因式分解拓展题及解答必考题型

1、因式分解拓展题解板块一： 换元法例 1 分解因式：(x24x 8)23x(x24x 8) 2x2【解析】将x24x8 u看成一个字母，可利用十字相乘得原式2u2 2 23xu 2x2(u x)(u 2x) (x24x 8 x)(x24x 82x)例 2 分解因式：(x25x 2)(x25x 3)12【解析】方 法 1：将22x25x看作一个整体，设x25x t，则原式 =(t 2)(t 3) 12 t25t 6 (t 1)(t 6) (x 2)(x 3)(x25x 1)方法 2：将x25x 2看作一个整体，设x25x 2 t，则原式 =t(t 1) 12 t2t 12 (t 3)(t 4) (

2、x 2)(x 3)(x25x 1)2方法 3：将x25x 3看作一个整体， 过程略 . 如果学生的能力到一定的程度， 甚至连换元都 不用，直接把x25x看作一个整体，将原式展开，分组分解即可，则原式(x25x)25(x25x) 6(x25x 1)(x25x 6) (x 2)(x 3) (x25x1).【巩固】分解因式：(x 1)(x 3)(x 5)(x 7) 15【巩固】分解因式：(x2x 1)(x2x 2) 12例 3 证明：四个连续整数的乘积加 1 是整数的平方即 x y x 2y x 3y x 4y4y4(x25xy225y2)2例 4 分解因式(2a 5)(a29)(2a7)91【解析

3、】原式(2a 5)(a 3)(a 3)(2a 7)91 (22aa 15)(2a2a 21)91设2a2a 15 x，原式x(x 6)91 x26x 91 (x 13)(x7)(2a2a28)(2a2a8)【巩固】分解因式(x23x 2)(3 8x 4x2)90【解析】原式(x 1)(x 2)(2x 1)(2x 3)90(2x25x 3)(2x25x2) 90原式(y 3)(y2)90 y25y 84(y12)(y7)(2x25x12)(2x7)(x 1)22例 5 分解因式：4(3x2x 1)(x22x 3) (42xx 4)2【解析】咋 一看，很不好下手，仔细观察发现：(3x2x 1)(x

4、22x3) 4x2x 4，故可设3x2x 1 A,x22x 3 B，2则4x2x4AB.巩固】解析】故原式 =4AB (A(3x2x分解因式：(a b1) (x22x 3)2ab)(a b 2) (1(2x23xab)24 个地方，2)2.解析】由于题中以整体形式出现的式子有两个，共 程，不妨设a bx,ab y，2 2 2则原式=(x 2y)(x 2)(1 y) x 2xy y 2y故采取换元法后会大大简化计算过2x例 6 分解因式：(X 1)4(x 3)4272解析】设 这四个连续整数为：x 1、x2、x 3、x 4原式(x25x25)1(x25x5)1 1(x22 2 25x 5)211

5、(x25x 5)2巩固】若x，y是整数， 求证：xyx2y x3yx 4y y4是一个完全平方数令 x25xy 4y2u上式u(u 2y2) y4(u y2)2(x25xy 5y2)2【解析】设yx 1X 3 X 2，则原式=(y 1)4(y 1)4272 2(y46y21) 272 2【巩固】分解因式：a444(a 4)4【解析】为方便运算，更加对称起见，我们令x a 2板块二：因式定理因式定理：如果x a时，多项式anXna. 1Xn 1. a1X a的值为0,那么x a是该多项式的一个 因式.有理根：有理根c-的分子p是常数项ao的因数，分母q是首项系数q例 7 分解因式：2x3x25x

6、 2【巩固】ao2的因数是1，2，an2的因数是1，2.1因此，原式的有理根只可能是1，2(分母为 1)，丄2因为f (1)2 15 26，f( 1)2 1 5 20，于是1是f (X)的一个根，从而X 1是f (X)的因式，这里我们可以利用竖 式除法，此时一般将被除式按未知数的降幕排列，没有的补0:可得原式(2x23x 2)( x 1) (x 2)(2x 1)(x 1)点评：观察，如果多项式f (x)的奇数次项与偶数次项的系数和互为相反数，则说明f(1)0；如果多项式的奇数次项与偶数次项的系数和相等，则说明f( 1) 0.【巩固】分解因式：x62x53x44x33x22x 1解析：本题有理根

7、只可能为1.1当然不可能为根(因为多项式的系数全是正的)， 经 检 验1是 根 ,所以原式有因式X1,原式(X1)(x5X42x32x2:cX1)容易验证1也是X54X 2x32x2x 1的根，54XX322x 2xX 1(x1)(x422x 1) (x1)(x21)2,所以X6c 5c 42x 3x4x33x22x1 (x 1)2(x21)2【巩固】分解因式：x39x2y 26xy224y3解析：x39x2y 26xy224y3(x 2y)(x 3y)(x 4y)例 8 分解因式：x3(a b c)x2(ab be ca)x abc【解析】常数项abe的因数为a，b，e，ab，be，ea，a

8、be把x a代入原式，得所以a是原式的根，x a是原式的因式，并且【巩固】分解因式：(I m)x3(3l 2m n)x2(2l m 3n)x 2(m n)【解析】如果多项式的系数的和等于0,那么 1 一定是它的根；如果多项式的偶次项系数的和减去奇次项系数的和等于 0,那么1一定是它的根现在正是这样：所以x 1是原式的因式，并且板块三：待定系数法如果两个多项式恒等，则左右两边同类项的系数相等即，如果anxnan 1xn 1an2xn2La1x1a0bnxnbn1xn 1bn 2xn2Lb1x1b0那么anbn，an1bn1，玄16，a。b0.例 9 用待定系数法分解因式：x5x 1【解析】原式的

9、有理根只可能为1,但是这 2 个数都不能使原式的值为0,所以原式没有有理根,因而也没有(有理系数的)一次因式.故x5x 1(x2ax1)(x3bx2ex1)或x5x 1(x2ax 1)(x3bx2ex 1)2x23x23x 1 2x2X5x22x32x23x25x3x23x2x22x20an的因数.例 6 分解因式：(X 1)4(x 3)4272ab0a 1c ab 1故0，解得b1，所以x5x 1 ( x2x 1)(x3x21)ac b 10c 0ac1由第一个方程与第三个方程可得c a,d b,再把它们代入第二个方程中，得ab ab 1矛盾!所以，x6x31不可能分解为两个整系数的三次因式

10、的积例 10 分解因式：x4x32x2x 3【解析】原式的有理根只可能为1，3，但是这四个数都不能使原式的值为0，所以原式没有有理根，因而也没有 ( 有理系数的 ) 一次因式 我们设想x4x32x2x 3可以分为两个整系数 由于原式是首 1 的( 首项系数为 1)，两个二次因式也应当是首 1 的2 2 22x2x 3( x2ax b)( x2cx d )c、d有待我们去确定比较式两边x3，x2，x的系数c 1(2)d ac2(3)bcad1(4)bd3(5)这样的方程组，一般说来是不容易解的不过，别忘了b、d是整数 ! 根据这一点，L./IRd从(5) 可以得出b1或b1，当然也可能是b3或b

11、3d 3 d3d 1 d1在这个例子中由于因式的次序无关紧要，b 1b1我们可以认为只有或这两种情况d 3d3将b 1，d 3，代入 (4) ，得c 3a 1将与相减得2a 2，于是a 1，再由得c 2这一组数 (a 1，b 1，c 2，d 3)不仅适合、，而且适合.因此x4x32x2x 3 ( x2x 1)(x22x 3)将b 1，d 3,代人，得c 3a1事实上，分解式是惟一的，所以不用再考虑其它情况42x4x21是否能分解成两个整系数的二次因式的乘积4 2 2 24x21 (x2x 1)(x2x 1).1不能分解成两个整系数的二次因式的乘积2x21能够分解，那么一定分解为21)( x2b

12、x 1)【巩固】 解析： 我们知道x2x4x4x如果(x2(x2ax1)(x2bx1)或ax(1)(2)3或a2b03 2ax3与x2的系数可得：ab由(1) 得ba，代入 (2) 得a2所以，x4x21不能分解成两个整系数的二次因式的积(从而也不能分解成两个有理系数的二次因式的积 )1能否分解为两个整系数的三次因式的积?1 (x3ax2bx 1)(x3比较【巩固】x6解析： 设x63x3x比较5x，21221，即a2a3x及x的系数，得adcx2dx 1)，c0bc 11，没有整数a能满足这两个方程的二次因式的乘积于是，设x4x3其中整系数a、b、ab将与 相加得2a 0. 于是a 0，再由

13、 得c 1. 这一组数(a 0，b 1，c 1，d3)，虽然适合、，去卩不适合，因而x4x32x2x 3 (x21)(x2x 3).事实上，分解式是惟一的，找岀一组满足方程组的数，就可以写岀分解式，考虑有没有其他的解纯属多余，毫无必要板块四：轮换式与对称式对称式：x、y的多项式x y,xy,x2y2,x3y3,x2yxy2，在字母x与y互换时，保持不变这样的多项式称为x、y的对称式.类似地，关于x、y、z的多项式x y z，x2y2z2，xy yz zx，x3y3z3，x2yx2z y2zy2xz2xz2y,xyz，在字母x、y、z中任意两字互换时，保持不变.这样的多项式称为x、y z的对称式

14、.轮换式：关于x、y、z的多项式x y z，x2y2z2，xy yz zx，x3y3z3，x2yy2zz2x，2 2 2xy yz zx，xyz在将字母x、y、z轮换(即将x换成y，y换成z，z换成x)时，保持不变.这样的多项式称为x、y、z的轮换式.显然，关于x、y、z的对称式一定是x、y、z的轮换式.但是，关于x、y，z的轮换式不一定是对称式例如，x2y y2z z2x就不是对称式.次数低于 3 的轮换式同时也是对称式.两个轮换式 (对称式 )的和、差、积、商 (假定被除式能被除式整除 )仍然是轮换式 (对称式 ). 例 11 ：分解因式：x2(y z)y2(z x) z2(x y)解析：

15、x2(y z) y2(z x) z2(x y)是关于x、y、z的轮换式.如果把x2(y z) y2(z x) z2(x y)看作关于x的多项式，那么在x y时，它的值为y2(y z) y2(z y) z2(y y) 0.因此，x y是x2(y z) y2(z x) z2(x y)的因式.2 2 2由于x (y z) y (z x) z (x y)是x、y、z的轮换式，可知y z与z x也是它的因式.从而它们的积(x y)(y z)(z x)是x (y z) y (z x) z (x y)的因式.由于、都是x、y、z的三次多项式，所以两者至多相差一个常数因数k，即有x (y z) y (z .x

16、) z (x y) k(x y)(y z)(z x)现在我们来确定常数k的值为此，比较的两边x2y的系数：左边系数为1，右边系数为k.因此，k 1.于是x (y z) y (z x) z (x y) (x y)(y z)(z x)思路 2:利用 y z = (y x) (z x).例 12 分解因式：xy(x2y2) yz(y2z2) zx(z2x2)【解析】此式是关于x，y，z的四次齐次轮换式，注意到x y时，原式0,故x y是原式的一 个因式.同理，y z，z x均是原式的因式，而(x y)( y z)(z x)是三次轮换式，故还应有一个一次轮换式， 设其为k(x yz)，故原式k(x y

17、z)(xy)(yz)(zx)，展开并比较系数可知，k1，故原式(x yz)(xy)(yz)(zx).思路 2:利用 x2补(x 2z2)+(z22y)家庭作业练习 1 .分解因式：4(x5)(x6)(x10)(x212) 3x2原式4(x217x60)(x216x60)3x24 (x216x60) x(x216x60) 3x2练习 2 .要 使x 1x3x4x8m为完全平方式，则常数m的值为【解析】 x 1 x3x4x8m(x25x 4)(x25x24)m(x2225x)220(x25x)96m，则m 196练习 3 .分解因式：(x26x 8)(x214x48) 12【解析】原式(x2)(x

18、4)(x6)(x8)1222(x210 x 16)(x210 x24) 12设t x210 x 16，则原式t(t8)12 (t 2)(t 6)(x2210 x 18)(x10 x22)练习 4 .分解因式：(x2xy2 2y ) 4xy(x2y2)【解析】设x2y2a，xy b，则原式(a2b) 4ab (ab)22 2 2(x y xy).练习 5 .分解因式：2x32x5x 2练习 6 .分解因式：3x6x211x 6练习 7 .用待定系数法分解：54.x x 1【解析】原式的有理根只可能为1，但是这2 个数都不能使原式的值为0，所以原式没有有理根,因而也没有(有理系数的)一次因式.故x5x41 (x2ax 1)(x3bx2cxbx1)或x52cx 1)42x 1 (x ax54x (a b)x321)(x bx cx 1)54x x1(x2ax1)(x3(ab c1)x3(ac b 1)x2(a c)x 1ab1a1,cab10-c故，解得b0，所以xx41 (x2x1)(x3x 1)acb 10c1ac0事实上，分解式是惟一的，所以不用再考虑其它情况练习 8 .分解因式：a3(bc)b3(c3a) c (a b)【巩固】a3(b c)b3(ca)c3(a b)是关于a、b c的轮换式.它有一次因式(a