微分与积分中值定理和应用

1、第二讲 微分与积分中值定理及其应用1微积分中值定理 01.1微分中值定理 01.2积分中值定理 32微积分中值定理的应用 34.1证明方程根(零点)的存在性 34.2 进行估值运算 74.3证明函数的单调性 84.4 求极限 84.5证明不等式 9引言Rolle定理，Lagrange中值定理，Cauchy中值定理统称为微分中值定理。微分 中值定理是数学分析中最为重要的内容之一， 它是利用导数来研究函数在区间上整体性 质的基础，是联系闭区间上实函数与其导函数的桥梁与纽带，具有重要的理论价值与使 用价值。1微积分中值定理微分中值定理罗尔(Rolle)定理：若函数f满足如下条件(i ) f在闭区间a

2、,b上连续；(ii) f在开区间(a,b )内可导；(込)f(a) f(b),则在(a,b )内至少存在一点 ，使得f ( ) 0 朗格朗日(Lagrange)中值定理：设函数f满足如下条件：(i ) f在闭区间a,b上连续；(i ) f在开区间(a,b )上可导；则在(a,b )内至少存在一点 ，使得f(b) f(a)b a柯西中值定理：设函数f和g满足(i )在a,b上都连续；(ii)在(a,b )内都可导；(込)f'(x)和g'(x)不同时为零;(iv) g(x) g(b),则存在 (a,b)，使得f ( ) f(b) f(a) g ( ) g(b) g(a)微分中值定理

3、的推广罗尔定理的推广定理1:设函数f (x)在(a,b )内可导，且有lim f (x) f (a 0) f (b 0) lim f (x) A(A为有限值或或 )，则存在点x ax b(a,b)，使得 f ( )0 .证明：首先对A为有限值进行论证：人f (x),x(a,b)令 F(x)A, x a或 x b则易知函数f(x)在a,b上连续，在(a,b )内可导且F(a) F(b) 由Rolle定理可知， 在(a,b)内至少存在一点 ，使得F ( ) 0，而在(a,b)内有F (x) f (x)，所以f ( ) 0 . 其次对A= ()进行论证：由引理1， f (x)在(a,b )内能取得最

4、小值(最大值).不妨设：函数f(x)在 (a,b)处 取得最小值(最大值)此时函数f(x)在 (a,b)处也就取得极小值(极大值).又因为f (x)在(a,b)处可导，由Fermat引理，可得f ()0 .综上所述，从而定理得证.定理2:设函数f(x)在(a,),内可导，且lim f (x)x alimxf(x)，证明:在(a,)中存在一点，使得f ()0 .定理3:设函数f (x)在(，b),内可导，且lim f (x)xlimx bf (x)，证明:在(,b)中存在一点，使得f ()0 .定理4:设函数f(x)在(，),内可导，且lim f (x) lim f (x)，证明：在(xx中存在

5、一点，使得f ( ) 0 .朗格朗日中值定理的推广f(b 0)存在，则在(a,b )内至少存在一点，使定理5:如果函数f(x)满足条件：在开区间(a,b )上可导且lim f (x) f (a 0) f (a), lim f (x)x ax bf(b) f(a)b a柯西中值定理的推广定理6:如果函数f(x)和F(x)满足条件:都在有限区间(a,b)内可导； lim f (x) m, lim f (x) M1, lim F(x)m2, lim F(x) M2;x ax bx ax b x (a,b),有F'(x)0；则在(a,b)内至少有一点，使得f'( ) MimiF'

6、;( ) M2m2证明：作辅助函数A(x),B(x),并且令 f (x)x (a,b)时，fF(x)x (a,b)时，A(x) r 叶x a时，B(x) -m2x a时，L M1x b时，I一 M2x b时，则A(x),B(x)在闭区间a,b上连续，开区间(a,b)内可导，且对x (a,b), B'(x)0,由Cauchy中值定理可知，至少有一点(a, b)使得A'( )A(b) A(a)B'( )B(b) B(a)又当 x (a,b)时，A(x) f(x),B(x) F(x)A()f ()A(b)A(a)Mib'()F'()B(b)B(a)m2m2即：

7、f'()1MimiF ()M2m21.2积分中值定理积分中值定理：若f(x)在区间a,b上连续,则在a,b上至少存在一点使得bf x dx f b a , a b.a积分中值定理的推广推广的积分第一中值定理：若fx,gx在闭区间a,b上连续,且g x在a,b上不变号,则在a,b至少存在一点,使得bba f x g x dx f a g x dx,a b.第一型曲线积分中值定理：若函数f(x, y)在光滑有界闭曲线C上连续，则在曲线C上 至少存在一点(，)，使 f(x,y)ds f ( , )S。C其中S表示曲线C的长。第二型曲线积分中值定理：若函数f(x, y)在有向光滑闭曲线C上连续

8、，则在曲线C上 至少存在一点(，)，使 f (x, y)ds f( , )IC其中I为有向光滑曲线C在x轴上的投影，符号是由曲线C的方向确定。第一型曲面积分中值定理：若D为xoy平面上的有界闭区域，z z(x, y)是光滑曲面S， 函数f (x, y,z)在S上连续，则曲面S上至少存在一点(，)，使得 f(x,y,z)d f( , , )A其中A是曲面S的面积。第二型曲面积分中值定理：若有光滑曲面S : z z(x, y)，(x,y) Dxy ,其中Dxy是有界 闭区域，函数f (x, y,z)在S上连续，则在曲面S上至少存在一点(，)，使得f (x, y, z)dxdy f( , , )AS

9、其中A是S的投影Dxy的面积。3微积分中值定理的应用3.1证明方程根(零点)的存在性例1:设函数f(x)和g(x)在闭区间a,b上连续，在(a,b )上可导，则在(a,b )内存在一点f(b)g(b)(ba)f (a)g(a)f ()g()证明：令 F(x) f (a)g(x) f (x)g(a)，则F (x) f (a)g (x) f (x)g(a)，又有F(b) f(a)g(b) f(b)g(a)，F(a)上连续，在(a,b )上可导，故运用f (a)g(a) f (a)g(a)0 .易知 F (x)在闭区间a,bF(b) F(a) F(b) (ba) f (a)g (即 f(a)g(b)

10、 f(b)g(a)(b a) f(a)g ()g(a)，f ( )g(a)，所以在(a,b)内存在一点(a,b)，使得f (a) g(a)f(b)g(b)(b a)f (a) g(a)f ()g(),故定理得证.Lagrange中值定理可得，存在一点(a,b)，使得例2:设函数f(x)和g(x)在闭区间a,b上连续，在(a,b )上可导，且在闭区间a,b上，丄有意义，g(x) 0 .则在(a,b)内存在一点 (a,b)，使得 g(x)g()f(a)曙 g(a) g(b)g(b) g(a)f () g()f ()g()证明：令F(x)丄凶，G(x) ，易知F(x)和G(x)在区间a,b上满足Ca

11、uchy中 g(x)g(x)值定理条件，故有,F(b) F(a)F () 即 f(b)g(a)f(a)g(b)G(b) G(a) G (/g(a) g(b)f ( )g() f( )g()，所以在(a,b) g ()内存在一点(a,b)，使得 g ( ) f (a)g(a)f(b)g(b)恥)啊:壮g()，故定理得证.例1：设a,b,c为三个实数，证明：方程 证明：令 F (x) ax2 bx c e 则 F'(x) 2ax b ex , F"(x) 用反证法，设原方程的根超过程 不妨设为X1 X2 X3那么有罗尔定理，存在x2a e3 个,X4X1F'(1)ex2a

12、x bxc的根不超过三个.，F"'(x) e那么F(x)至少有4个零点,2X33X4 ,使再用罗尔定理,再用罗尔定理,因为F"'(x)存在 1存在 1ex,所以 F"'(F'( 3)0，3,使 F"( 1)F"( 2)0,2,使 F"'( )0,)e 0,矛盾，所以命题得证.F'(证明：一个a,b ，使 f X dxbf x dx1 bf x dx。a2 a证明：令Fxbxfatdtxft dt，显然F x 在 a,b上连续。F aaf tadtbfatdtb af0 qf x 0bbF

13、 bf tadtfbtdt b a f00。可知Fx在a,b上满足零值定理。故一个a,b，使 F0。即 fatdtbf t dt 0faxdxbf x dxbbbfaxdxf x dxfax dx 2 f x dx例3:设实数a1,a2,Lan满足关系式：a2n 1 Ka1L10。32n 1.专业整理.例2：设函数f x在a,b上连续，且f x证明： a cosx a2 cos3x Lan cos 2n 1 x0在0,内至少有一个实根2证明：令xa1 sin x - sin 3x L3sin 2n 1 x2n 1显然f x在0-上连续，在0-内可导,2 2823宀気0,故罗尔定理成立于是0,，

14、使f0，2即:a1 cosx a2 cos3x Lan cos 2n 1 x0。故命题得证。例4:设fx 在 a,b上连续。aX1x LXnb，c 0 i 1,2L ,n证明：一个a,b，使 fGf X Lcnf XnqC2LCn证明：Q f x在a,b上连续,有最值定理有：m f x M ，m, M分别为f x在a,b上最小最大值，于是：Qg 0， m f x1MGmcif% c(Mc2 0， m f x2Mmc2 c2 f x2Mc2Cn0，m f xnMmCn Cn f xnMCnm Cfc2 LCncf fXfC2 f x2LCnfXnCfC2LCn MGfxC2 fX2L Cnf x

15、nMIIICfC2LCn由介值定理，一个a, b，使fCffx L Cnf xnqC2LCnL0)，证明在(a,b)内方程例5:若f (x)在a,b上连续，在(a,b)内可导(a2x f(b) f (a) (b2 a2)f'(x)至少存在一根。证明:令 F(x) f(b) f(a)x2 (b2 a2)f (x)， 显然F(x)在a,b上连续,在(a,b)内可导, 而 F(a) f (b)a2 b2f (a) F(b).根据Rolle定理，至少存在一点，使2 f (b)f(a) (b2 a2)f'(x).例6：设f (x)在a,b上连续，在(a,b)可导(0 占八、使bf(b)

16、af(a) (b a)f( ) f'()成立。 证明:F(x) xf(x)，贝U F(x)在a, b上连续a b)，证明：在a,b内存在一在(a,b)可导，由Lagrange定理，存在一点 a,b，使即 f( ) f'(x) bf(b) af(a)，b a即 bf (b) af (a) (b a)f( ) f ()b),例7:设f x在a,b上连续，在(a,b)可导(0 ab ' (ln)f ()成立。aIn x，对 f (x)， g(x)在a,b上运用 Cauchy定理,使 f(b) f(a)证明：令g(x)证明：在a,b内存在一点，f(b) f(a) ln b ln

17、 a '即 fo f(b) f(a) g'( ) g(b) g(a)b即 f(b) f(a) (In -) f ().a例&证明方程4ax3 3bx2 2cx a b c在(0, 1)内至少有一个根°(p46,209)例9:设抛物线yx2Bx C 与x轴有两个交点x=a,x=b(a<b)，函数f在a,b上二阶可导，f(a)=f(b)=0.2并且曲线y=f(x) 与y x Bx C 在(a,b)内有一个交点，证明：存在(a,b)使得 f ( )2( p46,209)例10证明:x22 X 1方程有且仅有三个实根p46,211)3.2进行估值运算119例1:

18、估计 X6. 1 xdx的值.解：由推广的积分第一中值定理，得1 x19031 11 19x31dx 110,1因为1,所以1321,1203 2120故1203 21_x19031例2:估计dx6x2丄20.dx1 0.5sin x的积分解：由于1 0.51 0.5sin x 1 0.5即2 12 。3 1 0.5sin x于是4 2xdx,43 0 10.5sinx此时可得到估计的积分值为2x dx84/八(1)。0 1 0.5sin x 333.3证明函数的单调性例1 ;设函数f(x)在0,)上可导，f (x)单调增加且f(0)0，证明g(x)卫凶在x(0,)上单调增加.x例2:设函数f

19、(x)在(0，)上连续，F(x)0(x 2t)f(t)dt,试证：在(0,)内, 若f(x)为非减函数，贝S F(x)为非增函数.证明：F(x)0(x 2t)f(t)dtx0 f (t)dt 20tf (t)dt对上式求导，得：F (x)x0 f (t)dt xf(x)x2xf(x) 0 f (t )dt xf(x)利用积分中值定理，得：xxxF(x) xf( ) xf(x) xf( )f(x),(0 x)若f(x)为非减函数，则f( ) f(x) 0，F (x)0，故F(x)为非增函数。3.4求极限例 1：求 lim tan(tanx) tan(sinx)。x 0 tan x sin x解：

20、对函数tant在区间sinx,tanx(0 x -) 上应用拉格朗日中值定理即可。例2：求limn 2(斗吕)，其中a 0。n a a解：根据题意，由Lagrangge定理，有nim n ( nnr)n a anim n2(ax)良n2a In a lim(1 11)nn(n1)In a其中,(丄,丄）n 1n例3：求极限lim1 xn 2n01 xlimn101ndxx2 1xndx2 0n 121 n(112)(11)则limn2dx01 x2limn (1J2)(1 n)解：利用广义积分中值定理3.5证明不等式求证1203 219 x1dx0 3,6.1 x120证明:19x dx1 x

21、619dx其中0,1 ,于是由1即可获证.例2：证明-3dx102 xx212.b证明：估计连续函数的积分值f xdx的一般的方法是求f X在a,b的最大值M和最a小值m,则bmb a f x dx Mb a .a因为921x -322 x x2x 0,1.422.专业整理.所以2 1 dx13 0 . 2 x x2,2例3:证明110 2x9、1 x110证明：估计积分x g x dx的一般的方法是：求f x在a,b的最大值M和最小值m,又若g x 0 ,则mag xdxx g x dxM a9 xdx.本题中令11 x，gx0x1.因为11111 x 0,1、.21 x所以110 20x9

22、dx1x99dx0110122例 4:证明 2e 4 ex xdx 2e2 .0证明：在区间0,上求函数f xex x的最大值M和最小值m.x2 x1f x 2x 1 e ,令 f x 0,得驻点 x .21 1丄比较f , f 0 , f 2知f e 4为f x在0,上的最小值，而f 2e2为f x2 2在0,上的最大值.由积分中值定理得扌2 x2 x2e 4 2 0 e dx e2 20 ,0即 2 24x x22e 4 e dx 2e .03.6推广定理的应用)上可得，且0 f(x) 1证明:使得证明：问题相当于要找0，使1 x1 x2，因函数F(x)f(x)丄二在1 x2)内可导，故0 lim 0xlimxf(x)limx即limxf(x)又 0 lim 0xlim f (x) limxxx1 x2，即 lim f(x) 0x所以 lim f (x)xlim f (x)0x由定理4知0，使得F()0,即题目得证。例2：设 f (x)在a,b上连续(ab0 )，在(a,b )上可导，证明存在一点(a,b)，使得1a bb a f(a) f (b)证：根据定理7，令g(x)，那么g (x)1，则存在