2019河南中考数学专题训练—类比、拓展探究题

1、类比、拓展探究题1.如图，在 RtzABC 中，/ACB=90 , BC=2, /A=30 ,点 E, F分别是线段BC, AC的中点，连接EF.(1)发现线段BE与AF的位置关系是AF ='BE(2)探究如图，当4CEF绕点C顺时针旋转40 °<%< 180 )时，连接AF,BE, (1)中的结论是否仍然成立，请说明理由；延伸如图，当 CEF绕点C顺时针旋转 M0 °<180州寸，延长FC交AB于点D,若AD = 6 25，直接写出旋转角 口的度数.第1题图1.解:(1)BE±AF, <3;【解法提示】./ ACB= 90

2、6;,. ACXBC, 线段BE与AF的位置关系是 BEXAF;BC - ZACB=90 , BC=2, /A=30，.小C = WV3, 点E, F分别是线段BC, AC的中点,.AF AC - .BE=BC= 3.(2)(1)中结论仍然成立.点E,理由如下：如解图，延长BE交AC于点O,交AF于点M, 二F分别是线段BC, AC的中点,L- 11EC FC 1ec=2BC, fc=2AC, 沃=而=2,n第1题解图 . /BCE=/ACF= %. BECsMFC,谣=Abtanba /仁/2, . /BOC=/AOM, ./AMO = /BCO=90 ,/. BEXAF;(3)135 .【

3、解法提示】如解图，过点D作DHLBC于点H, . /ACB=90 , BC=2, /A=30 ,第1题解图h ft t: .AB=4, /B = 60 ,DB = 4(6 23) = 273 2,.BH = DB cos60 =，31, DH = DBsin60 =33,又. CH = 2(艰1)=3 十，/. CH = DH, ./HCD=45, /DCA=45,. = 180 45 =135.2.如图所示， ABC, ADE均为等腰直角三角形，/ ACB=/AED = 90 .探究发现(1)如图，点E在AB上，点D与点C重合，点F为线段BD的中点, 则线段EF与FC的数量关系是EF = F

4、C; / EFD的度数为90_.问题应用(2)如图，在图的基础上，将 ADE绕A点旋转到如图所示的位 置，其中点D、A、C在一条直线上，F为线段BD的中点，则线段EF与 FC是否存在某种确定的数量关系和位置关系？证明你的结论.拓展延伸若 ADE绕A点任意旋转一个角度到如图的位置， 连接BD,点F为线段BD的中点，且EF=6,请直接写出FC的长.1<四图第2题图2.解：(1)EF = FC; 90 ;(2)EF = FC, EFXFC,证明如下：如解图，延长 CF到点M,使CF = FM,连接DM、ME、EC,>心5第2题解图 .F 为 BD 的中点，. DF = FB,在ABFC

5、和DFM 中，/BFC=/DFM, BF=DF/.ABFCADFM(SAS), .DM = BC, /MDB = /FBC,. MD = AC, MD II BC, ./MDC = / BCA= 90 ,./ MDE = /CAE=135 ,MD = CA在AMDE 和ACAE 中，</MDE = /CAE,DE = AE/. AMDEACAE(SAS), .ME=CE, / MED = /CEA,./ MEB+/ CEA= / MED + / MEB = 90 ,./ MEC = 90 ,又F 为 CM 的中点，EF = FC, EFXFC;(3)FC = 6.【解法提示】如解图，延长

6、CF到点M,使CF = FM ,连接ME、EC,连接DM交AE于点G,交AC于点H,.F 为 BD 的中点，DF = FB.第2题解图在ABFC 和DFM 中，/BFC=/DFM, BF=DF/.ABFCADFM(SAS), .DM=BC, /MDB = /CBF, .MD = AC, HD / BC, . / AHG = / BCA= / DEG = 90 ,又. /AGH=/DGE,MDE = /CAE,MD = CA在AMDE 和 ACAE 中，/MDE = /CAE, DE = AE/. AMDEACAE(SAS), .ME=CE, / MED = /CEA,. / CEA- / AE

7、M = / MED / AEM = / AED = 90 ,./ MEC = 90 ,又. F 为 CM 的中点，EF = FC, EFXFC. . FC = 6.3.已知 ABC和 ADE均为等边三角形，连接 BE, CD,点F, G, H分别为DE, BE, CD中点.(1)观察猜想当AADE绕点A旋转时，如图.填空：线段GF、FH之间的数量关系为GF=FH ；/ GFH = 60；(2)问题解决在4ADE旋转的过程中，当B, D,E三点共线时，如图，若AB = 3, AD = 2,求线段FH的长；(3)拓展延伸在4ADE旋转的过程中，若 AB=a, AD = b(a>b>0)

8、,请直接写出 FGH周长的最大值和最小值.国洌各用国第3题图3.解：(1)60°GF=FH;【解法提示】如解图所示，连接 BD、CE,并延长BD交CE于M,设BM交FH于点O,第3题解图 ABC和 ADE均为等边三角形，.AB=AC, AD = AE, /BAC=/DAE,./BAD=/CAE, .BD=CE, /ADB=/AEC.1- . EG = GB, EF= FD , . FG= 2BD, GF / BD.1，一. DF = EF, DH = HC, . FH = 2£。FH / EC,. BD = CE, .FG=FH. /ADB+/ ADM = 180 ,. /

9、 AEC+/ ADM = 180 , /DME + /DAE = 180 , . ./DME = 120 , ./ BMC = 60 ,./ GFH = / BOH = / BMC=60 ;(2)如解图所示，连接AF、EC,第3题解图 . DF = EF, AD = AE, .AFLDE,在 RtAAEF 中，AE= 2, EF= DF =1,AF =，22 - 12 = V3,在 RtABF 中，BF="AB2 AF2 =限由(1)知 bd = ce=bf-df=V6- 1,1 FH=EC =3 一 3(3)AFGH的周长的最大值为2(a+b),最小值为(a b).1【解法提本】由

10、(1)可知，4GFH是等边二角形，GF=BD, .GFH3的周长=3GF = 2BD, AB= a, AD= b,. BD的长的最大值为a+b,最3 一 一 3小值为a b,. FGH的周长的最大值为(a + b),最小值为,ab).4 .如图，在等腰 RtA ABC和等腰 RtA EDB中，AC=BC, DE=BD, /ACB=/EDB = 90 , P 为 AE 的中点.(1)观察猜想连接PC、PD,则线段PC与PD的位置关系是,数量关系是(2)探究证明如图，当点E在线段AB上运动时，其他条件不变，作EFLBC于F, 连接PF,试判断 PCF的形状，并说明理由；(3)拓展延伸在点E的运动过

11、程中，当 PCF是等边三角形时，直接写出 ACB与 EDB的两直角边之比.图田第4题图4.解:(1)PC±PD, PC=PD;【解法提示】如解图，过点E作EFLBC于F,过点P作PHLBC 于H,连接PF,易得四边形EFBD是正方形， .EF=ED, / DEB=/FEB = 45 , ./PEF= /PED,在 APEF APED 中，/PEF=/PED,IPE=PE/. APEFAPED(SAS),第4题解图 .PF=PD, / EPF=/ EPD,. AC/PH/EF,点 P 为 AE 的中点,.点H是FC的中点，CH=HF,又 PHLBC, /. PC=PF,故4PCF是等腰

12、三角形，CPH = /FPH, .PC=PD; / HPB=/ HPF + / EPF = 45 , ./CPD = / CPH + / HPF + / EPF + / EPD = 2(/HPF + / EPF) =90 , /. PCXPD.第4题解图(2)APCF为等腰三角形，理由如下：如解图，过点 P作PHLBC于点H,则 AC/PH/EF, .P 为 AE 的中点,.点H是FC的中点，. CH=HF,又PHBC,.PC=PF,. PCF为等腰三角形; 3+2.【解法提示】如解图，过点E作EFLBC于点F,过点P作PHXBC于点H,由(1)知，四边形BDEF为正方形，设EF = BF=B

13、D = x, HF = y,ti第4题解图 PCF是等边三角形，. PH=43y,. PH/EF,. BEFsBPH,.EF BF x x PH-BH，即a-x+w曰3 1解得y= -2 x,BC=x+ 2y = (，3+2)x,BC (m+ 2) xBD x=3+2. .ACB与AEDB的两直角边之比为 V3+2.5.在数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动，将边长为2的正方 形ABCD与边长为2位的正方形AEFG按图位置放置，AD与AE在同一 条直线上，AB与AG在同一条直线上.(1)小明发现DGXBE,请你帮他说明理由；(2)如图，小明将正方形ABCD绕点A逆时针旋车专,当点B恰好落在

14、 线段DG上时，请你帮他求出此时 BE的长；(3)如图，小明将正方形 ABCD绕点A继续逆时针旋转，线段 DG与 线段BE相交，交点为H,写出 GHE与4BHD面积之和的最大值，并简 要说明理由.图图图第5题图5.解：(1)如解图，延长EB交DG于点H, 色尸/ 、0 I/I第5题解图 四边形ABCD与四边形AEFG都是正方形， .AD = AB, /DAG = /BAE= 90 , AG= AE, .ADG二ABE(SAS),/ AGD= / AEB.在AADG 中，/ AGD + /ADG = 90 , /AEB+/ADG = 90 ./ DHE=180 / AEB/ ADG = 90 ,

15、即 DGXBE;(2)如解图，四边形ABCD与四边形AEFG都是正方形，.AD = AB,/ DAB=/GAE=90 , AG = AE, / DAB+ / BAG= / GAE+ / BAG, ./ DAG=/ BAE. . AD = AB, /DAG = /BAE, AG=AE. .ADG ABE(SAS), /. DG=BE.过点A作AM，DG于点M,第5题解图 ./AMD = /AMG = 90 , .BD是正方形ABCD的一条对角线，./ MDA = 45°.在 RtAAMD 中， . /MDA = 45 , AD = 2,. DM =庐 AM = a/2,在 RtAMG

16、中，v AM 2 + GM 2=AG 2,GM= VAG2 -AM 2 = t(2应)2 函2 ,GM = V6. DG=DM+GM = & + V6, .be=dg = W+V6；(3)AGHE与 BHD面积之和的最大值为 6.理由：对于 EGH,由于线段GE是固定的，且BEXDG,故可得点H 在以EG为直径的圆上，当点H与点A重合时，zEGH中GE边上的高1 .最大为外接圆半径即2 GE.同理对于 BDH,点H在以BD为直径的圆 上，当点H与点A重合时，ABDH中BD边上的高最大为外接圆半径， rJ11即？BD, . GHE与乙BHD面积之和的取大值是2s正方形ABCD + 2s正

17、方形AEFG =2切2 + 1><(2也)2=2+ 4=6.6.已知四边形 ABCD是菱形，AB=4, /ABC=60°, / EAF的两边分 别与线段CB, DC相交于点E, F,且/EAF = 60°.(1)如图，当点E是线段CB的中点时，直接写出线段 AE, EF, AF 之间的数量关系;(2)如图，当点E是线段CB上任意一点时(点E不与点B、C重合), 求证：BE=CF;(3)如图，当点E在线段CB的延长线上，且/ EAB=15°时，直接写 出点F到BC的距离.第6题图6.(1)解：AE=EF = AF;【解法提示】如解图，连接AC,第6题解图

18、.四边形 ABCD 是菱形，/ ABC = 60 ,./BCD=120, ./ACE=/ACF=60 , .AB=BC=AC,即AABC为等边三角形，又BAC=/ 1 + / 2=60 , / EAF = /2+/ 3=60 ,./1 = /3,在AABE和AACF 中，1/ 1 = / 3A AB = AC,. ABEMCF(ASA), .AE=AF,又a/EAF = 60 ,. AEF 为等边三角形， . AE=EF = AF;(2)证明：如解图，连接 AC,由(1)知，AB=AC, /ACF = 60°,L第6题解图 / BAC= Z4+Z 5 = 60 , / EAF= /

19、5+ / 6 = 60 ,./4=/6,在AABE和AACF 中，1/4=/ 6«AB = AC, .ABEMCF(ASA), .BE=CF;解：点F到BC的距离为3-/3.【解法提示】由(2)知，BE=CF,如解图，过点A作AGLCE于点G,过点F作FHLCE于点H,第6题解图 . /EAB=15 , /ABC= 60 , ./ BAG=90 / ABC = 30 , ./ EAG= 15 +30 =45 ,.AEG为等腰直角三角形,X v AB=4, /. AG = AB cos>Z BAG=4>=2V3, . BG =，AB2 AG2 =小2 (2小)2 = 2,

20、. EG = AG=2但BE=EGBG = 24 2, .CF = 2V3 2, FHXCE, ./ FCH= 180 /BCD=60 , . FH = CF sin/ FCH = (23-2)考=3-3, 点F到BC的距离为34DE ADCF CD'7 .已知在四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD边上的点，DE与CF 交于点G.(1)如图，若四边形 ABCD是矩形，且DEXCF,求证:(2)如图，若四边形 ABCD是平行四边形，试探究：当/ B与/EGC满足什么关系时，使得 d=CD成立？并证明你的结论;CF CD(3)如图，若 BA= BC=6, DA=DC = 8, /BAD

21、=90 , DEXCF,求DECF的值.C 图图图第7题图8 .(1)证明：.四边形 ABCD 是矩形，./A=/FDC = 90°, /ADE+/ GDC = 90 , DEXCF, ./ DCG + /GDC=90 , ./ADE=/DCF,. AEDsDFC,.DE AD . -CF DC'(2)解：当 / B+/EGC=180 时，DF=CD成立，证明：如解图，在 AD上取点M,且M点不与F点重合，使CM =CD,第7题解图丁四边形ABCD是平行四边形，AB=CD, AD II BC, .CM = AB, 四边形ABCM是等腰梯形， ./AMC = /A, / B+/

22、 EGC=180 ,./ BCG+Z BEG= 180 ,又AED+/ BEG=180 ,. / AED=/ BCG,. AD/BC,./ MFC = /BCG,/ MFC = / AED,DE AD 目口 DE AD AEDsMFC，a记即而=而；(3)解：如解图，过点C作CHLAD于点H,连接AC, BD交于点O,第7题解图 . /BAD=90 , DEXCF, / AED+ / AFG= 360 -180 = 180 ,又CFH + /AFG=180 ,./ AED=/CFH,又/ DAE = / CHF = 90 ,.AEDsHFC, .DE ADCF HC'由题意可知 ABD

23、ACBD,故可知ACXBD,在 RtABD 中，AB=6, AD = 8, .BD=10,sin/ADB =AB AO BD AD'ao=ABAD = 62«=24O BD 10 5，.AC = 2AO = 48， D。"2-AO2 = 32，根据等面积法：Sxacd = OD AC = HC AD,.HC =32 48-xOD AC 5 5192ADDE AD 825= -= =CF HC 192 24.8.在正方形ABCD中,BD是一条对角线，点 E在直线CD上(与点C,D不重合)，连接AE,平移ADE,使点D移动到点C,得到ABCF,过点F作FGLBD于点G,

24、连接AG, EG.(1)问题猜想：如图，若点E在线段CD上，试猜想AG与EG的数量关系和位置关系;(2)类比探究：如图，若点E在线段CD的延长线上，其余条件不变,小明猜想(1)中的结论仍然成立，请你给出证明;(3)解决问题：若点E在线段DC的延长线上，且/ AGF=120°,正方形ABCD的边长为2,请在备用图中画出图形，并直接写出 DE的长度.图图备用图第8题图8 .(1)解：由平移得EF = CD = AD,: BD是正方形ABCD的对角线，./ADB=/ CDB = 45 , FGXBD, ./DGF = 90 , /GFD + /CDB = 90 , /DFG=45 , .G

25、D=GF,在AAGD和AEGF中，A AD=EF /ADG = /EFG,I DG = FG/.AAGDAEGF(SAS), .AG=EG, /AGD = /EGF, ./AGE=/ AGD + / DGE=/ EGF+/ DGE = 90 , .-.AGXEG;(2)证明：由平移得EF=CD = AD,: BD是正方形ABCD的对角线， ./ADB=/ CDB = 45 , FGXBD, ./DGF = 90 , /GFD + / CDB = 90 , ./DFG = 45 , .GD = GF,在AAGD和AEGF中，AD=EFA /ADG = /EFG,I DG = FG/.AAGDAE

26、GF(SAS), .AG=EG, /AGD = /EGF, ./AGE=/ AGD / DGE=/ EGF-Z DGE = 90 , .-.AGXEG;(3)解：画出图形如解图，DE = 23.第8题解图【解法提小】 同(1)可得，AG = EG, AGXEG, ./GEA= 45 , . /AGF=120 ,AGB=/EGF=30 ,又. /GFD = 45 , 由外角性质得/ CEG=/EFG+/EGF=75°, . / AED= / CEG- / GEA= 30 ,在 RtADE 中，AD = 2, /. DE=23.9. (1)【感知】如图， ABC是等边三角形，点D、E分别

27、在AB、BC边上，且AD= BE,连接AE、CD交于点M.填空：线段AE、CD之间的数量关系是 ;/ EMC =;(2)【探究】如图， ABC是等边三角形，点 D、E分别在边BA CB的延长线 上，且AD=BE,延长EA交CD于点M,请判断线段AE、CD之间的数量 关系及求/ EMC的度数，并说明理由；(3)【拓展】如图，在4ABC中，AB=AC, F是AC上一点，且/1 = /2,点D、3一E分别在BA、FB的延长线上，且AD = BE,若AF = CF = 2BE,橙abf = 6,直接写出 S>A BCD 的值.第9题图9 .解：(1)AE= CD;60°【解法提示】在等

28、边 ABC中，AB=AC,/ ABC=/BAC= 60 ,AD = BE,/. AADCABEA(SAS),AE=CD;.ADC 二BEA,./ADC= / BEA,.在 ABE 中，/ BAE+/ABE+/BEA= 180 ,在 AMD 中，/ DMA+/ADM+/BAE=180 ,./ DMA=/ABE = 60 ,./ EMC=/DMA = 60 .(2)AE = CD, /EMC = 60 ,理由如下：在等边 ABC 中，AB=AC, / ABC=/BAC=60°,./ABE=/ DAC=120 , . AD = BE,. ADC二BEA(SAS), .CD = AE, /ADC=/BEA, / EAB= / DAM , / ABC= / BEA+ / EAB= 60 , ./ EMC = /ADC+/ DAM = 60 ;(3)13.【解法提示】/ 1= /2, .AF=BF, /DAC=/EBA, . AD = BE, AC = AB,/. AADCABEA(SAS),. Saadc = Sabea, . AF = 2BE, AF=BF,.BF=2BE, 八 1Sa ABE= 2Sa ABF = 3, Sa ADC = 3 ,32一/ AF = 2CF,S bfc=3&abf = 4,SaBCD = SaBCF +