二元一次方程和实际问题(行程问题)

1、8.3实际问题和二元一次方程组（行程问题）、教学目标知识与技能：能够把行程问题抽象为数学问题，找出实际问题中的已知数和未知数，分析它们之间的数量关系，列出方程组。过程与方法：经历用方程组解决实际问题的过程，体会方程组是刻画现实世界中含有多个未知数问题的有效数学模型。情感态度与价值观：在用方程组解决实际问题的过程中，体验数学的实用性，提高学习数学的兴趣。二、教学重难点教学重点：在行程问题中快速而准确的找出相等关系。教学难点：上下坡问题和相向而行同向而行问题中相等关系的寻找。三、教学过程（一）复习回顾，引入新课1、用二元一次方程组解决实际问题的步骤是什么？答：（1）审题：弄清题意和题目中的数量关系

2、；（2）设元：用字母表示题目中的未知数；（3）列方程组：根据两个等量关系列出方程组；（4）解方程组：利用代入消元法或加减消元法解出未知数的值；（5）检验并答：检验所求的解是否符合实际意义，然后作答2、行程问题中常见的数量关系有哪些？答：基本数量关系：路程=速度X时间速度=路程+时间时间=路程+速度船在顺水中的速度=船在静水中的速度+水流的速度船在逆水中的速度=船在静水中的速度水流的速度设计意图：用提问引导的形式对之前学过的用二元一次方程组解决实际问题的步骤和行程问题中常见的数量关系进行复习回顾，为解决本节课的难点一一找到实际问题中的相等关系做好准备，打下基础。（二）新课讲授，对应训练本部分分为

3、三个例题， 也是行程问题中的三个基本题型。主要采用例题讲解加上对应练习的形式来进行新课讲授，关键点落在习题的练习上。例1两地相距280千米，一艘船在其间航行，顺流用 14小时，逆流用20小时，求船在静 水中的速度和水流速度。分析：涉及到顺水航行和逆水航行的问题，首先要想到相关的数量关系，即船在顺水中的速度=船在静水中的速度+水流的速；船在逆水中的速度=船在静水中的速度一水流的速度。审题过后得出结论， 三个基本量中已知时间和路程，所以要想办法表示出速度，可利用船在静水中的速度和水流速度进行表示，所以把这两个未知量设为未知数。解：设船在静水中的速度是 x km/h,水流的速度是y km/h。速度（

4、单位：km/h）时间（单位：h）路程（单位：km）顺水航行(x+y)14280逆水航行(x-y )20280厂 14 ( x + y ) =280根据路程=速度X时间 得到两个相等关系，列出方程组：TL 20 ( x-y ) =280x x = 17解方程组：得 TL y = 3答：船在静水中的速度是 17km/h,水流速度是3km/h。练习1 A地至B地的航线长9750千米，一架飞机从 A地顺风飞往B地需12.5小时，它逆 风飞行同样的航线需 13小时。求飞机无风时的平均速度与风速。本题请两位同学上台演版，列出方程即可，其他同学在下面独立完成。设计意图：此题是三种题型中相对简单的，所以所花时

5、间并不需要太多，主要是再一次强调顺水航行逆水航行的速度公式，加强对速度、时间、路程的关系在具体题目当中的应用。例2小华从家里到学校的路是一段平路和一段下坡路.假设他始终保持平路每分钟走60m,下坡路每分钟走 80m,上坡路每分钟走 40m,则他从家里到学校需10min ,从学校到家里需15min.问小华家离学校多远？分析：行程问题中如果题目条件比较复杂，较好的方法是利用示意图来帮助学生们分析条件，能够更直观的进行相等关系的分析。其中对单位这一点进行必要的提醒，分析条件前先观察题目中各单位是否一致，如果不一样需要先进行换算。本题的单位是一致的，所以下面直接利用示意图来帮助大家分析条件。平显各二6

6、0 in min根据示意图可知：小华家到学校的路分成两段，一段为平路，一段为下坡路学校到小华家的路分为两段，一段为平路，一段为上坡路结合题目可得：走平路的时间 +走下坡的时间=10,走上坡的时间+走平路的时间=15. 以上则为两个相等关系。相等关系中要想求得时间，必须要知道速度和路程， 由题目已知速度， 所以平路的路程和坡路的路程是需要的两个未知量，可设为未知数。(本题问题是求一个量，也就是家到学校的路程，所以不能直接设，但是通过示意图也可以知道从家到学校的整个路程可以分为两个部 分，即以拐点为分界线， 分为平路的路程和坡路的路程，所以虽然问题只问了一个量也是可以通过分析设出两个未知数的。)

7、方法一(直接设元法)解：设小华家到学校平路长 x m,下坡长y m.平路时间坡路时间总时间上学10放学15根据题意，可列方程组：Im厂 x = 300解方程组，得T-y = 400所以，小明家到学校的距离为300+400=700米.答：小明家到学校的距离为700米.看图分析条件也可以知道从家到学校和从学校到家的过程中平路的路程和坡路的路程是不 变的，只有速度和时间的变化，所以根据路程是定值也可以得到两个相等关系。即：从家里到学校的平路的路程=从学校到家里的平路的路程从家里到学校的坡路的路程=从学校到家里的坡路的路程相等关系中要想得到路程， 必须知道速度和时间， 从题目中可以得到速度是已知的，所

8、以时间是需要知道是未知量，可以设成未知数。但是现在时间有三个，分别是走平路的时间，走上坡路的时间和走下坡路的时间，我们要设哪两个为未知数呢？再次分析题目可以得到这三个时间之间是有关系的，走平路的时间加上走上坡路的时间等于15,走平路的时间加上走下坡路的时间=10,所以任意设其中两个量为未知数，第三个量都能表示出来。60 (10-x) =60(15-y)80x=40y方法二（间接设元法）解：设小华下坡路所花时间为x min,上坡路所花时间为 y min.平路路程坡路路程上学60 (10-x)80x放学60 (15-y )40y根据题意，可列方程组：- Y = S解方程组，得-x 5y y = 1

9、0平路距离：60 X ( 10-5) =300 (米)坡路距离：80X 5=400 （米）所以，小明家到学校的距离为300+400=700米.答：小明家到学校的距离为700米.练习2从甲地到乙地有一段上坡路与一段平路。如果保持上坡每小时走3km,平路每小时走4km,下坡每小时走 5km,那么从甲地到乙地需 54min ,从乙地到甲地需 42min。甲地到乙 地全程是多少？（注意单位的换算）本题请两位同学上台演版，其他同学在下面独立完成。设计意图：这对学生们来说是一个完全陌生的题型，甚至在之前的一元一次方程的学习中也没有遇过，所以需要重点讲解。 在讲题之前主要是强调解决行程问题中示意图的重要性和

10、单 位的一致性，给学生们渗透这种思想， 即在条件较复杂不好分析的情况下，一定要有画图的意识，数形结合帮助分析题目。 对于两种解法，着重讲第一种解法，因为更好理解且能直接 得到题目需要的答案， 但是第一种方法列出的方程比较复杂，需要学生们良好的计算能力的支撑，第二种方法的讲解会点到为止，主要是渗透给学生实际问题中一题多解的解题方法。对应的练习专门选择了一道需要单位换算的题目，在了解学生们对此种题型掌握情况的基础上再一次强调行程问题中先观察单位是否一致的重要性。例3甲、乙两地相距4km,以各自的速度同时出发.如果同向而行，甲2h追上乙；如果相向 而行，两人0.5h后相遇.试问两人的速度各是多少？分

11、析：根据我们在一元一次方程中对行程问题的学习，可以知道相向而行和同向而行的问题最需要画出示意图，找出两人路程之间的关系。下面画出示意图来分析题目条件：(1)同时出发，同向而行甲2n路程1.4 km乙2h路程甲路程乙2h路程(2)同时出发，相同而行 , 相遇地5 甲口. 5h 、蠢 邛鼻程，甲出发点乙出定点如巾甲0- 5h路程+乙0 5h路程=4km通过示意图能够快速而准确的得到两个人路程之间的关系，要想求路程就需要速度和时间，由题目已知时间，所以两个人的速度即为两个未知量，可以设成未知数，也就是直接设题目中的问题。解：设甲、乙的速度分别为x km/h, y km/h.2x-2y=4根据题意与分

12、析中图示的两个相等关系，得 一_0.5x+0.5y=4解方程组，得T x = 5-y = 3答：甲的速度为 5km/h,乙的速度为3km/h.练习3甲、乙两人相距 36千米，相向而行，如果甲比乙先走2小时，那么他们在乙出发2.5小时后相遇；如果乙比甲先走2小时，那么他们在甲出发3小时后相遇，甲、乙两人每小时各走多少千米？本题请两位同学上台演版，列出方程即可，其他同学在下面独立完成。设计意图：相向而行和同向而行的问题之前在一元一次方程的学习中也涉及过，所以再次提出这样的问题主要是对之前知识的一种回顾和变式，希望学生们可以看到相向而行和同向而行就条件反射的想到要画图并探究两人路程之间的关系，提高自

13、己对解题思路的熟悉度和解题速度。对应练习我选择了一个和例题稍有不同的题目，因为条件的变化三个基础量中的时间不是固定的了，虽然时间有变化但是解题的思路并没有改变， 依然是根据示意图来找两人 路程之间的关系，通过这个练习能够了解学生们是否真正的掌握了这种题型。三、课堂小结1、解决行程问题要注意：(1)做题前先观察单位是否一致，如果不一致的话，先进 行单位的换算。(2)分析题目，找到哪些量已知，哪些量未知，并弄清几个基础量之间的关系。(3)必要的时候借助示意图帮助分析题目。2、利用二元一次方程组解决实际问题的流程图实际问题设未知数、找第量关系、列方是 耳数学问题方程函解方程实际问题的十基答案际工业布置未 二元一1、一架飞机在两城之间飞行,双检验数学问题的解次方程组和实际问题(行程问题)训练题风速为24千米/小时，顺风飞行需2小时50分，逆风飞行需要3小时。(1)求无风时飞机的飞行速度(2)求两城之间的距离。2、张强从学校出发骑自行车去县城，中途因道路施工步行一段路，1.5小时后到达县城。他骑车的平均速度是 15千米每小时，步行的平均速度是5千米每小时，路程全长 20千米。他骑车和步行各用多少时间？3