABLBCAB=BC=AD=2,CD=3,ACWBD交于点O.记II=OA-OB12=OB-OCI3=OC-OD则（）A.Iiv12V13C.I3VI1I2D.I2I1I3解析如图所示，四边形ABC屋正方形，F为正方形的对角线的交点，易得AGAF

25、,而/AFB=90,AOBW/CON钝角，/AOD/BOC/锐角，根据题意，I1i2=OAOB-OB-OC=OB-（OA-OC=OB-CA=|O用CAcos/AOB。，.III3,作AGLBD于G又AB=ADOBcBG=GD：OD而OAAF=FCI3.I3I1I2.答案 C二、填空题6.（2019杭州二模）在ABC中，三个顶点的坐标分别为A（3,t）,B（t,1）,C-3,B.11v13v121),若ABB以B为直角顶点的直角三角形，则 t=.解析由已知，得BA鼠0,则(3t,t+1)(3-t,0)=0,(3t)(3t)=0,解得 t=3 或 t=3,当 t=3 时，点B与点C重合，舍去.故

26、t=3.答案 37 .若非零向量 a,b满足|a|=3|b|=|a+2b|,则 a,b夹角 0 的余弦值为.解析|a|=|a+2b|,两边平方得，|a|2=|a|2+4|b|2+4ab=|a|2+4|b|2+4|a|b|cos0.又|a|=3|b|,所以 0=4|b|2+12|b|2cos0,得 cos8=；.3J1答案38 .(2019佛山二模)在 RtAABO,/B=90,BC=2,AB=1,D为BC的中点，E在斜边AC上，若AE=2 氏则DE-AC=.解析如图，以B为坐标原点，AB所在直线为x轴，BC所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，则R0,0),A(1,0),C(0,2),所以AC=

27、(-1,2).tiA因为D为BC的中点，所以以 0,1),因为AE=2 日所以E1,4,3311所以DE=33，33所以 DEAC=11(1,2)=1+2=!33333-1答案 W3三、解答题9.在平面直角坐标系xOy中，点收一 1,2),B(2,3),C(-2,-1).求以线段ABAC为邻边的平行四边形两条对角线的长;(2)设实数t满足(AB-toC)-OC=0,求t的值.解由题设知AB=(3,5),AC=(-1,1),则AB+AC=(2,6),AB-AC=(4,4).所以 IAB+的=2 币 0,|AB-AC=42.故所求的两条对角线的长分别为 42,210.(2)由题设知：OC=(2,1

28、),AB-tOC=(3+2t,5+t).由(AB-toC)-OC=0,得(3+2t,5+t)(-2,-1)=0,从而 5t=-11,所以 t=.510 .在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知向量 a=(-1,2),又点A(8,0),B(n,t),兀aksin。，t)(0e4,且tsine 取最大值 4 时，求OAOC解(1)由题设知AB=(n-8,t),ABa,8-n+2t=0.又m|OA=AB,-5X64=(n-8)2+t2=5t2,得t=8.当 t=8 时，n=24;当 t=8 时，n=-8,.OB=(24,8)或OB=(-8,-8).(2)由题设知AC=(ksine-8,t),.ACWa共线，t=-2ksine+16,tsin9=(2ksin8+16)sin9=2k(sin84)2+32.kk，