【易错题解析】北师大版九年级数学上册第四章图形的相似

1、【易错题解析】北师大版九年级数学上册第四章 图形的相似一、单选题（共10题；共30分）1.（ 3分）如图所示，在 ABC中D为AC边上一点，若/DBC=/ A , BC=3, AC=6,则CD的长为（）5）A. 1B. 2C.D.:【答案】C【考点】相似三角形的判定与性质【解析】 解答：DBC=Z A , /C=/ C , .BCg ACB ,CD BC =, BC ACCD 3=一36-3 CD一2故选：c .CD rc分析：由/ DBC=Z A , ZC=Z C , 可证得BC2 ACB ,所以有一；=一；，代入数据可求 得.2. （ 3分）如果两个相似三角形的面积的比是4:9，那么它们的

2、周长的比是（）A. 4:9B. 1:9C. 1:3D. 2:3【答案】D【考点】相似三角形的性质【解析】【解答】两个相似三角形的面积的比是4:9,两个相似三角形的相似比为：2:3.两个相似三角形的周长比为：2:3.故答案为：D.【分析】根据两个相似三角形的面积的比等于相似比的平方求解。3. （ 3分）两个相似多边形一组对应边分别为3 cm, 4.5 cm,那么它们的相似比为（）A. -B.C.D.【答案】A【考点】相似多边形的性质【解析】【解答】由题意得，两个相似多边形的一组对应边的比为3:4.5= -，.它们的相似比为故答案为：A.【分析】两个相似多边形的对应线段（边、高、中线、角平分线）成

3、比例4 .（ 3分）下列各组图形中不是位似图形的是（）第22页共23页【答案】D【考点】位似变换【解析】【解答】解：根据位似图形的定义，可得A, B, C是位似图形,B与C的位似中心是交点， A的为中心是圆心；D不是位似图形.故选：D.【分析】根据如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心即可求得答案，注意排除法在解选择题中的应用.5 .（ 3分）在同一时刻太阳光线是平行的，如果高 1.5米的测杆影长3米，那么此时影长 36米的旗杆的高 度为（）A.18 米E.12 米C.15 米D. 20 米【答案】A【考点】

4、相似三角形的应用，平行投影【解析】【解较】解一测竿的高度一旗竿的高度一旗竿的高度【斛析】 【斛目】斛. 测竿的影长=旗竿的影长， 一，解得旗杆的高度 =一 X36=18m）.故选：A.【分析】根据同一时刻物高与影长成比例，列出比例式再代入数据计算即可.6 . （ 3分）下列各组长度的线段中，成比例线段的是（）A. 1cm, 2cm, 3cm, 4cmh B. 1cm, 一cm, -cm , 一cmC、 2cm, 4cm, 6cm, 8cmD. -cm, -cm, -cm, -cm【答案】B【考点】比例线段【解析】【分析】如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段.对选

5、项一一分析，排除错误答案.【解答】A、1X4W2不散选项错误；B、i x -= X -，故选项正确；C、2X 8W4,X故选项错误；D、 X 一半-X ,故选项错误.故选B.【点评】考查了比例线段，根据成比例线段的概念，注意在相乘的时候，最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等.7.（ 3分）如图，在平行四边形 ABCD中，对角线 AC, BD相交于点。，点E, F分别是边AD, AB的中点,EF交AC于点H,则一的值为（）A. -B. 1C. -D.-【答案】A【考点】平行线分线段成比例【解析】【分析】二平行四边形 ABCD中，对角线 AC, BD相交于点O,，AO=CO.点 E

6、, F分别是边 AD, AB 的中点，EF/ BD. .一 -.-.-.故选A.8. （ 3分）下列说法中正确的是（）A.两个直角三角形相似11的个等腰三角形相似C.两个等边三角形相似11哂个锐角三角形相似【答案】C【考点】相似三角形的判定【解析】【分析】根据相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到答案.【解答】A、只知道一个直角相等，不符合相似三角形判定的条件，故选项错误；B、因为没有说明角或边相等的条件，故选项错误；C、因为其三对角均相等，符合相似三角形的判定条件，故选项正确；D、因为没有说明角或边相等的条件，故选项错误.故选：C.【点评】考查相似三角形的判定定理：(1)两角对应相

7、等的两个三角形相似；(2)两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；(3)三边对应成比例的两个三角形相似；(4)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么 这两个直角三角形相似.9.（ 3 分）如图，在 RtABC中，/ACB=90, AC=6, BC=8, AD 平分/ CAB交 BC于 D 点，E, F分别是 AD,AC上的动点，贝U CE+EF勺最小值为()A.1B.CD.6【答案】C【考点】全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质【解析】【解答】解：如图所示：在 AB上取点C；使AC =AC过点C作C MAC,垂足为F,交AD与点E.

8、AD在RtABC中，依据勾股定理可知BA=10. AC=AC, / CAD=/ C AD AE=C .AE AEC.CE=EC.，CE+EF=C E+EF.当 C MAC时，CE+EFW最小值., C LAC, BCAC,C / BC.AFCA ACB.，即=一,解得FC .故答案为：C【分析】在 AB上取点C,使AC =AC过点C作C MAC,垂足为F,交AD与点E,利用全等三角形的判 定定理证明 AEe AE（C.得出对应边相等，即 CE=EC.就可得出 CE+EF=C E+EF=FC当C MAC时， CE+EFW最小值，再证明 AAFCs ACEI,得出对应边成比例，就可求出 FC的长。

9、10. （ 3分）如图，在 ABC中，点P为AB上一点，给出下列四个条件：Sf；2 /ACP=/ B; /APC=/ ACB;AC =AP AB;AB-CP=AP-CB中能满足 APC和AACB相似的条 件是（）A.B.C.D.【答案】D【考点】相似三角形的判定【解析】【解答】解：当/ ACP=Z B,/A公共，所以AP8 ACB;当 / APC=Z ACB,/A公共，所以AP8 ACB;当 AC2=AP?AB,即 AC： AB=AP： AC,/A公共，所以APC AACB；当 AB?CP=AP?CB 即一 一，而/ PAC=Z CAB, 所以不能判断 APC和AACB相似.故答案为：D.进行

10、判断；根据两组对应边的比相等且夹角【分析】根据有两组角对应相等的两个三角形相似可对对应相等的两个三角形相似可对 进行判断.二、填空题（共10题；共30分）11. （ 3分）两个相似三角形的相似比为 1:2,它们的面积比为 【答案】1:4【考点】相似三角形的性质【解析】【解答】二两相似三角形的相似比为1: 2,.它们的面积比是 1: 4,故答案为：1: 4.【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方即可得出答案。【答案】-【考点】相似三角形的判定与性质【解析】【解答】解：: DE/ BC,/ ADE=Z B, / AED=Z C, . ADEs ABC,故答案为：-【分析】根据相似三角形的对

11、应边成比例求解。13. （ 3分）如图，直线11 II 12 II 13 ,直线AC交1112 , 13 ,于点 A, B, C；直线 DF 交 11，1213于点D, E, F,已知平行线分线段成比例【解析】【解答】解：由- -和BC=AC-AB 一因为直线11 / 12/ 1312. （ 3 分）如图，在 4ABC中，DE/ BC, =一,贝U =.所以一 一=2 故答案为2【分析】由一-和BC=AC-AB可得一的值；由平行线间所夹线段对应成比例可得-14.（ 3 分）如图，在 ABC中，DE/ BC, AD= 1 , AB=3, DE= 2,贝U BC=【答案】6【考点】相似三角形的判定

12、与性质【解析】 【解答】二.在 4ABC中，DE/ BC, AD& ABC/. ., AD= 1, AB= 3, DE= 2, /. - . . BC=6.【分析】相似三角形的判定和性质.15 .（ 3分）把一个矩形剪去一个正方形，若余下的矩形与原矩形相似，则原矩形长宽之比为【考点】相似多边形的性质根据相似多边形对应边的成比例, 设原矩形 ABCD的长AD=x,宽AB=y,则AE=x-y.【分析】根据相似多边形对应边的比等于相似比，设出原来矩形的长和宽，就可得到关于长宽的方程，从 而可以解得.16 .（ 3分）（2017?兰州）如图，四边形 ABCD与四边形EFGH位似，位似中心点是 O, 二

13、 -，则一【答案】-【考点】位似变换【解析】【解答】解：如图所示：二.四边形ABCD与四边形EFGH位似,.OEDOAB, AOFG OBC,故答案为：-.【分析】直接利用位似图形的性质得出OE。AOAB, AOFG OBC,进而得出答案.17.（ 3分）墙壁CD上D处有一盏灯（如图），小明站在A站测得他的影长与身长相等都为1.5m,他向墙壁走1m到B处时发现影子刚好落在 A点，则灯泡与地面的距离 CD=m.D【答案】-【考点】相似三角形的应用【解析】【解答】如图：根据题意得：BG=AF=AE=1.5m AB=1m, BG/ AF/ CD .EAFECQ MBS ACD, .AE: EC=AF

14、 CD, AB: AC=BG CD,设 BC=xm, CD=ym,贝U CE= (x+2.5) m, AC= (x+1) m,解得：x=2, y=4.5,即 CD=4.5 米，故答案为：4.5.【分析】首先抽象出数学图形，根据平行于三角形一边的直线截其他两边，所截得的三角形与原三角形系数得出4人口ECD, AB8 ACD,根据相似三角形对应边成比例得出AE: EC=AF CD, AB: AC=BG案。18. ( 3分)如图，在 中，/从点 出发，沿方向以 一的面积为，运动时间为 秒CD,设BC=xm, CD=ym,则CE= (x+2.5) m, AC= (x+1) m,根据比例式建立出方程组，

15、求解即可得出答, 为边上的高，动点的速度向点运动.设 的面积为 ，矩形,则 =秒时，【答案】6【考点】相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形，一元二次方程的实际应用-几何问题【解析】【解答】如图，解得t=6.故答案为6【分析】根据等腰三角形的三线合一，及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出AD=BD=CD=8-cm .根据题意AP= 一t , PD=8 一- -t .根据三角形的面积计算公式算出Si的值，根据平行于三角形一边的直线截其它两边，所截得的三角形与原三角形相似得出APE4ADC ,根据相似 三角形对应边成比例得出一 一,根据矩形的面积计算出 S2,根据S=28,列出方程，求解即可

16、。19. （ 3分）如图，矩形 ABCD中，BE平分/ ABC交AD于点E, F为BE上一点，连接 DF,过F作FGJ DF 交BC于点G,连接BD交FG于点H,若FD=FG BF=3 一，BG=4,则GH的长为.【答案】【考点】三角形的面积，全等三角形的判定与性质，矩形的性质，平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质【解析】【解答】解：解法一：如右图，过点F作BC的垂线，分别交 BC、AD于点M、N,则MNXAD,延长GF交AD于点Q,如图所示.四边形 ABCD是矩形,ABC=90 , AD/ BC, . BE平分/ ABC, ./ ABE=Z EBC=45, . MBF是等腰直角三角形,

17、 BF=3 一 ,BM=FM=3 , BG=4,MG=1 ,FD) FG,/ DFG=90 , / DFN+/ MFG=90 , . / DNF=90 , / NDF+Z DFN=90 , ./ NDF=Z MFG, 在DNF和AFMG中， . DNF FMG ( AAS , DN=FM=3, NF=MG=1,由勾股定理得：FG=FD=一, QN / BC, 1- FQ=,QN=-,设 GH=x,则 FH= - -x, . QD/ BG, x=即GH= 解法二：如右图，过 F作FNXBCT N,过B作BMLFG于M,E 四边形ABCD是矩形，ABC=90 , AD/ BC,. BE平分/ AB

18、C, ./ ABE=Z EBC=45, . NBF是等腰直角三角形， BF=3 -BN=FN=3,BG=4,NG=1,在RtFNG中，由勾股定理得：DF=FG=S/bfg= 一 BG?FN= 一 FG?BM, -4X3= - BM ,BM=,GM= =FM=GF- GM= = DF/ BM, . DFhM BMH, .HM=,GH=HM+GM= + =；故答案为：.【分析】解法一：添加辅助线，构造相似三角形和全等三角形，先证4MBF是等腰直角三角形，再明DNFFMG得出DN=FM、NF=MG,根据勾股定理求 FG=FD长，由QN/ BC得线段成比例，求得 FQ、QN 的长，由QD/ BG得线段

19、成比例求出 GH长。解法二：过 F作FNLBC于N,过B作BMLFG于M,易证得 NBF是等腰直角三角形，求出 BN, NG的长，在RtFNG中，根据勾股定理求得 DF=FG的长，再由面积法求出 BM的长，然后证明 DFH BMH, 得对应边成比例，求出 HM的长，即可求得 GH的长。20.（ 3分）（2015?湖州）已知正方形 ABGDi的边长为1,延长GDi到Ai ,以A1C1为边向右作正方形 A1GQD2 ,延长C2D2到A ,以A2G2为边向右作正方形 A2c2G3D3（如图所示），以此类推.若AiCi=2, 且点A, D2 , D3 ,，Dio都在同一直线上，则正方形 A9QC10D

20、10的边长是【答案】【考点】正方形的性质，相似三角形的判定与性质【解析】【解答】解：延长 D4A和CiB交于O,- AB/ A2C1, . AOBs D2OC2 = . AB=BG=1, DC2=CiQ=2,OC2=2OB, .OB=BG=3,OC2=6,设正方形A2QQD3的边长为xi 同理证得： D2OQs D3OQ一=,解得，xi=3,，正方形A2QQD3的边长为3, 设正方形A3QQD4的边长为X2 同理证得： D3OQs D4OC4一=,解得 X2= - ,，正方形A3QQD4的边长为-；设正方形A4QQD5的边长为X3 : 同理证得：D4OQSAD5OC5 , , =,解得x=,正

21、方形A4QQD5的边长为一；以此类推.正方形AniCnCnDn的边长为 一 ，正方形A9QG0D10的边长为一 故答案为一.【分析】延长 D4A和CiB交于O,根据正方形的性质和三角形相似的性质即可求得各个正方形的边长，从 而得出规律，即可求得正方形A9C9C10D10的边长.三、解答题(共8题；共60分)21 .( 6分)如图所示的网格中，每个小方格都是边长为1的小正方形，B(- 1, - D , C (5, - 1)(1)把4ABC绕点C按顺时针旋转90后得到Ab1G ,请画出这个三角形并写出点 B1的坐标；(2)以点A为位似中心放大 AABC,得到4A2B2c2 ,使放大前后的面积之比为

22、 1: 4,请在下面网格内 出 AzB2c2 .【答案】(1)解：如图所示：A1B1C1 ,即为所求，点B1的坐标为：(5, 5)(2)解：如图所示：4A2B2c2【考点】作图-位似变换，作图-旋转变换【解析】【分析】（1）直接利用旋转的性质得出对应点位置进而得出答案；（2）利用位似图形的性质进而得出对应点位置即可得出答案.22 .（ 6分）如图，有一块三角形的土地，它的一条边 BC=100米，BC边上的高AH=80米.某单位要沿着边 BC修一座底面是矩形 DEFG的大楼，D、G分别在边AB、AC上.若大楼的宽是 40米（即DE=40米），求 这个矩形的面积.S E H F C【答案】 解答：

23、由已知得，DG/ BC .ADGs ABC , AHXBC .AHDG 于点 M,且 AM=AH-MH=80-40=40 (m)AG 3 , BC AH即DG=50 (m),2、 S矩形 defg=DEX DG=2000 m ） .【考点】相似三角形的应用【解析】【分析】由于四边形DEFG是矩形，即DG/EF ,此时有/ ADG=/B ,/ AGD=/ C ,所以 ADGs ABC ,利用相似三角形的性质求得线段DG的长，最后求得矩形的面积.23 .（ 6 分）如图，在 4ABC 中，EF/ CD , DE/ BC , 求证：AF： FD=AD： DB .【答案】 证明：.EF/CD, DE/

24、BC,.AF AEAD AEFD ECDB ECFD DB即 AF: FD=AD: DB.【考点】平行线分线段成比例【解析】【分析】根据平行线分线段成比例定理得出AF AEFD EC-即可.FD DB24 . ( 8分)如图，四边形 ABCD中，AC BD交BD于点E,点F, M分别是AB, BC的中点，BN平分/ ABE 交 AM 于点 N, AB=AC= BD,连接 MF, NF.(1)判断4BMN的形状，并证明你的结论；(2)判断4MFN与4BDC之间的关系，并说明理由.【答案】(1)解：4BMN是等腰直角三角形.证明：: AB= AC,点M是BC的中点，AM BC, AM 平分/ BA

25、C. BN 平分/ ABE, AC BD, ./ AEB= 90, ./ EAB+ / EBA= 90, . BMN是等腰直角三角形(2)解：MFNsA BDC证明：.点F, M分别是AB, BC的中点,FM / AC,/ AC= BD, 一 ,即 .由(1)知4BMN是等腰直角三角形，- ，即-,AM BC, ./ NMF+Z FMB=90. FM / AC. . / ACB= / FMB. . / CEB= 90, ./ ACB+ / CBD= 90. ./ CBD+ / FMB=90, .Z NMF=Z CBD. . MFNA BDC.【考点】相似三角形的判定与性质【解析】【分析】（1）

26、由题AB=AC,因为M为BC的中点，所以根据等腰三角形三线合一，/NMB=90 ,根据三角形外角的性质，即可得到/MNB=45 ,所以得出三角形 NMB为等腰直角三角形。（2）由题可得，FM为三角形ABC的中位线，根据（1）中所求的等腰直角三角形，继而可以求得成比例 的线段，继而求/ NMF=/CBD,根据三角形相似的判定定理，即可求出MFNsBDCo“=25.（ 8分）如图，矩形ABCD中，以对角线BD为一边构造一个矩形 BDEF,使得另一边EF过原矩形的顶点S2 , RtDCE的面积为S3 ,则Si S+&（用 冬”、（2）写出如图中的三对相似三角形，并选择其中一对进行证明.【答案】（1）

27、解：Si=BDX ED S矩形 bdef=BDX EDSi=_S矩形BDEF ,l- S2+S3=-S 矩形 BDEF ,Si=S2+S3 . 答： Cg CFBJ DEC.证明BC2 DEC;证明：/ EDC+Z BDC=90 , / CBD+Z BDC=90 ,/ EDC=Z CBD,又. / BCD=Z DEC=90 , . BCg DEC.【考点】矩形的性质，相似三角形的判定【解析】【分析】（1）根据Sl=-S矩形BDEF , a+&hS矩形BDEF ,即可得出答案.（2）根据矩形的性质，结合图形可得：BCgCFBADEC,选择一对进行证明即可.26.（ 8分）四边形ABCD中，点E是

28、AB的中点，F是AD边上的动点.连结 DE、CF. （1）若四边形 ABCD是矩形，AD=12,CD=10如图（1）所示.ID请直接写出AE的长度； 当DE CF时，试求出CF长度.（2）如图（2）,若四边形ABCD是平行四边形，DE与CF相交于点P.探究：当/ B与/ EPC满足什么关系时，一 一成立？并证明你的结论.【答案】 解：（1）二四边形ABCD是矩形，CD=10点E是AB的中点， AE=-CD=5;二.四边形ABCD是矩形， ./ A=Z FDC=90,CF DE, / ADE+/ CFD=90 , / ADE+Z AED=90 , ./ CFD叱 AED, . / A=Z CDF

29、, . AEA DFC 在 AED 中，/ A =90 ,AD=12,AE =5,DE=13CF-(2)当/ B+Z EPC=180时，一 一成立. 四边形ABCD是平行四边形， ./ B=ZADC,AD/ BC,.B+ZA=180 , / B+/EPC=180, ./ A=Z EPC玄 FPD, / FDP=Z EDA, . DFP DEA, . / B=ZADC,Z B+/EPC=180,/EPC吆 DPC=180, / CPD土 CDF, / PCD土 DCF,.CP2 CDF,即当/ B+/EPC=180时，一 一成立.【考点】勾股定理，平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，相似三

30、角形的判定与性质【解析】 【分析】(1)四边形ABCD是矩形，CD=10，点E是AB的中点，可得：AE=CD=5;根据已知证得AE2 DFC,利用相似三角形对应边成比例即可；(2)当/ B+Z EPC=180时,一 一成立.根据已知证得：4DFgADEA,ACPD CDF再根据对应边成比例即可.27. ( 8分)把两个直角三角形如图(1)放置，使/ ACB与/ DCE重合,AB与DE相交于点O淇中/ DCE=90,Z BAC=45 ,AB=6 -cm,CE=5cm, CD=10cm.(1)图1中线段 AO的长=cm； DO=cm(2)如图2,把ADCE绕着点C逆时针旋转 “度(0VaV 90)

31、得口口与AB相交于点FABCB 恰好是以BC为底边的等腰三角形，求线段AF的长.E,图2【答案】 解：（1）如图，过点A作AF/ DE,D / ACB与/ DCE重合，/ DCE=90,/ BAC=45 ,AB=AC=BC=6, . / DCE=90,CE=5, CD=10.ED= - , BE=BC-CE=6-5=1,AD=CD-AC=10-6=4, AF/ DE . AFJ DEC，即 AF=一 一，即 EF=2,BF=EF+BE=2+1=3, AF/ DE.BO BAF一 一，即 AO=一 一,即 OE=DO=DE-OE= 一(2)连接BEi，过点E1作E1GLBC于G,过点F作FH, BC于H,E,DCE绕着点C逆时针旋转a度一/ EiCG=a ,BC耳恰好是以BC为底边的等腰三角形EiG是线段BC的中垂线EiC=5,BC=6CG=BH=3,EG=FHI BC,/ DCE=90, / BAC=45 ,BH=FH令 BH=FH=x,则：CH=6-x在FHC与CG旨中/ EiCG +/ FCH=Z FCH 吆 CFH=90;EiCG =Z CFH, . / FHC=Z C