2020届高考数学专题十六圆锥曲线的几何性质精准培优专练文

1、培优点十六圆锥曲线的几何性质一、定义的应用22xV例1：椭圆1上一点M到焦点Fi的距离为2,N是MFi的中点，则|ON|()259一-八3A.2B.4C.6D.-2【解析】设椭圆的另一个焦点为F2,22XV因为椭圆匚1上点M到焦点Fi的距离为2,259即|MF112,且|MF1|MF212a10,所以|MF2|8,因为N是MF1的中点，O是F1F2的中点，所以八1|ON|-|MF2|4.，二、求双曲线的渐近线2X例2：设O为坐标原点，F1,F2是双曲线a*1(a0,b0)的焦点，若在双曲线上存在点P,b2满足F1PF2|OP|a,则该双曲线的渐近线方程为()3【答案】D【解析】如下图可知：Fi

2、PPF22a,令PF2x,则F1P2ax,uuirujrnuum因为O为F1F2的中点，PF1PF22PO,iur22uurUULU222冗即4PO28a(PF!PF2)(2ax)x2x(2ax)cos,可得x2a,3即PF22a,F1P4a,冗在二角形FIPF2中，FIF22c，FFF2由余弦定理可得4a216a24c216a2cos8a2,即c23a2,cJ3a,3所以b拒a,即该双曲线的渐近线方程为J2xy0.，三、求离心率的值22例3：已知椭圆C:今冬1(ab0)的左焦点为F,C与过原点的直线相交于A,B两点，连接AF,abA. x.3y0B.、3xy0C. x、.2y0D.、2xy0

3、4BF,若|AB|i0,|AF|6,cosABF,则C的离心率5【解析】 设椭圆的右焦点为Fi,在4ABF中， 由余弦定理可解得所以4ABF为直角三角形,又斜边AB的中点为O,所以|OF|c5,连接AF1,因为A,B关于原点对称，所以|BF|AF1|8,所以2a14,5所以离心率e-7四、求离心率的取值范围|BF|8,2X例4:椭圆M：二ab21(ab0）的左、 右焦点分别为Fi,F2,P为椭圆M上任一点，且|PFi|PF?|的最大值的取值范围是2c2,3c2,其中c.a2b2,则椭圆M的离心率e的取值范围是（）riiD，32又|PFi|由基本不等式得（|PFi|2|PF2|)4|PFi|PF

4、2|,2|PF212a,所以4a4|PFi|PF21,即|PFi|PF2|a2,所以(|PFi|PF2|)maxa2,此时|PFi|PF21a,所以2c2a23c2,得2e213e2,所以1e2-,32又0e1,得费e立.32，五、抛物线的几何性质例5：过抛物线y22px(p0)的焦点F的直线与抛物线相交于M,N两点，自M,N向准线l作垂线，垂足分别为M1,N1，则MFW等于()A.45B.60C.90D.120【答案】C【解析】由抛物线的定义，得|MF11MMi|,|NF|NN1|,MFM1MM1F,NFN1NN1F,设准线l与x轴的交点为F1,-MMJ/FFJ/NN1,MM1FM1FF1,

5、NN1FN1FF1,而MFM1M1FF1NFN1N1FF1180,2M1FF12N1FF1180,即M1FN190【答案】A【解析】在椭圆中|PFi|PF2|2布，在双曲线中|PFi|PF2|2G联立解得|PFi|Vm7a,|PF21VmTa(不妨令PFPF2),所以|PF111PF2|ma.，对点增分集训、选择题，六、圆锥曲线的综合222XVx例6：若椭圆一匚1(mn0)和双曲线一mna1(ab0)有相同的左右焦点Fi,F2,P是两条曲线的一个交点，则|PFi|PF?|的值是()A.ma-1,B. -(ma)222C. ma22xV_1.已知FI,F2是双曲线一22r1的左，右焦点，过Fl作

6、直线交双曲线左支于点A,B,若ABm,ab则AABFr的周长为（）x轴，|PF2|a1的两个焦点，点P在椭圆上，若线段PFq中点在y轴上，则LPFJ的值IPFil为（）A.4aB.4amC.4a2mD.4am【解析】AF2AF2AF12a,BF2BF2AB4a,AF2BF12a,BF2AB4a2m,故选C.A.B.C.D.【解析】二线段PF1的中点在y轴上,PF217IPF1I2aIPF2I41IPF2I1IPF1I7223.已知椭圆C:941,点M与椭圆C的焦点不重合，且点M不在椭圆C上，若点M关于椭圆C的两个焦点的对称点分别为A,B,点N是使得线段MN的中点在椭圆C上的点，则IANIIBN

7、I（）A.9B.12C.14D.1622.设F1,F2为椭圆y24【答案】B【解析】设椭圆C的两个焦点分别为F1,F2,MN的中点为G,连接GF1,GF2,则点G在椭圆C上,11、因为M关于F1，F2的对称点分别为A,B,所以|GFJ|AN|,IGF2I-|BN|,22所以|AN|BN|2(|GFi|GF2|)4a12.XV22.24.已知椭圆Ci：=11(ab0)与圆C2：x2y2b2,若在椭圆Ci上存在点P,过P作圆C2的ab_，_，、._一八，r九切线PA,PB,切点为A,B,使得APB,则椭圆C1的离心率的取值范围是()3ABW。4,3)。01)【解析】当点P为椭圆的一个长轴端点时，两

8、切线形成的夹角最小，不妨设为_九b所以要使椭圆。上存在满足条件的点P,只需a一,易得sin-,32a所以一sina62222.123223_23_又bac,解得c-a,e一，即e，即e4443所以椭圆g的离心率的取值范围是/).25.若点P在抛物线yx2上，点Q在圆x2(y4)21上，则|PQ|的最小值是()/27.15d15dJ(x-)11,A.41B.-51C.2D.5122【答案】B【解析】设圆x*45(y4)21的圆心为A(0,4),因为点P在抛物线yx2上，设P(x,x2),所以|PQ|AP|AQ|x2(x24)21.x67x2161442即|PQ|的最小值是巫1.26.已知以原点O

9、为中心，焦点在x轴上的双曲线G,其一条渐近线的倾斜角为60,F为该双曲线的右M在双曲线G上，且点N是线段MF的中点，若|ON|NF|1,则双曲线G的方程为（）2c222八2c2/x3y/xy/A.x3y1B.一11C.一16441222【解析】设双曲线G的方程为与、1（aa2b2点F是该双曲线的左焦点，连接MF,因为点N是线段MF的中点，所以线段ON是4MFF的中位线,则|MF|MF|2(|ON|NF|)2,即2a2,所以a1,焦点，位于第一象限内的点0,b0),_2D.x又双曲线的一条渐近线的倾斜角为60,则tan602所以双曲线G的方程为x2L1.3、填空题22xV.7.已知动点P(x,V

10、)在椭圆C:1上，F为椭圆C的右焦点，若点M满足MF1,2516uuiruuuruuuu且MPMF0,则|PM|的最小值为.【答案】322222【解析】由题意，得F(3,0),PMPFMF(ac)21(53)213,uuuu一所以|PM|minV3.28 .若椭圆-y21(a1)的离心率ea【答案】2,5X22【斛析】Q椭圆y1的离心率eaJ3,所以bB显,则双曲线x2纭1的焦距为.2a2立且a1,2所以e点得a22双曲线X2与1的焦点为(Ja21,0),即(75,0),a所以该双曲线的焦距为2J5.229.F是椭圆士上1的右焦点，A(1,1)为椭圆内的一定点，P为椭圆上的一动点，则43最小值

11、为.【答案】4.5【解析】设椭圆的另一焦点为F,则F(1,0),连接AF,PF,PA|PF|PA2aPF|2a(PF|PA)2aAF|475,当P是AF的延长线与椭圆的交点时，|PAPF取得最小值为4后.10.抛物线C:y24x上一点Q到点B(4,1)与到焦点F的距离和最小，则点Q的坐标为.1【答案】(-,1)4【解析】过点Q作QRl于点R,当B,Q,R三点共线时，|BQ|QF|BQQR最小,1此时 Q 点的纵坐标为 1,代入到抛物线的方程可得到 x-,4于是点Q(-,1).4PF的22XV11.已知双曲线-22_i（ao,b0）的左，右焦点分别为FI,F2,等边三角形PF1F2与双曲线交于M

12、,abN两点，若M,N分别为线段PFi,PF2的中点，则该双曲线的离心率为.【答案】.,31【解析】由题意可知|PFi|PF2|F1F2|2c,则|MFi|c,|MF21底,因为|MF2|MF1|（,31）c2a,则该双曲线的离心率为e22,XV-1与椭圆1相交于A,B两点，该椭圆上点P,使得PAB面积等于3,这样169的点P共有个._6【解析】由题意AB5,则ZXPAB的图为-.5、一，、XV,6,与直线一一1平行且距离为一的直线方程为3x4V60（与椭圆相父）和3x4y180（与椭圆435相离），所以这样的点有2个.13.一个等边三角形的两个顶点在抛物线y220 x上，第三个顶点在原点，则

13、这个三角形的面积为.【答案】1200.312.直线-V43【解析】设此三角形为AOAB,设A(x1,y1),B(x2,y2),由|OAOB得：xi2yi2X22y22,22即Xi20 xiX220X2,(x1x2)(x1x220)0,2一2QX0,x20,xix2,则yiy2,yiy2,、3A,B关于x轴对称，A,B在直线yx,3联立直线方程与抛物线方程可得到A(60,20j3),B(60,2073),OAB是边长为40省的等边三角形，所以它的面积为Si200j3.三、解答题22xyi4.设点P是椭圆y-i上的动点，Fi,F2是椭圆的两个焦点，求sin259【答案】i【解析】由方程可知设Fi(

14、4,0),F2(4,0),PFiri,PF22,EPF2RPF2的最大值.ri则有二2ir2i0L(i)2r22M2cos64L(2)2(i)2(2),得2ri2(icos)36,ii8cos,rmQrir22折；,rm的最大值为a,1cos叫即cos25Q,句，当一时，sin取得最大值为1,2所以sinF1PF2的最大值为1.线交l于点P,设点P的轨迹为C.(1)求曲线C的方程;(2)以曲线C上的点Q(Xo,yo)(yo0)为切点作曲线C的切线L,设l1分别为x,y轴交于A,B两点,且11恰与以定点M(a,0)(a2)为圆心的圆相切，当圆M的面积最小时，求4ABF与4QAM面积的比.【答案】(1)y784x；(2)1:4.【解析】(1)由题意得|PH|PF|,点P到直线l.点P的轨迹是以l的准线，F为焦点的抛物线,.点P的轨迹C的方程为y24x.7/、(xx0),x015.在平面直角坐标系中，已知点F(1,0),直线l:x1,动直线l垂直l于点H,线段HF的垂直平分:x1的距离等于它到定点F(1,0)的距离,，以Q为切点的切线l1的斜率为k(2)由y24x,当y0时，y2/x,.y以Q(x0