k5导数概念应用(陈杰)

1、本文为自本人珍藏 版权所有 仅供参考导数及其应用温州八中 陈杰一. 设计立意及思路： 导数是高中新课程的新增内容，它既是研究函数性态的有力工具，又是对 学生进行理性思维训练的良好素材。从近几年的高考命题分析，高考对到导数 的考查可分为三个层次：第一层次是主要考查导数的概念和某些实际背景，求导公式和求导法则。第二层次是导数的简单应用，包括求函数的极值，求函数的单调区间，证 明函数的增减性等；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关 不等式和函数的单调性、方程根的分布、解读几何中的切线问题等有机的结合 在一起，设计综合试卷。正是基于以上的认识，本专题在例题设计上也是逐层递进

2、，而在每一个例 题上又注意一题多解和多题一解，并且逐步拓展，使学生能循序渐进的掌握知 识和方法，二. 高考考点回顾：1. 测试要求：（1 了解导数概念的某些实际背景 如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线 的斜率等）。掌握函数在某一点处的导数的定义和导数的几何意义。理解导函 数的概念。（2熟记基本导数公式 c，xmm 为有理数）， sinx ，cosx，ex，ax，lnx ， logax 的导数）。掌握两个函数和、差、积、商的求导法则。了解复合函数的求 导法则，会求某些简单函数的导数。（3了解可导函数的单调性与其导数的关系。了解可导函数在某点取得极 值的必要条件和充分条件 导数在极值点两侧异号）。会

3、求一些实际问题 一般 指单峰函数）的最大值和最小值。2. 近 5年全国新课程卷对本章内容的考查情况：科别年份题型题量分值考查内容文科2000解答题114导数在实际中的应用2001解答题112利用导数求函数的单调区间2002解答题112综合运用导数的几何意义证明不等式2003解答题112利用导数求曲线的切线方程2004(浙江卷解答题112求函数导数。利用导数求最 值，解有关单调性问题。理科2000解答题112导数在实际中的应用2001选择、解答题各1题5+12利用导数求函数的极值和证明函数的单调性。2002解答题112综合运用导数的几何意义证明不等式2003选择、解答题各1题5+12导数的几何意

4、义，利用导数求 函数的单调区间2004(浙江卷选择、解答题各1题5+12导函数的概念，；利用导数求 曲线的切线方程，求函数的最 值。.基础知识梳理:1.导数的有关概念(1定义：函数y=f(x的导数f/(x，就是当亠 时，函数的增量 与自变量的增量 的比目的极限，即(2实际背景：瞬时速度，加速度，角速度，电流等。(3几何意义：函数y=f(x在点xo处的导数的几何意义，就是曲线y=f(x在点P(Xo,f(X。处的切线的斜率2.求导的方法：(1常用的导数公式:C=oc为常数)；(x m>/=m)m-1(m Q>(sinx> /=cosx。(cosx> /= -sinxox /

5、 x(e > =e ox / x(a > =a Ina”工o(2两个函数的四则运算的导数:(3复合函数的导数：-I3. 导数的运用：(1判断函数的单调性。当函数y=f(x在某个区域内可导时，如果 仪0，则f(x为增函数；如 果f/(x0，则f(x为减函数。(2极大值和极小值。设函数f(x在点xo附近有定义，如果对xo附近所有的点，都有 f(xf(x o或 f(xf(x o),我们就说f(x o是函数f(x的一个极大值 或极小 值)。(3函数f(x在a,b上的最大值和最小值的求法。四.例题讲解：例1.(1试述函数y=f(x在x=0处的导数的定义；(2 若 f(x 在 R上可导，且 f

6、(x= -f(x ，求 f/(0。(1解：如果函数y=f(x在x=0处的改变量 y与自变量的改变量 x之比,当时有极限，这极限就称为 y=f(x>在x=0处的导数。记作(2>解法一f(x>= f(-x>，贝U f( x>= f(- x>当 丄二 时，有-1| 。解法二：T f(x>=f(-x>,两边对 x 求导，得/. :评析：本题旨在考查学生对函数在某一点处的定义的掌握。题V2)可对其几何意义加以解释：因为 f(x>=f(-x>,所以函数y=f(x>为偶函数， 它的图象关于y轴对称，因此它在x=xo处的切线关于y轴对称，斜率为

7、互 为相反数，点(0,f(0>>位于y轴上，且f/(0>存在，故在该点的切线必须平行x轴 <当f(0>=0时，与x轴重合)，于是有'f/(0>=0。在题<2)的解二中可指出：可导的偶函数的导数为奇函数,让学生进一步思考:可导的奇函数的导函数为偶函数吗？例2.设 f(x>在点X0处可导，a为常数，则1等于(>A.f / (x 0>B.2af/(x0>C.af/(x 0>D.0解:LEJ故选（C评析：在例1的基础之上，本题旨在巩固学生对函数在某一点处的 导数的定义的掌握。例3. 一汽车以50km/h的速度沿直线驶出，同

8、时，一气球以 10km/h 的速度离开此车直线上升，求 1h后它们彼此分离的速度。 人教版高三数 学教材 选修U）第三章复习参考题 B组第6题）解：以汽车和气球运动方向所在直线分别为x轴、y轴建立直角坐标系系 如图），t时刻汽车位于（50t,0处，气球位于（0,10t处，则两汽车和气球的距离I 令 t=1,故1h后它们彼此分离的速度为匸匚二评析：本题考查学生对导数的某些实际背景的了解，要求学生能熟练运用复合函数的求导法则。而且考查了学生的画图识图能力，考查了学 生用所学数学知识处理实际问题的能力。2004年全国高考湖北卷 数学理科）第16题就是由本题改编而成。例4.已知抛物线C: y=x2+2

9、x,按下列条件求切线方程：切线过曲线上一点1, 3）。拓展：已知抛物线 G: y=x2+2x和C2： y= -x 2+a，如果直线I同时 是C和C2的切线，当a取何值时，C和C2有且仅有一条切线？写出此公切 线的方程。2003年全国高考卷新课程 数学文科）（2）切线过抛物线外的一点1, 1）。（3）切线的斜率为2。拓展：点P为抛物线C: : y=x2+2x上任意一点，则点 P到直线 y=2x-2的最小距离为。评析：本题考查曲线y=f（x在点X。处的导数的几何意义：曲线y=f（x在点P（x°,y°处切线的斜率。以题组的形式通过不同角度让学生熟练 掌握导数几何意义的应用。第 1

10、）小题的拓展是将第1）小题中的点一般化，考查内容是一样的，是在第1）小题的基础上有所提高，激发学生的兴趣。第3）小题的拓展与第3）小题解法类似，只是在出题上换个角 度，属多题一解的类型。例5.设f/（x是函数f（x的导函数，y=（x的图象如右图所示,则y=f（x的图象最有可能是 ）2004 年全国高考浙江卷 数学理科） 题）答案：0评析：此题以直观的角度揭示了可导函数的单调性和其导数的关系。令XI，可由对此题的分析，结合图象作以下拓展：(1求f(x的极值；在此处注意结合图形让学生理解极值的有关概念。如让学生判断下 列说法是否正确：极大值一定比极小值大；区间的端点一定是极值点； 导数为0的点一定

11、是极值点；极值点一定是导数为0的点。从而进一步强调求极值的方法。(2求y=f(x在x 0,3上的最值；让学生辨析极值和最值的区别，让学生进一步熟悉利用导数求函数 最值的基本思路。(3用总长为14.8的钢条制做一个长方形的框架，如果所制做容器 的底面的一边比另一边长 0.5m，那么高为多少是容器的容积最大？并求出 它的最大容积。2002年全国新课程高考卷 理科)第20题)此题为题2)的类似拓展，强调了导数在实际生活中的应用。(4解不等式f(x 1。导数是分析函数单调性的有力工具，故有很多问题如：证明不等 式、解不等式、解方程、分析方程根的个数等等都可以转化为利用函数单调 性处理，进而用导数方法求

12、解。例6.设函数 - ，其中a0。求f(x的单调区间；(2)解不等式f(x 1。解: (1J| 圧-尺| 当a 1时，有，此时 f/(x0，函数f(x在区间 I上是单调递减函数。 当0a1时，解不等式f (x><0得 三 f(x>在区间H上是单调递减函数。解不等式仪>>0得 f(x>在区间EEJ上是单调递增函数。(2>当a> 1时，t函数f(x>在区间 = 上是单调递减函数由 f(0>=1,当且仅当x> 0时f(x> < 1.当0<a<1时， f(x>在区间 H 上是单调递减函数，f(x>在区

13、间上是单调递增函数，由f(x>=1得x=0或，且 I ,当且仅当乂丨 时，f(x> < 1.综上可得：当a> 1时，f(x> < 1的解集为x|x >0。当0<a<1时，f(x> < 1的解集为x|丨。评析：本题是将2000年全国咼考新课程卷 <理科)第19题稍作改动而得到。使学生在例5中题(4>的基础上进一步熟悉运用导数解决函数单调性的问题。并在解题过程中考查学生对求导公式和法则的熟练运用。五思维能力训练:<一)选择题：1.已知函数y=f(x>=x x<0B.1C.1或 0C:y=3x-x 3 及

14、点 P(2,2>，则过点A.02.已知曲线B.1C.2那么y/1 x=0的值为)D. 不存在P可向C引切线的条数A.03.下列求导的式子中正确的是D.3>A.cos(1-x> 、-si n(-x>B.C.(ax>/=xax-1D.4.函数也处有极值，则)A.a=2B.a=1C.D.a= -25.函数 y=x -3x，的最小值是a2-1，则实数a的值A.0B.C.D.1>D.b6. 若 f(x>=ax 3+bx2+cx+d<a>0)2A.b -4ac>0B.b>0,c>0<二)填空题：7. 对函数 f(x> ，

15、已知 f(3>=2，为增函数，贝u (C.b=0,c02-3ac<0f/(3>=-2，则8. 某日中午12时整，6船自A处以16km/h的速度向正东行驶，乙船自A的正北18km处以24km/h的速度向正南行驶，则当日12时30分时 两船之间距离对时间的变化率是 km/h。2004年全国高考湖北卷理科)16题)三)解答题：9. 设抛物线C:y=x2(x 0上的点Po(x°,y°,过P。做曲线C的切线与x轴交于Q，过Q作平行于y轴的直线与曲线C交于R(X1,y1，然后再过 R作曲线C的切线交x轴于Q,过Q作平行于y轴的直线与曲线交于 R(X2,y2，仿此作出以下各点：Po,Q1,P1,Q2,P2,Q3 ,Pn,Qn+1,已知 X°=1。 (1)求过Pc的切线方程；求的值。，问是否i . I 210. 如果 f(x>=x +1, g(x>=ff(x>, 设存在适当的，使f(x>在 凹|上是减函数，在二|上是增函 数？若存在，求出的值，若不存在，说明理由。