2019届黑龙江学业水平考试数学理试题解析版

1、2019 届黑龙江省学业水平考试数学（理）试题、单选题22_XV1 1.椭圆C:1的离心率是（）（）94A A.巫 B.B.C C.更 DTDT3939【答案】C C22【解析】由椭圆C：L L1,1,可得a、b的值，求出 c c 的值，可得离心率. .94【详解】22解：由椭圆C:1,可得a=3,b=2,c=ja_b2=732_22=J5,94故离心率ec-,a3故选：C.C.【点睛】2 2.两平行直线2xy10与2xy30间的距离为（【解析】运用两平行直线的距离公式即可得到结论.本题主要考查椭圆离心率的相关知识，求出c的值是解题的关键C.C.3.554.55根据两平行线间的距离公式得：d

2、d1322124415,55本题考查两平行直线的距离公式的运用，考查运算能力，属于基础题.22c一一一一Xy33.若双曲线C:0-1a0的渐近线方程为y-x,a292的值为（）（）【答案】A A22【解析】由双曲线C:2L1a0可得双曲线的焦点在x轴上，设渐近线方程为,a29b3y-x,由渐近线万程为y-x,可得a的值.a2【详解】22解：由双曲线C:xy1a0,可得双曲线的焦点在x轴上，a9b3设渐近线方程为yx,又已知渐近线方程为y-x,b3,a2可得a2,故选：A.A.【点睛】本题主要考查双曲线渐近线的求法，相对不难4.4.当圆C:x2y24x2my2m0的面积最小时，m的取值是()()

3、A.4B.3C.2D.1【答案】D D【解析】将圆的一般方程化为标准方程，求出圆的半径，从而可得圆面积最小时m的取值.【详解】22_斛：由圆C:xy4x2my2m0,化为标准方程为：(x2)2(ym)2m22m4,可得：r2m22m4(m1)233可得当m1时，r2最小，即圆的面积最小，故选：D.D.【点睛】本题主要考查圆的一般方程与标准方程的转化，相对不难，注意运算准确5.P%,y0是抛物线y24x上一点，点P到焦点的距离是点P到y轴距离的3倍,则XO()()B.B.1 1A.2B.4C.6【答案】A A【解析】由抛物线方程为y24x,计算出P的值与准线方程，由点P到焦点的距离是点P到y轴距

4、离的3倍列出关于小的方程，可得答案.【详解】解：由抛物线方程：y24x,可得P2,准线方程为：x1,可得点P到焦点的距离：X01,由点P到焦点的距离是点P到y轴距离的3倍,1可信.x013x0,斛仔：x0,2故选：A.A.【点睛】本题主要考查抛物线的简单性质，相对不难PF1PF2,若PF1F2的面积是9,则b()()A.1B.2C.3D.4【答案】C C【解析】由双曲线焦点三角形的面积公式，代入可得b的值.解：设F1PF2，由PF1PF2,可得90,可得：b3,故选：C.C.【点睛】本题主要考查考查双曲线焦点三角形的面积，注意牢记公式，运算准确7 7.以抛物线x210y的焦点为圆心，而为半径的

5、圆，与直线2mxmy10相切,2x6.已知F1，F2双曲线C：-2a2y_1ab21a0,b0的两个焦点,P为C上一点，且由双曲线焦点三角形的面积公式b2tan29,A.Z或115C.2或2口.2或11555【解析】求出抛物线的焦点和圆的方程，利用圆心到直线的距离等于半径列出方程，可得m的值.5、一10y的焦点为(0,万)，可得圆的方程为:22f-,斛仔：m或m-,5155故选：C.C.本题主要考查抛物线的简单性质及直线与圆的位置关系，相对不难，注意运算准确 8.8.已知两点2,0,B0,4,0为坐标原点， 动点Px,y在线段AB( (不含端点)上运动,过P点分别向x,y轴作垂线，垂足分别为M

6、,N,则四边形PMON的面积的最大值为()()A.A.5/2B.B.2C.C.2&D.D.8【答案】B B【解析】设P(x,y),根据平行线的性质，可得x、y之间的关系y42x,可得SPOMNxy，代入可得四边形PMON的面积的最大值.【详解】解：如图：x4y设P(x,y),根据平行线的性质，可得：-4y，整理可得：y42x,22_故：SPOMNxyx(42x)2x4x2(x1)2,当x1,可得SPOMN的最大值为：2,2,故选：B.B.x2(yj)25,解：可得抛物线x当直线2mxmy10相切时，可得圆心到直线的距离:5m124m2m2【点睛】本题主要考查二次函数在几何中的应用，注意

7、建立合适的函数模型并运算准确9 9.双曲线x23y23t的一个焦点坐标为0,4,则1()()A.A.4B.B.2 2C.C.2D.D.4【答案】A A【解析】由双曲线的一个焦点坐标为0,4,可得t0,将将双曲线的方程x23y23t化为标准形式，可得4t16,可得答案.【详解】解:由双曲线x23y23t的一个焦点坐标为0,4,可得焦点在y轴上，故t0,y10),由BF2,由抛物线定义可得:XI12,XI3,代入抛物线方程可得：y1石，故B(3,J3), ,10.10.直线l过抛物线C:y22B.B.C.C.12【解析】求出抛物线的焦点与准线方程，由BF2可彳导B的坐标，求出AB的直线方1x一,化

8、简可得：y31y22取值范围是( (0a4,故选：C.C.档题.设AB的直线方程为:y_0_、30联立直线与抛物线:3x2x,可得3x25x-40,一3斛得：x一或x2故A点的横坐标为1616AF故选：B.B.本题主要考查直线与抛物线的位置关系，注意联立直线与抛物线解题，属于中档题1111. .若直线1:x22y0与双曲线x2ay4a0的右支仅有一个公共点,A.(4,B.4,)C.0,4D.0,4利用直线与双曲线的右支仅有个公共点，结合双曲线的渐近线，可得答案解：由双曲线方程为:x2ay24a0,可得渐近线方程：xVay,直线方程为l：x2y0且与双曲线的右支仅有一个公共点,本题主要考查双曲线

9、渐近线的求法及直线与双曲线的位置关系,注意运算准确,属于中12.12.已知点M1,2和抛物线过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A,B两点，若AMB90,B.B.2 2C.C.3 3D.4【解析】求出抛物线的焦点坐标，设直线方程为:yk(xyk(x1),1),联立直线与方程，可得XiX2,XX2的值，同时求出Yi、2,yiy2的值，由AMB90，可得 MAMB0,MAMB0,代入各值可得k的值.【详解】解：由抛物线C:y24x,可得其焦点坐标为(1,0),过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A,B两点的直线方程为：yk(xyk(x1),1),联立可得：y4X, ,k2x22(2k2)xk20, ,

10、yk(x1)42k2,设A(xi,yi),B(x2,y2),可得x1x22,xx21,k24可信：yiy2k(xix22)kyiy2k2(xi1)(x21)k2x1x2(xix2)14,由M1,2,且AMB90,可得 MAMur0,MAMur0,可得：(xi1)(x21)(yi2)(y22)0,整理可得：x1x2(xix2)yy22(yiy?)50,4.8_2可得：1224一50,即k2k10,k2kk1,故选：A.A.【点睛】本题主要考查抛物线的简单性质及直线与抛物线的位置关系，属于中档题，注意运算准确.2213.13.己知双曲线G:占当1aab0,b0的右支与焦点为F的抛物线C C2：x

11、x22py2pyp0交于A,B两点，若AFBF程为()()1vA.A.yxB.yxB.yx2C.y6OF,则双曲线Ci的渐近线方、2x222【解析】把x22pyp0代入与之1a0,b0可得ab22_22c_b,ay2pbyab0,利用根与系数的关系与抛物线的性质可得一的值，可得答a案.【详解】程，即可求解离心率的值详解：设A(Xi,y。B(X2,y2),AB的中点2222由题意知x2*1，与当1,a2b2a2b2解：把x22pyp2一X0代入与a2y_可得：a2y22pb2ya2b20,故yAyB2p*a又|AF|BF|6OF,故yAyB2pi2.2b八b,2p2p,1,aap2可得双曲线Ci

12、的渐近线方程为yx,故选：B.B.【点睛】本题主要考查双曲线渐近线的性质及抛物线的相关性质，属于中档题2214.14.已知过椭圆、41(aabb一b0)的左焦点且斜率为一的直线l与椭圆父于A,Ba两点.若椭圆上存在一点P,满足uunOAuumunnOBOPr0(其中点O为坐标原点)，则椭圆的离心率为(B.B.3C.分析: 根据平方差法得到直线OM的方程为yb、一x,联立方程组，解得点Pa的坐标, 再根据uuuuurOAOBuurrOP0，uumOPuuuv2OM.一bc、,把点P(c,)代入椭圆的方aM(x,y0),两式相减得( (2 2)()(0,0,ababXX2yy2bxy。入J22kA

13、B0,而kAB_，所以一220，abaabbbyx所以直线OM的方程为ybx,联立a，解得xPab/、y-（xc）auuuuLinuumruuu又因为OAOBOP0，所以OPc取值范围），常见有两种万法：求出a,c，代入公式e；只需要根据一个条件a得到关于a,b,c的齐次式，转化为a,c的齐次式，然后转化为关于 e e 的方程（不等式）, ,解方程（不等式），即可得 e e（e e 的取值范围）. .二、填空题215.15.已知双曲线C:y21左、右焦点分别为F,F2,点Px,y在C右支上，若3PF2I2,则怛弓.【答案】22,3【解析】由双曲线的定义结合双曲线的方程可得PF1的值.【详解】2

14、解:由双曲线方程C:y21,可得aJ3,3由Px,y在C右支上，若PF22,则|PF1PF22a2A可得：PFi22后，故答案为：22,3. .【点睛】本题主要考查双曲线的定义与标准方程，相对简单bc2a，uuuuf2OMbc、所以点P （c,）代入椭圆的方程,aa22c2,所以e-,故选A.a2点睛：本题考查了椭圆的几何性质离心率的求解，求双曲线的离心率（或离心率的222216,16,已知圆Ci：xy2x4y40,圆C2：xy2x2y20,则两圆的公切线条数是.【答案】2【解析】首先把圆的一般方程化为标准方程，进一步求出两圆的位置关系，可得两圆的公切线条数.【详解】22斛：由圆Ci:xy2x

15、4y40,可得：(x1)(y2)9,可得其圆心为(1,2),半径为3;22由C2：xy2x2y20,可得(x1)2(y1)24,可得其圆心为(1,1),半径为2；所以可得其圆心距为：dJ(11)2(21)2而，可得：321d473,122可得c的取值范围，可得a的取值范围.【详解】22解：由题意：椭圆C：与1a2,可得b2,a4又椭圆C上存在四个不同的点P满足S/PFF4J3,VPF1F21C可得：-b2c473,即c2由，c212，可得：a2b2c216，a4,故答案为：4,.4,.【点睛】本题主要考查椭圆的简单性质及椭圆基本量的计算，相对不难1919 .已知定点F12,0,F22,0,N是

16、圆O:x2y21上任意一点，点E关于点N的对称点为M，线段FM的垂直平分线与直线F2M相交于点P,则点P的轨迹方程是23【解析】连接ON,可得点N为MFI的中点，故MF22,由线段FIM的垂直平分线与直线F2M相交于点P,可得PFIPM,可得PF?PFIPF?PMMF22FF2,可得点P的轨迹为双曲线，可得其方程【详解】解：如图，连接ON,设Q(0,3),此时当F、P、Q三点共线时,PFPQ取得最小值,由题意可得：ON1,且点N为MF1的中点，故MF?2,又线段FiM的垂直平分线与直线F2M相交于点P,可得：PFiPM,故PF2PF1|PF2PMMF22VFF2,故其轨迹为双曲线，且 a a1

17、,1,c2,且焦点在x轴上，bJ32可得其轨迹方程为：x21,32故答案为：X21. .3【点睛】本题以圆为载体，考查了双曲线的定义，体现了转化思想的应用22020 . .过抛物线C:y2pxp0的焦点F的直线l与C相交于A,B两点，且A,B两点在准线上的射影分别为M,N,SMa,-SBFN-，则一. .SVAFMSVMFN【答案】4 412.【解析】设MAF, ,AFa,BFb,可得SMAF-asin,2c1.2.SNBF-bsin,21(SMNF)2-MF2NF2a2b2sin2，可得一的值.4【详解】设MAF,AFa,BFb,由抛物线定义可得：AMa, ,BNb, ,MFONFOMFAN

18、FB-, ,2在MAF中，由余弦定理可得：MF22a2(1cos),同理：MF22b2(1cos),12-12故SMAF-asin,SNBF-bsin,22_21_2_2222(SMNF)MFNFabsin,4故(S(SMNF) )24,SMAFSNBF故答案为：4.4.【点睛】本题主要考查抛物线的定义与几何性质，属于中档题，注意余弦定理的灵活运用. .三、解答题2121.已知直线l:J3xy20,圆C:x2y24x4y10. .(1)判断直线l与圆C的位置关系，并证明；(2)若直线l与圆C相交，求出圆C被直线l截得的弦长；否则，求出圆上的点到直线l的最短距离.【答案】(1)(1)相交，证明见

19、解析；(2)(2)2娓【解析】(1)(1)将圆的方程化为标准形式，求出圆心到直线的距离 d d, ,判断其与半径的大小，可得直线l与圆C的位置关系；(2)(2)由(1)1)可得圆心到直线的距离 d d, ,再由弦长公式可得圆 C C 被直线 l l 截得的弦长【详解】解：(1)相交，证明如下；2222可将圆的一般万程C:xy4x4y10化为：(x2)(y2)9,可得其圆心：(2,2),(2,2),半径为：3,3,由直线l:j3xy20,2_27322L可得圆心到直线l的距离：d43,.13故：d0,b0）,由eJ1（b）2我可得ab.aab,代入点（4,可得a、b的值，可得答案；（2）联立直线

20、与双曲线，可得（1k2）x22k2xk260,可得1k20,且0,解不等式可得k的取值范围.【详解】解：（1）由双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为J2,过点（4,尺）,2设双曲线的方程为：与a可得ab,由其过点（4,J10）,日16可得a22故双曲线标准方程为：二L1；6622（2）联立直线ykx1与双曲线：21,662222可得：(1k)x2kxk60,可得：1k20,且0,可得：4k44(1k2)(k26)0,可得：k1,且应k0,b0),由eJ1(b)2区a1,1【点睛】本题主要考查双曲线标准方程的求法及其简单性质、直线与双曲线的位置关系，属于中档题，注意运算的准确性.22223

21、23.已知抛物线C:y2pxp0的焦点F为圆x1y1的圆心，O为坐标原点.(1)求抛物线C的方程；(2)过抛物线C焦点F,作斜率为f的直线l交C于A,B两点(A点在第一象限)，若3urnuirurnuirAFFBAFFB, ,求的值. .2【答案】(1)y4x；(2)4. .一，一一一一 22【解析】(1)(1)可得圆x1y1的圆心，可得F的坐标，进而求出p,可得抛物线的方程；44(2)设过抛物线C焦点F,作斜率为一的直线l为：y(x1),联立直线与抛物33线，求出A,B两点坐标，由 AuuFBAuuFB, ,可得的值.【详解】22解：(1)可得圆x1y1的圆心为(1,0),故抛物线C:y2p

22、xp0的焦点F(1,0),可得艮1,p2,2故抛物线方程为：y24x；4八,4(2)设过抛物线C焦点F,作斜率为一的直线l为：y(x1),332一2代入抛物线：y4x,可得：4x17x40,1_1解得：x4或x一，可得：A(4,4),B(一,1),44, ,uuuuiruuuuir1由 AFFB,AFFB,可得14(-1),4可得：4. .【点睛】本题主要考查抛物线的定义及直线与抛物线的位置关系,联立直线与抛物线是解题的关键.222424. .已知椭圆=1111a2b2(1)求椭圆C的方程;(2)已知M0,8,若Q是椭圆C上一动点，求QM的最大值，并写出此时Q点坐22【答案】(1)(1)土 L

23、 L84入椭圆方程可得a的值，可得答案，一1-2(2)由题意表不出QM,再由二次函数的最值求出最大值即可22解：(1)(1)将点A0,2代入椭圆三y_y_abuuuuuu、6uum.6uuu又OAOB，OP，即(0,2)(2,0)OP, ,2222故椭圆C的方程：LL1；84(2)(2)设 Q(x,y),Q(x,y),由其在椭圆上，可得x282y2,一，八,2可得当y2时，QM最大，此时为 100,100,即此时Q(0,2),QM的最大值为10.【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程的求法与基本性质，属于中档题ab0,点A0,2与点P在椭圆C上.已知B2,0,OuuuUULT为坐标原点，且OAOB

24、J6uuuOP. .21；(2)(2)Q0,2时，max10.【解析】(1)(1)将A点代入方程可得uuruuub,再根据OAOB6uuTOP2,求出P点坐标，代1ab0,可得 b b24,4,fr_29则：QMx2(y8)22y216y72(y8)2136,其中2y2,2525.如图，已知直线l与抛物线 y y2x x 相交于Ax,%Bx?*两点，O为坐标原点,直线l与x轴相交于点M,且yy21. .(1)(1)求证：OAOB;(2)求点M的横坐标；(3)过A,B点分别作抛物线的切线，两条切线交于点Q,求kQMkAB. .【答案】(1)证明见解析；(2)1；(3)1.4【解析】(1)(1)设

25、直线的方程为：xmyt,代入抛物线 y y2x,x,运用韦达定理，结合条件t1,再由斜率数量积垂直的性质，即可证明；(2)由直线xmyt,令y0,可得M的横坐标；(3)求出抛物线上的点的切线的斜率和方程，求出点Q的坐标，再由直线的斜率公式可得答案.【详解】证明：(1)(1)设直线的方程为：xmyt,代入抛物线 y y2 2x,x,可得：y2myt0,由Ax1,y1Bx2,y2,yy21,可得yy2m,yy2t1,t1,22由xx2(y1y2)1,可得xx20丫2=(丫1丫2)+y1y2110,uuuuur可得OAOB0,即：OAOB；(2)(2)由直线xmyt,令y0,可得x1,即点M的横坐标为：1;1;一,21(3)由yx,两边对x求导，可得2yy1,即y,2y1，八、1可得A处切线的斜率为，切线方程为：yy1(xx1)，212ym2yiy2求解，属于难题.x2y2226.26.已知椭圆C:2Ti的一个顶点为抛物线x8y的焦点，点P%,yo在椭8b圆C上且xyo0,P关于原点O的对称点为Q,过P作OP的垂线交椭圆于另一点T,连 QTQT 交x轴于M. .(i)(i)求椭圆 C C 的方程；(2)(2)求证：PMxPMx 轴;POM的面积为Si,PQT的面积为S,求丁S222【答案】(i)(i)二yi i；(2)(2)证明见解析；(3)(3)848y的焦点为：(