2019届江苏苏北三高三上学期期末模拟考试数学理版

1、2019 届江苏省苏北三市高三上学期期末模拟考试数学理科(满分 160 分，考试时间 120 分钟)2019.1填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分.1 .已知集合 A=0,12,3,B=x|0 x2,则 AAB=W.2 .已知复数 z=(2i)2(i 是虚数单位),则 z 的模为 W.3 .已知一组样本数据 5,4,X,3,6 的平均数为 5,则该组数据的方差为 W.4 .运行如图所示的伪代码，则输出的结果 S 为 W.I1WhileI0)的焦点与双曲线 x25=1 的右焦点重合，则实数 p 的值为 W.17 .在等差数列an中，若 a5=2，8a6+2a4=a2,则a

2、n的前 6 项和 S6 的值为 W.8 .已知正四棱锥的底面边长为 2 点，高为 1,则该正四棱锥的侧面积为 W.9 .已知 a,bR,函数 f(x)=(x2)(ax+b)为偶函数，且在(0,+00)上是减函数，则关于 x 的不等式f(2x)0 的解集为 W.1110 .已知a0，b0，且a+3b=b-a,则b的破大值为 w.兀、，,、,_一一，.一，,11 .将函数 f(x)=sin2x 的图象向右平移 3个单位长度得到函数 g(x)的图象，则以函数f(x)与 g(x)的图象的相邻三个交点为顶点的三角形的面积为 W.12.在ABC 中，AB=2,AC=3,/BAC=60,P 为ABC 所在平

3、面内一点，满足 CP=|PB+2FA,则CP-AB 的值为 w.13 .在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 C1：x2+y2+2mx(4m+6)y4=0(mCR)与以02(-2,3)为圆心的圆相交于 A(xi,yi),B(x2,y2)两点，且满足 x2-x2=y2-y2,则实数 m 的值为W.14 .已知 x0,y0,z0,且 x+J3y+z=6,则 x3+y2+3z 的最小值为W.二、解答题：本大题共 6 小题，共 90 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15 .(本小题满分 14 分)参考公式：样本数据 Xi,X2,，Xn 的方差F其中丁二一ki,.2 兀、在AB0 中

4、，sinA=3，AC(,兀).(1)求 sin2A 的值；(2)若 sinB=1,求 cosC 的值.316 .(本小题满分 14 分)如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1中，D,E,F 分别是 B1O1,AB,AA1的中点.(1)求证：EF/平面 A1BD;(2)若 A1B1=A1C1,求证：平面 ABD,平面 BB1C1C.17 .(本小题满分 14 分)如图，某公园内有两条道路 AB,AP,现计划在 AP 上选择一点 C,新建道路 BC,并把兀ABC 所在的区域改造成绿化区域.已知/BAC=,AB=2km.6(1)若绿化区域ABC 的面积为 1km2,求道路 BC 的长度；(2)若绿化区

5、域ABC 改造成本为 10 万元/km2,新建道路 BC 成本为 10 万元/km.设/ABC=。(0b0)的离心率为啦,且右a/b2焦点到右准线 l 的距离为 1.过 x 轴上一点 M(m,0)(m 为常数， 且 mC(0,2)的直线与椭圆 C 交于 A,B 两点，与 l 交于点 P,D 是弦 AB 的中点，直线 OD 与 l 交于点 Q.(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)试判断以 PQ 为直径的圆是否经过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由.19 .(本小题满分 16 分)已知函数 f(x)=(xa)lnx(aCR).(1)若 a=1,求曲线 y=f(x)在点(1,f(1)处的切

6、线的方程;(2)若对于任意的正数 x,f(x)0 恒成立，求实数 a 的值;(3)若函数 f(x)存在两个极值点，求实数 a 的取值范围.20 .(本小题满分 16 分)已知数列an满足对任意的 nCN*,都有 an(qnan1)+2qnanan+i=an+i(1qnan+i),且 an+i+anW0,其中ai=2,qw0.记 Tn=ai+qa2+q2a3+qn1an.(1)若 q=i,求 T20i9的值；(2)设数列bn满足 bn=(1+q)Tnqnan.求数列bn的通项公式；若数列.满足 6=1,且当 n2 时，cn=2bn11,是否存在正整数 k,t,使 ci,ckCi,Ctck成等比数

7、列？若存在，求出所有 k,t 的值；若不存在，请说明理由.2019届高三模拟考试试卷数学附加题（满分 40 分，考试时间 30 分钟）21 .【选做题】在 A,B,C 三小题中只能选做 2 题，每小题 10 分，共 20 分.若多做,则按作答的前两题计分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤A.（选彳 42:矩阵与变换）已知矩阵 A=01,B=20,求 A-1B2318-B.（选彳 44:坐标系与参数方程）在极坐标系中，曲线 C:尸 2cose.以极点为坐标原点，极轴为 x 轴非负半轴建立平面直角坐标系 xOy,设过点 A（3,0）的直线 l 与曲线 C 有且只有一个公共点，求直线

8、l 的斜率.C.(选彳 45:不等式选讲)已知函数 f(x)=|x1|.(1)解不等式 f(x1)+f(x+3)6;b(2)若|a|1,|b|a|fQ.a【必做题】第 22,23 题，每小题 10 分，共 20 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.22 .如图，在三棱锥 DABC 中，DA，平面 ABC,/CAB=90,且 AC=AD=1,AB=2,E 为 BD 的中点.(1)求异面直线 AE 与 BC 所成角的余弦值；(2)求二面角 ACEB 的余弦值.一 1O*23 .已知数列an满足 a1=-,an+1=2a2+2an,nCN.31(1)用数学归纳法证明：anC(0,2)

9、；Sr3 用一 3.1，一(2)令 bn=2an,求证：*一 I2019 届高三模拟考试试卷（五）（苏北三市）数学参考答案及评分标准1. 1,22,53.24,215.16.47.8.8 近 9.（0,4）10.111.323312.-113.-614.3715 .解：（1）由 sinA=|,A（y,兀）,则 cosA=-41sin2A=1（|）2=一率,（2 分）所以 sin2A=2sinAcosA=2X|x（堂）=4g.（6 分）339（2）由 AC（y,兀），则 B 为锐角.又 sinB=1,所以 cosB=1sin2B=A/1（）2=22,（8 分）3133所以 cosC=cos（A+

10、B）=（cosAcosBsinAsinB）（12 分）=_（_V522_212VlO+23333）-9.（14分）16.证明：（1）因为 E,F 分别是 AB,AA1的中点，所以 EF/AB.（3 分）因为 EF?平面 ABD,A1B?平面 A1BD,所以 EF/平面 ABD.（6 分）（2）在直三棱柱 ABCA1B1C1中，BB1,平面 A1B1C1.因为 A1D?平面 A1B1C1,所以 BB1LA1D.（8 分）因为 A1BA1C1,且 D 是 B1C1的中点，所以 A1D，B1C1,（10 分）因为 BBnB1C1=B1,B1C1,BB1?平面 BB1C1C,所以 A1DL平面 BB1

11、C1C.（12 分）因为 A1D?平面 A1BD,所以平面 A1BDL 平面 BB1C1C.（14 分）兀17.解：（1）在ABC 中，已知/BAC=,AB=2km,._1.兀一一一八所以ABC 的面积 S=XABXACXsin=1,解得 AC=2.（2 分）,.*一、.、一_兀在ABC 中，由余弦定理得 BC2=AB2+AC2-2XABXACXcos 一6=22+222X2X2Xcos_6=845，（4 分）所以 BC=琉 8-4/=m-V2（km）.（5 分）（2）由/ABC=0,则/ACB=TT（。+套）,0-2ss2 兀sin(9+)6八 1-1X2X-X10+2 兀sin(9+T)1

12、0(sin8+1兀sin(。+式)6(00 恒成立，所以当 lnx=0,即 x=1 时，f(x)=0,aCR；(5 分)当 Inx0,即 x1 时，xa 恒成立，所以 a1;(6 分)当 Inx0,即 x1 时，x1.综上可知，对于任意的正数 x,f(x)0 恒成立，a=1.(7 分)(3)因为函数 f(x)存在两个极值点，所以 fx)=lnxa+1 存在两个不相等的零点.x设 g(x)=lnx-a+1,则 gxOn+Mxaw 分)xxxx当 a0 时，g(x)0,所以 g(x)单调递增，至多一个零点.(9 分)当 a0 时，xC(0,a)时，g(x)0,g(x)单调递增，所以 x=a 时，g

13、(x)min=g(-a)=ln(-a)+2.(11 分)因为 g(x)存在两个不相等的零点，所以 ln(a)+20,解得一 e2a0.一、，C 一1c因为一 e2ae2a.a一.11因为 g(一)=ln()+a2+10,所以 g(x)在(-a,十)上存在一个零点.(13 分)aa因为一 e2a0,所以 a2a.又 g(a2)=lna21=2ln(a)+1,aa设 1=a,则 y=2lnt+1+1(0t)te因为 y=&；i”0,所以 y=2lnt+：+1(0t2ln4+e2+1=e230,e所以 g(a2)=lna2：+10,所以在(0,a)上存在一个零点.综上可知，e2a2.因为 C

14、1,CkC1,CtCk成等比数列，所以(CkC1)2=C1(ctCk),即(2k2)2=2-2k,(12 分)所以 2t=(2k)232k+4,即 2t2=(2k1)2-32k2+1(*).由于 CkC1W0,所以 kw1,即 k2.当 k=2 时，2t=8,得 t=3.(14 分)因为该式对？kw0 恒成立，所以y=0,x2-4x+2+m+y2=0,解得x=2 旬2m,y=0.当 k3 时，由(*)得(2L1)232k2+1 为奇数，所以 t2=0,即 t=2,代入(*)得 22k232k2=0,即 2k=3,此时 k 无正整数解综上，k=2,t=3.(16 分)31二二21.A.解：由题意

15、得 A1=22,(5 分)10312n_5所以 A1B=22=24.(10 分)101820B.解：曲线 C:p=2cos8 的直角坐标方程为(x1)2+y2=1.(4 分)设过点 A(3,0)的直线 l 的直角坐标方程为 x=my+3,因为直线 l 与曲线 C 有且只有一个公共点，所以11-31=1,解得 m=旬 3.(8 分)寸 1+m2从而直线 i 的斜率为 W.(10 分)3C.(1)解：不等式的解集是(8,3U3,+8).(4 分)b(2)证明：要证 f(ab)|a|f(1),只要证|ab1|ba|,只需证(ab1)2(ba)2.a而(ab1)2(b-a)2=a2b2-a2-b2+1

16、=(a2-1)(b2-1)0,从而原不等式成立.(10 分)22.解：因为 DAL 平面 ABC,/CAB=90,所以以 A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.因为 AC=AD=1,AB=2,所以 A(0,0,0),C(1,0,0),B(0,2,0),D(0,0,1).因为点 E 为线段 BD 的中点，所以 E(0,1,%.1(1) AE=(0,1,2BC=(1,2,0),一一 AEBC2所以 cosAE,BC=二二-=丁|AE|BC|址xp所以异面直线 AE 与 BC 所成角的余弦值为 4.(5 分)(2)设平面 ACE 的法向量为 m=(x,v,z),因为AC=(1,。，。

17、)，AE=(0,1,2),“r、1口 rr-rt1 一一所以 n.AC=0,n.AE=0,即 x=0J1y+z=0,取 y=1,得 x=0,z=2,-245所以 ni=(0,1,2)是平面 ACE 的一个法向量.1设平面 BCE 的法向量为 n2=(x,y,z),因为 BC=(1,2,0),BE=(0,1,-),r、口 rr-rt1 一一所以 n2BC=0,n2BE=0,即 x2y=0 且一 y+z=0,取 y=1,得 x=2,z=2,所以 n2=(2,1,2)是平面 BCE 的一个法向量.,n1n23 乘八所以 cos=f=产=-T：-.(8 分)|n1|n2|书xp5，所以二面角 ACEB

18、 的余弦值为专.(10 分)、一 1123.证明：(1)当 n=1 时，a1=3(0,万)，结论显然成立；1假设当 n=k(k1,kCN)时，akC(0,3),1.11则当 n=k+1 时，ak+1=2ak+2ak=2(ak万产十(0,).1综上，an(0,2(4 分),-11.1 一 1(2)由(1)知，an(0,力所以加=2anC(0,-).因为 an+1=2an+2an,11.0o11所以 2an+1=5(2an+2an)=2an2an+5=2(酊5),即 bn+1=2bn.于是 10g2bn+1=2log2bn+1,所以(log2bn+1+1)=2(log2bn+1),故log2bn+1构成以 2 为公比的等比数列，其首项为 10g2b1+1=l