2019届高考数学复习数列高考专题突破三高考中的数列问题学案理北师大版

1、高考专题突破三高考中的数列问题【考点自测】1.(2017 洛阳模拟)已知等差数列an的公差和首项都不等于 0,且改,34,a8成等比数列,ai+35+39则 a,a 等于()32+33A2B.3C.5D.7答案 B23n中，32,34,38成等比数列，34=3238,+7d),-d2=31d,前 100 项和为(0,q0)的两个不同的零点，且3,b,一 2 这二个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p+q的值等于()A.6B.7C.8D.9答案D解析由题意知3+b=p,3b=q,p0,q0,，30,b0.在3,b,一2这三个数的6种排序中，成等差数列的情况有：3,b,2;b,

2、3,2;2,3,b;2,b,3;成等,I2,(31+3d)=(31+d)(31解析二.在等差数列d*0,1-d=3i,3i+35+39153i32+33531=3.故选 B.2.(2018衡水调研)已知等差数列d的前n项和为35=5,S=15,则数列，13n3n+1100人而 199B.而，99101100D.100答案解析设等差数列3n的首项为31,公差为d.35=5,4=15,比数列的情况有：3,2,b;b,2,3.214_5.（2018 保定模拟）已知数列a的前 n 项和为对任意 nCN+者 B 有&=鼻 3%若 1&2时，S1=an13,22两式相减，得an=-an-an-1,33an

3、=12an-1,an是以一1为首项，以一2为公比的等比数列,.an=-（2）n1,kab=4,ab=4,a=4,或解得或2b=a-22a=b-2,b=1a=1,b=4.1-p=5,q=4,p+q=9,故选 D.4.（2017江西高安中学等九校联考）已知数列an是等比数列，数列bn是等差数列，若ail.一b3+b9,-,a6,aii=3I3,bi+be+bii=7%,贝Utan 的值是()1a4.asA.1B.C.D一 3答案 D解析an是等比数列，bn是等差数列，且a1,a6-an=3y3,b1+b6+bn=7u,.a3=(3)3,3b6=7%,a6=小，bo=,3b3+b91-tan1a4,

4、as7 兀2XT=tan6=tan7Tq=tan771由 1&9,得 4(-2)k0,nCN+.(1)若a2,as,&+a3成等差数列，求数列an的通项公式；2(2)设双曲线*2工=1 的离心率为en,且2=2,求e2+e2+e2.an解(1)由已知，Sn+1=qS+1,得Si+2=qSn+1+1,两式相减得an+2=qa+1,n1.又由S2=qS+1得a2=qd,故an+1=qan对所有nl都成立.所以数列an是首项为 1,公比为q的等比数列，从而an=qn1.由a2,as,a2+a3成等差数列，可得 2a3=a?+a?+as,所以as=2a2,故 q=2.所以an=2(nCNI+).(2)

5、由(1)可知，an=qnT,2所以双曲线x2-y2=1 的离心率en=31+a2+q2)an由2=、1+q2=2,解得q=yJ3,所以e2+e2+e2=(1+1)+(1+q2)+1+q2(n1)=n+1+q2+q2(n1)q2n11n=n+2(3-1).思维升华等差数列、等比数列综合问题的解题策略(1)分析已知条件和求解目标，为最终解决问题设置中间问题，例如求和需要先求出通项、求通项需要先求出首项和公差(公比)等，确定解题的顺序.(2)注意细节：在等差数列与等比数列综合问题中，如果等比数列的公比不能确定，则要看其是否有等于 1 的可能，在数列的通项问题中第一项和后面的项能否用同一个公式表示等，

6、这些细节对解题的影响也是巨大的.3跟踪训练 1(2018沧州模拟)已知首项为万的等比数列an不是递减数列，其前n项和为S(nCN+),且 S+a3,S+a5,S+a4成等差数列.求数列an的通项公式;1(2)设Tn=Si-S(nCN+),求数列Tn的取大项的值与取小项的值.解(1)设等比数列an的公比为 q,因为4+a3,4+a5,S4+a4成等差数歹U,所以S5+a5S3a3=S4+a4-4a5,即 4a5=a3,又an不是递减数列且ai=2,所以 q=-2.故等比数列an的通项公式为an=24 一 3，、nT3=(-1),2n.1+77,n 为奇数,1n2(2)由(1)得 S=1I-2J=

7、I14，n 为偶数.2当 n 为奇数时，S 随 n 的增大而减小,所以 1&ws=2，1c1325故0s&WSLS；=23=6.当n为偶数时，3随n的增大而增大,3所以 4=卷 ws$一耳$S2=43=一行.715综上，对于nCN+,总有SI-.12Si65 一一一，7所以数列Tn的最大项的值为 g,最小项的值为-.题型二数列的通项与求和例 2(2018邢台模拟)已知等差数列an的公差为 2,前 n 项和为 S,且数列.求数列an的通项公式；n14n.一一一(2)令bn=(1),求数列bn的刖n项和T.anan+1S,Sa,&成等比解(1)因为S=ai,S2=2ai+-2X2=2ai+2,一.

8、4X3_.一&=4ai+2-x2=4ai+12,由题意得(2ai+2)2=ai(4a+i2),解得ai=i,所以an=2ni.(2)bn=(-i)思维升华(1)一般求数列的通项往往要构造数列，此时从要证的结论出发，这是很重要的解题信息.(2)根据数列的特点选择合适的求和方法，常用的求和方法有错位相减法、分组转化法、裂项相消法等.1n+1跟踪训练 2(2018大连模拟)已知数歹 Uan的刖n项和为Sn,且ai=-,an+i=-2n-an(nN+).(1)证明：数列个卜等比数列;(2)求数列an的通项公式与前n项和Sn.1n1(1)证明.ai=2，an+i=2nan,i2n=i一=2n+i2n+i

9、当n为奇数时，Tn=+；i-1+5j+-熹+己+/+人i2n+2i+=2n+i2n+T2n+22n+i所以Tn=2n2n+Tn为奇数，n为偶数.(或Tn=n-i2n+i+(i)2n+1)ni4nanHn+1当n为偶数时,an_当 nCN+时，一 W0,npa11an+1an1、，又彳=2，nT7:=2(n2),(2n1)当 n=1 时，a1=4 也符合，4an=2(nNL).(2n14(2)-bn=/anan+1=J2n-12n+1112n1=2Tn=bl+b2+bn4n2n+1课时作业基础保分练35.1.(2018泰安模拟)设数列an的前n项和为Sn,nN+.已知ai=1,32=-,a3=-

10、,且当n2时，4S+2+5Sn=8S+i+S-1.求34的值；(2)证明：an+1；an广为等比数列；求数列an的通项公式.(1)解当 n=2 时，4s4+5S=8&+S,即4H+1+|+a445”+|J=8”+|+；+1,242.24-7斛得a4=-.8(2)证明因为 4S+2+5Sn=8S+1+S1(n2),所以 4Sn+24Sn+1+SS-1=4Sn+14s(n2),即 4an+2+an=4an+1(n2),5当 n=1 时，4a3+a1=4X4+1=6=4a2,所以 n=1 也满足此式，所以 4an+2+an=4an+1(nCN+),1an+21an+1,24an+22an+1因为i=

11、瓦丁4an+12chan+1-an4an+1an2an+12an+1an1_一一=二.4an+12an2(2an+1an)2:1(1，、-1,一，一，I所以数列an+1ani是以a2a1=1 为首项，万为公比的等比数列.“,一、“，.11，、一 1解由(2)知：数列，an+1an暹以a2-2a1=1 为首项，2 为公比的等比数列，是以导=2 为首项，4 为公差的等差数列，所以祭=2+（n1）X4=4n2,2S即 an=(4n2)xi)=(2n1)x%,22所以数列an的通项公式是an=（2n1）X2.（2017福建漳州八校联考）已知递增的等比数列an满足：az+a3+a4=28,且次+2 是a

12、2和a4的等差中项.求数列an的通项公式；(2)若bn=anlog1an,Sn=b+b2+bn,求使S+n2n162 成立的正整数n的最小值.2Aq+a1q2+aq3=28,解(1)由题意，得 jaq+ad2(aq2+2a1=2,解得，lq=2;an是递增数列，a1=2,q=2,，数列an的通公式为an=2,2n1=2n.nnn(2).bn=anlog1an=210gl2=-n2,22.Sn=b1+b2+bn=(1X2+2X22+n2n),则 2Sn=(1X22+2X23+n-2n+1),一，得Sn=(2+22+-+2n)-n-2n+1=2n+1-2-n-2n+1,则 S+n,2n+1=2n+

13、12,解 2n+1-262,得n5,1-n 的最小值为 6.3.(2018梅州质检)已知正项数列an中，a=1,点(迎，an+1)(nN+)在函数 y=x2+1的图像上，数列bn的前n项和Sn=2-bn.(1)求数歹Uan和bn的通项公式；一、r1,、_,，、，-一一(2)设Cn=,求Cn的刖n项和Tn.an+1log2bn+1解(1);点(返，an+1)(nCN+)在函数y=x2+1 的图像上，.an+1=an+1,数列an是公差为 1 的等差数列.a1=1,an=1+(n1)X1=n,.$=2bn,.$+1=2bn+1,所以数列由 s=2bi,即 bi=2b,得 bi=1.一.一、，一，,

14、，1.数歹 Ubn是首项为 1,公比为 2 的等比数列,bh=1n(2).log2bn+1=log2=-n,2n+1 厂n+n+1.(2018佛山模拟)在等比数列 an 中，an0(hCN+),公比 qC(0,1),且aias+2a3a5+aza?=25,又a3与a5的等比中项为 2.求数列an的通项公式;(2)设bn=log2对求数列bn的前n项和 S;S1S23是否存在kCN+,使得彳+2+n0,a3+a5=5,又a3与a5的等比中项为2,a3a5=4,而 qC(0,1),a3a5,a3=4,a5=1,1 一 q=2，a1=16,两式相减，得bn+1=bn+1+bn,即bh+1bn2.Tn

15、=C1+C2+Cn=1-12n,9_nSi9_n(3)由(2)知).二=三一一 S_$一当 nw8 时，0;当 n=9 时，=0;、“-&当n9 时，一i 时，Si=2an12,an则an=2an2an-1,=2.a-1当 n=1 时，S=2ai2,得 ai=2,综上，an是公比为 2,首项为 2 的等比数列，an=2n.(2)证明/a2=4b1,b1=1.nbn+1(n+1)bn=n2+n,综上，是公差为1,首项为 1 的等差数列,包=1+n1,可得bn=n2.n解令Pn=C2n1+C2n若数列Cn的通项公式为Cn=anbn/C2n2/zn-1=(4n1),2=(4n1)42n=3,4+7,

16、41+11,42+(4n1),414T2n=3,J+74?+11.43+(4n54一，得一 3T2n=3。4+4,41+4。42+4。41(4n1)4,n116-16n3T2n=3+14(4n1),4712n-7n.T2n=-+4.99叶拓展冲刺练16.已知数列an,bn,其中，a1=2,数歹Uan满足(n+1)an=(n1)an1(n2,nCN+),数列bn满足b1=2,bn+1=2bn.求数列an,bn的通项公式;(2)是否存在自然数 m,使得对于任意 nCN+,n2,有 1+52).an1n+11n(n+1J因为bl=2,bn+1=2bn,22n-1=_(2n_1j.222nn-1求数列

17、Cn的前n项和Tn.an所以an=an1an-1an-2an-2an-3a3一a2n-1n-2n+1nn3n-1当 n=1 时，上式成立，故an=ann+1.所以bn是首项为 2,公比为 2 的等比数歹U,故 bn=2n.(2)由(1)知，bn=2n,则111iiii1+b；+E+bni2+22+*2-尹假设存在自然数 m 使得对于任意 nCNU,n2,有 1+!恒成立，即b1b2bn41m-8m-8一艺2,解得 m16.所以存在自然数 m 使得对于任意 nCN+,n2,有 1+=+二+!与”1 亘成立，此时,b1b2bn4m的最小值为 16.(3)当n为奇数时,_1,1.1.工=F-F+|+

18、(b2+b4+bn1)a13a3nan=2+4+(n+1)+(22+24+2n1)2+n+12n+1T+n14(1-4,1-42n+4n+34=4+3(2n-11);当n为偶数时，；1111.T=+:+,+(b2+b4+bn)03a3-1pn1_=(2+4+n)+(22+24+2n)n.2+n4(1-42)1-42n+2n4n2+4n+34n14+32-1n 为奇数,所以 Tn=2I 七生+亲 2n1)门为偶数.2cn+1一 c 所以Tn=一三二,命题点 2 数列与不等式的交汇例 4(2016天津)已知an是各项均为正数的等差数列，公差为an和an+1的等比中项.(1)设Cn=b*2+1bn,nCN+,求证：数列Cn是等差数列；(2