因式分解经典题及解析

1、学习文档仅供参考因式分解拔高题1在学习因式分解时，我们学习了提公因式法和公式法平方差公式和完全平方公式，事实上，除了这两种方法外，还有其它方法可以用来因式分解，比方配方法例如，如果要因 式分解X2+2X-3时，显然既无法用提公因式法，也无法用公式法，怎么办呢？这时，我们 可以采用下面的方法：2 2 2X+2X-3=X+2* XI+ 1-1-3-=x+12-22-=* 解决以下问题：1填空：在上述材料中，运用了_的思想方法，使得原题变为可以继续用平方差公式因式分解，这种方法就是配方法；2显然所给材料中因式分解并未结束，请依照材料因式分解X2+2X-3;3请用上述方法因式分解X2-4X-5.2请看

2、下面的问题：把X4+4分解因式分析：这个二项式既无公因式可提，也不能直接利用公式，怎么办呢19世纪的法国数学家苏菲？热门抓住了该式只有两项，而且属于平方和X22+222的形 式，要使用公式就必须添一项4X2,随即将此项4X2减去，即可得X4+4=X4+4X2+4-4X2=X2+22-4X2=X2+22-2X2=X2+2X+2X2-2X+2人们为了纪念苏菲？热门给出这一解法，就把它叫做 热门定理”请你依照苏菲？热门的做法， 将以下各式因式分解.1x4+4y4；2X2-2ax-b2-2ab.3.下面是某同学对多项式X2-4X+2X2-4X+6+4进行因式分解的过程. 解：设X2-4x=y原式=y+

3、2y+6+4第一步2=y +8y+16第二步=y+42第三步=X2-4x+42第四步答复以下问题：1该同学第二步到第三步运用了因式分解的 _.A、提取公因式B.平方差公式C、两数和的完全平方公式D.两数差的完全平方公式2该同学因式分解的结果是否彻底 _ .填 彻底”或不彻底”假设不彻底，请直接写出因式分解的最后结果 _.3请你模仿以上方法尝试对多项式X2-2XX2-2X+2+1进行因式分解.4.找出能使二次三项式x2+ax-6可以因式分解在整数范围内的整数值a,并且将其进行因式分解.5.利用因式分解说明： 两个连续偶数的平方差一定是4的倍数.学习文档仅供参考26已知关于x的多项式3x +x+m

4、因式分解以后有一个因式为3x-2，试求m的值并将多项式因式分解.7.已知多项式a2+ka+25-，在给定k的值的条件下可以因式分解请给定一个k值并写出因式分解的过程.&先阅读，后解题：要说明代数式2x2+8x+10的值恒大于0还是恒等于0或者恒小于0,我们可以将它配方成一个平方式加上一个常数的形式，再去考虑，具体过程如下：2解：2x +8x+10=2x2+4x+5提公因式，得到一个二次项系数为1的二次多项式=2x2+4x+22-22+5=2x+22+1将二次多项式配方=2x+22+2去掉中括号因为当x取任意实数时，代数式2x+22的值一定是非负数，那么2x+22+2的值一定为正数，所以

5、，原式的值恒大于0,并且，当x=-2时，原式有最小值2.请仿照上例，说明代数式-2x2-8x-10的值恒大于0还是恒小于0，并且说明它的最大值 或者最小值是什么.9.老师给学生一个多项式，甲、乙、丙、丁四位同学分别给了一个关于此多项式的描述: 甲：这是一个三次三项式；乙：三次项系数为1;丙：这个多项式的各项有公因式；丁：这个多项式分解因式时要用到公式法；假设已知这四位同学的描述都正确，请你构造一个同时满足这个描述的一个多项式.10.在对某二次三项式进行因式分解时，甲同学因看错了一次项系数而将其分解为2x-1x-9，而乙同学看错了常数项，而将其分解为2x-2x-4，请你判断正确的二次 三项式并进

6、行正确的因式分解.11.观察李强同学把多项式2解：设x +6x=y，则 原式=y+10y+8+1 =y2+18y+81=y+92=x2+6x+91答复以下问题：这位同学的因式分解是否彻底？假设不彻底，请你直接写出因式分解的最后结果：_.2仿照上题解法，分解因式：x2+4x+1x2+4x-3+4.12.1写一个多项式，再把它分解因式要求：多项式含有字母m和n,系数、次数不限, 并能先用提取公因式法再用公式法分解.2阅读以下分解因式的过程，再答复所提出的问题：21+x+xX+1+xx+1=1+x1+x+xx+1=1+x21+x=1+x31上述分解因式的方法是 _ ，由到 这一步的根据是_;x2+6

7、x+10学习文档仅供参考2假设分解1+x+xx+1+xx+12+xx+12006,结果是一；3分解因式：1+x+xx+1+xx+12+ -+xx+1nn为正整数.13阅读下面的材料并完成填空：因为x+ax+b=x2+a+bx+ab，所以，对于二次项系数为1的二次三项式x2+px+q的因式解，就是把常数项q分解成两个数的积且使这两数的和等于p,即如果有a,b两数满足a-b=a+b=p，则有x +px+q=x+a x+b.如分解因式x2+5x+6.解：因为2 3=6,2+3=5, 所以x2+5x+6=x+2x+3丨.再如分解因式x2-5x-6.解：因为6=-6,-6+1=-5,所以x2-5x-6=

8、x-6x+1.同学们，阅读完上述文字后，你能完成下面的题目吗？试试看.2 2 2 2因式分解：1x2+7x+12;2x2-7x+12;3x2+4x-12;4x-x-12.答案1.请看下面的问题：把x4+4分解因式分析：这个二项式既无公因式可提，也不能直接利用公式，怎么办呢19世纪的法国数学家苏菲？热门抓住了该式只有两项，而且属于平方和x22+222的形 式，要使用公式就必须添一项4x2,随即将此项4x2减去，即可得x4+4=x4+4x2+4-4x2=x2+22-4x2=X2+22-2x2=x2+2x+2x2-2x+2人们为了纪念苏菲？热门给出这一解法，就把它叫做 热门定理”请你依照苏菲？热门的

9、做法， 将以下各式因式分解.1x4+4y4；2x2-2ax-b2-2ab.考点：因式分解-运用公式法.专题：阅读型.分析： 这是要运用添项法因式分解，首先要看明白例题才可以尝试做以下题目.解答：4,442 22 2 2解：1x +4y =x +4x y +4y-4x y,r2小22,22=x +2y-4x y,2222=x +2y +2xyx +2y-2xy；2 22x-2ax-b-2ab,=x2-2ax+a2-a2-b2-2ab,=x-a2-a+b2,=x-a+a+bx-a-a-b，=x+bx-2a-b.点评：此题考查了添项法因式分解，难度比较大.2 22.下面是某同学对多项式x2-4x+2

10、x2-4x+6+4进行因式分解的过程. 解：设x2-4x=y原式=y+2y+6+4第一步2=y +8y+16第二步=y+42第三步学习文档仅供参考=x2-4x+42第四步答复以下问题：1该同学第二步到第三步运用了因式分解的C.A、提取公因式B平方差公式C、两数和的完全平方公式D两数差的完全平方公式2该同学因式分解的结果是否彻底不彻底 .填 彻底”或 不彻底”假设不彻底，请直接写出因式分解的最后结果X-24.3请你模仿以上方法尝试对多项式x2-2xx2-2x+2+1进行因式分解.考点：专题：分析：提公因式法与公式法的综合运用.阅读型.1完全平方式是两数的平方和与这两个数积的两倍的和或差； 2x2

11、-4x+4还可以分解，所以是不彻底.3按照例题的分解方法进行分解即可.解答： 解：1运用了C,两数和的完全平方公式；2x2-4x+4还可以分解，分解不彻底；3设x2-2x=y.x2-2xx2-2x+2+1,=yy+2+1,=y2+2y+1,r、2=y+1,=x2-2x+12,=x-14.点评： 此题考查了运用公式法分解因式和学生的模仿理解能力，按照提供的方法和样式解答即可，难度中等.3找出能使二次三项式x2+ax-6可以因式分解在整数范围内的整数值a,并且将其进行因式分解.考点：因式分解-十字相乘法等.分析：根据十字相乘法的分解方法和特点可知：a是-6的两个因数的和，则-6可分成3X-2，-3

12、2,6X-1，-6X1,共4种，所以将x2+ax-6分解因式后有4种情 况.解答：解：x2+x-6=x+3x-2;x2-x-6=x-3x+2；2x +5x-6=x+6x-1；x-5x-6=x-6x+1.学习文档仅供参考点评：此题考查十字相乘法分解因式，运用十字相乘法分解因式时，要注意观察，尝试，并 体会它实质是二项式乘法的逆过程，常数-6的不同分解是此题的难点.4利用因式分解说明：两个连续偶数的平方差一定是4的倍数.考点：因式分解的应用.分析：根据题意设出两个连续偶数为2n、2n+2,利用平方差公式进行因式分解，即可证出结论.解答：解：设两个连续偶数为2n,2n+2,则有2n+22-2n2,=

13、2n+2+2n2n+2-2n，=4n+22,=42n+1，因为n为整数，所以42n+1丨中的2n+1是正奇数，所以42n+1丨是4的倍数，故两个连续正偶数的平方差一定能被4整除.点评：此题考查了因式分解的应用，解题的关键是正确设出两个连续正偶数，再用平方差公 式对列出的式子进行整理，此题较简单.25已知关于x的多项式3x +x+m因式分解以后有一个因式为3x-2试求m的值并将 多项式因式分解.考点：因式分解的意义./m=-2;2 2 3x +x+m=3x +x-2=x+13x-2;故答案为：m=-2,x+13x-2.点评：此题主要考查因式分解的意义，有公因式时，要先考虑提取公因式；注意运用整体

14、代入法求解.6.已知多项式a2+ka+25-b2，在给定k的值的条件下可以因式分解.请给定一个k值并写出因式分解的过程.分析:由于x的多项式3x2+x+m分解因式后有一个因式是为0,由此得到关于m的方程，解方程即可求出m解答:进行因式分解，即可求出答案.解：Tx的多项式3x2+x+m分解因式后有一个因式是3x-2,所以当x时多项式的值的值，再把m的值代入3x2+x+m3x-2,0,当/2+m=0,学习文档仅供参考考点：因式分解-运用公式法.学习文档 仅供参考专题 ：开 放型 分析：根据完全平方公式以及平方差公式进行分解因式即可解答：解 ：k=10，假设k=10，则有a2+i0a+25丨-b2=

15、a+52-b2=a+5+ba+5-b.点评：此 题主要考查了运用公式法分解因式， 正确掌握完全平方公式和平方差公式是解题关 键7先阅读，后解题：要说明代数式2X2+8X+10的值恒大于0还是恒等于0或者恒小于0,我们可以将它配方成一个平方式加上一个常数的形式，再去考虑，具体过程如下：2解：2x +8x+10=2X2+4X+5提公因式，得到一个二次项系数为1的二次多项式2 2 2=2x2+4x+22-22+52=2x+22+1将二次多项式配方=2x+22+2去掉中括号因为当X取任意实数时，代数式2X+22的值一定是非负数，那么2X+22+2的值一定 为正数，所以，原式的值恒大于0，并且，当x=-

16、2时，原式有最小值2.请仿照上例，说明代数式-2X2-8X-10的值恒大于0还是恒小于0，并且说明它的最大值或者最小值是什 么.考点 ：配方法的应用；非负数的性质：偶次方. 分析：按照题目提供的方法将二次三项式配方后即可得到答案.解答：解 ：-2x2-8x-102=-2x2+4x+5=-2x2+4x+22-22+52=-2x+22+1=-2x+22-2因为当X取任意实数时，代数式2X+22的值一定是非负数，那么-2x+22-2的值一定为负数，所以，原式的值恒小于0，并且，当x=-2时，原式有最大值-2.点评：此题考查了配方法与完全平方式的非负性的应用. 注意解此题的关键是将原代数式准 确配方.

17、8.老师给学生一个多项式，甲、乙、丙、丁四位同学分别给了一个关于此多项式的描述：甲：这是一个三次三项式；乙：三次项系数为1；丙：这个多项式的各项有公因式； 丁：这个多项式分解因式时要用到公式法； 假设已知这四位同学的描述都正确，请你构造一个同时满足这个描述的一个多项式.考点 ：提公因式法与公式法的综合运用.专题 ：开 放型. 分析：能用完全平方公式分解的式子的特点是：三项；两项平方项的符号需相同；有一项是 两底数积的2倍.解答：解：由题意知，可以理解为：学习文档仅供参考甲：这是一个关于x三次三项式；乙：三次项系数为1，即三次项为X3；丙：这个多项式的各项有公因式X；丁：这个多项式分解因式时要用

18、到完全平方公式法.故多项式可以为xx-12=xX2-2x+1=x3-2X2+X.点评：此题考查了提公因式法和公式法分解因式，是开放性题，根据描述按照要求列出这个 多项式.答案不唯一.9.在对某二次三项式进行因式分解时，甲同学因看错了一次项系数而将其分解为2x-1x-9，而乙同学看错了常数项，而将其分解为2x-2x-4，请你判断正确的二次三项式并进行正确的因式分解.考点：因式分解的应用.分析：此题可以先将两个分解过的式子复原，再根据两个同学的错误得出正确的二次三项 式，最后进行因式分解即可.解答：解 :2x-1x-9=2X2-20X+18,2x-2x-4=2X2-12X+16; 由于甲同学因看错

19、了一次项系数，乙同学看错了常数项， 则正确的二次三项式为：2x2-12X+18;再对其进行因式分解：2x2-12X+18=2x-32.点评：此题考查了因式分解的应用，题目较为新颖，同学们要细心对待.10.观察李强同学把多项式解：设x2+6x=y，则原式=y+10y+8+12=y +18y+81=y+922 2=x +6x+91答复以下问题：这位同学的因式分解是否彻底？假设不彻底，请你直接写出因式分解 的最后结果： x+34.2仿照上题解法，分解因式：X2+4X+1X2+4X-3+4.考点：因式分解-十字相乘法等.专题：换元法.分析：1根据X2+6X+9=x+32,进而分解因式得出答案即可;2仿

20、照例题整理多项式进而分解因式得出答案即可.解答:解：1这位同学的因式分解不彻底,原式=y+10y+8+12=y +18y+81=y+92=X2+6X+92=x+34.故答案为：x+34;2设x2+4x=y，则X2+6X+10X2+6X+8+1分解因式的过程:学习文档仅供参考原式=y+1y-3+4=y2-2y+1=y-12=x +4x-1键.11.1写一个多项式，再把它分解因式要求：多项式含有字母m和n系数、次数不限， 并能先用提取公因式法再用公式法分解.2阅读以下分解因式的过程，再答复所提出的问题：21+X+XX+1+XX+1=1+x1+x+xx+1=1+x21+X=1+x31上述分解因式的方法是提公因式法分解因式，由到 这一步的根据是同底数幕的乘法法则；2假设分解1+X+XX+1+XX+12+XX+12006,结果是 1+x2007；3分解因式：1+x+xx+1+xx+12+ -+Xx+1nn为正整数.考点：分析：因式分解-提公因式法.1根据题目要求可以编出先提公因式后用平方差的式子，答案不唯一；2首先通过分解因式，可发现 中的式子与结果之间的关系，根据所发现的结论 可直接得到答案.解答：3 2 2 2解：1m-mn =mm-n=mm-nm+n，2提公因