-向量组的线性相关性

1、第四章向量组地线性相关性1. 设 Vi =(1, 1, 0)T,V2 =(0, 1,飞=(3, 4, 0)丁 ,求 Vi V2及3vi - 2v2 V3.解必v2 =(1, 1, 0)T -(0, 1, 1)丁=(1一0, 1-1, 0一1)丁=(1, 0, -1)T3vi2V2-v3(1,1, 0)T 2(0,1,1)T-(3, 4,0)T=(3 12 0 -3, 312 1 -4, 302 1 - 0)T= (0, 1, 2)T2. 设 3(a1 - a) 2(a2 a)a)其中 a (2,5,1,3)T, a (10,1,5,10)T ,a3 =(4,1,-1,1)T，求a .解由 3(

2、a-i -a) 2(a2a) =5(a3 - a)整理得a =】(3a1 2a2 -5a3)=丄3(2,5,1,3)t 2(10,1,5,10)t - 5(4,1,-1,1)t6 6= (1,2,3,4)t3 .设 j*2,、2=：'2-3, '3 ：3-4, * =4 *1,证明向量组：1, ' 23, ：4 线性相关证明设有x1, x2, x3, x4使得Xi ：1X2 ：2X3 ：3X4 ：4 = 0 贝 yXi(： 1： 2)X2(： 2： 3)X3C 3： 4)X4C 4：1) =0(Xi X4)： 1(XX2)： 2(X2 X3)： 3(X3 X4)：4 二

3、 0(1若：1,：2,：3,：4线性相关,则存在不全为零地数 k1,k2,k3,k4,x4。k x1x2。k3 =X2x3 0k4 = x3x4 0由k1,k2,k3,k4不全为零，知 N,X2,X3,X4不全为零,即-1, -2, -3, ：4线性相关(2若a1,a2,a3,a4线性无关,则X + x4 = 0'1 0 0f X1X1 +X2 = 0 =110 0X2x2 +x3 =00 110X3N 十 X4 = 0,0011<X4.>10 0 1二0知此齐次方程存在非零解则1, -2, ：3, ：4线性相关.110 00 1100 0 11综合得证4.设二：1,、2二

4、1比2,川， = - r,且向量组aa2,，ar线性无关，证明向量组-1,2,11), -r线性无关.证明设k1b1 - k2b2亠亠krbr = 0则(ki川 kr)： 1 (k2|卄 kr )： 2 川(kp 川 kr)： p III kr： r = 0因向量组：1,： 2,|), ： r线性无关，故k +k2 + +kr =0F"亠亠1 ' 'y13k2 + +kr =0 彳2ru0 1 1k20、_kr = 0 '!0 11©1 10 1 1因为U II =1式0故方程组只有零解:0 0 1所以：1厂2,11), ：r线性无关T TT5.设向

5、量组 A: ： , : 2 , : m线性无关，向量-1可由向量组 A线性表示,而向量-2不能 由向量组A线性表示.证明：m - 1个向量：，2,m ,1 r 2必线性无关.证明设存在不全为零的数k1, k2 .km, k使得k1km： m k I 12 =01又可由1,m线性表示1 "代入 1 ,得 k1kl1 1km klm ： m k 2 = 0予卩2不能由A表示二k = 0ki klj = 0= & =0,i =1,2, ,m：、, m,| - -2线性无关.6.当-为何值时,向量组：i = (3,2,0,1)T，:2 = (-1,-2,-4,-1)丁 ,3 = (3

6、,0, ,0)T 线性相关解由2, - 1, 4 , -'2 - 9,100, 10, 4 T ,-'<3 - 2,- 4,2, -8T.z3-13q-10-10TTT2-20023023A =(0(1 ,0(2 ,03 )=0-4人0-4扎00丸+ 6J-10丿<00°<000所以当& = -6时，R(A) c3,所以h =-6.7. CCBC8. (1>.线性相关；(2>. a - 2b =0 ; (3>.线性相关；(4>.线性无关.9. 求下列向量组地秩，并求一个最大无关组：,并把不属于2531174375945

7、31327594541345322048解'25<03143、rA 一匚勺5311743"34301235& 一 r200135<0000>17233解- 2a! =a3= aa3线性相关/ T > a12-14、12-14、由aT=910010408219-32T 回丿<_2-42一8000丿秩为2,一组最大线性无关组为 a,a2.25311743759453132759454134032204810.利用初等变换求矩阵地列向量组地一个最大无关组最大无关组地列向量用最大无关组线性表示810 050 10-10 0 120 0 0所以第1

8、、2、3列构成一个最大无关组- a22a3 .11.已知向量组 -=(0,1,-1)T , -2 =(a,2,1)T , * =(b,1,0)T与向量组T rT rTr =(1,2,-3) ,=(3,0,1) ,=(9,6,-7)具有相同地秩,且-3可由向量组T T T：1,：2,： 3线性表示,求a,b地值.解因为1,2线性无关，而:V =3、2-2,所以1,2,3线性相关，且向量组1,2,3地秩为2, 所以向量组"，J, ：3地秩也为2.因为-3可由1,2,3线性表示，故：3可由1,2线性表示， 即：'1 '2，：3线性相关.故12.a =15, b =5 .DC

9、13.f由 a - 1,1,0, 0T,Ta2 二 4,0,1, 1 T所生成地向量空间记作V1,由Tb1-2, -1,3,3畀 b2 =(0, 1,T-1,-1)所生成地向量空间记作V，试证：V1=V2.0ab13b于是有121=0 ,解得a =3b ,另外201-110-310-0，解得 b =5.r'?k? = 3人一厂1 += & 占2 = 3?气2+ k2a2 k1, k r, V2任取V1中一向量，可与成k1a1k?a2,要证 k1a1k2a V2，从而得 乂 ；= V2由 &玄1 ' k?a2 =1 _1 -2 2 得R +k2= 2 人上式中，把

10、k1,k2看成已知数，把'1, -2看成未知数D1 = 2° = 2式0 =打，九2有唯一解-1 1V： V2>14.验证a 1= (1，-1,0TT,d 2 =(2,1,3几a 3 = (3, 1, 2 亍为 R3 地一TT)个基，并把v1=(5,0,7),V2 =(-9,-8,-13)用这个基表示.12 3解因为a1 , a2, a3=-11 1=6 式003 2故 Vi =v?即矩阵（aa2，a3）地秩为3故a1, a2,a3线性无关,则为R3地一个基.1 1同理可证：V?匸Vi (T D? = H 0 >1 0设 w 二 k1a1k2a2k3a3，贝yk

11、+2k? +3k3 =5 k = 2 十 + k2 + k3 = 0 nk2 =33k2 2k 7k31故V1 = 2a1 3a2 -a3设 V： = ' £1/ 2a2'3*3，贝U人 +2入2 *3,-3 = 9k 3* 21 + /-2 + 上3 = 8 1 k = -33'22-313k3 二-2故线性表示为v2 = 3a1 - 3a2 -2a315.求下面齐次线性方程组地基础解系与通解Xi -8X2 +10X3 +2X4 = 0* 2X +4x2 +5x3 _x4 =0Z1解(1> A = 2-8 10458 62初等行变换-1 -210<

12、;0434001403xi +8x2 +6x3 2x4 =0d = -4x3所以原方程组等价于丿31| X2 = 一 X3 + 一 X4I.44取 x3=1, x4-3 得xi-4,x2= 0。 取x3= 0, x4 = 4 得 x0,x2= 1 .因此基础解系为J4)300巴1X201彳 J =C ,通解为=Ci+ c21 20X31013丿宀丿3J16.设 A =-5，求一个4 2矩阵B,使AB = 0,且 R(B) =2.解 因为R(B)=2,所以可设广10X1X2X4丿则由AB 二0、-213":011$ -528,X1X2它3X40<0q 0 3 0、1XJ20 10

13、 3X222 0 8 0X3-90 2 0 8'l5丿,解此非齐次线0可得,M1、2r 10、入111X22,故所求矩阵B=111X3522込4一25111 22>1 2丿性方程组可得唯一解T17.设四元非齐次线性方程组地系数矩阵地秩为3,已知1,T T2,3是它地三个解向量，且3孑+孑-,2 3 243，求该方程组地通解.'-1 _解因为矩阵地秩为3,n r = 4 -3 = 1, 一维.故其对应地齐次线性方程组地基础解系含有一个向量，且因为1, 2, 3均为方程组地解,由非齐次线性方程组解地结构性质得2 1 -(23)=(1 -2)(1 -2)(齐次解)(齐次解)=齐次解为其基础解系向量，故此方程组地通解:x,(k R)18. 求下列非齐次方程组地通解* -5x