全等三角形及三角形全等的条件一对一辅导讲义

1、全等三角形及三角形全等的条件教学目的1、掌握全等三角形对应边相等、对应角相等的性质，并能进行简单的推理计算。2、理解并掌握三角形全等的判定定理，能准确找到判定定理的条件，并熟练运用。教学内容、课前检测1 .如图（1）, ABC 中，AB=AC , AD 平分/ BAC,则2 .斜边和一锐角对应相等的两直角三角形全等的根据是 根据是.9.,底边和腰相等的两个等腰三角形全等的3.已知 ABCA DEF , DEF 的周长为 32 cm,DE=9 cm,EF=12 cm 贝U AB= AC =.,BC=4.5.6.图（2）要使 ABCA DCB还需知道的一个条件是图（1）如图（2）, AC=BD,如

2、图（3）,若/ 1 = /2, /C=/D,则4ADB0不能确定两个三角形全等的条件是（A.三边对应相等C.两角和任一边对应相等7 - ABC 和 DEF 中，AB=DE, / A=Z D,）B.两边及其夹角相等D.三个角对应相等 若/ ABCA DEF还需要A. / B=Z EB. / C=Z FC.8 -在 ABC 和 A' B' C'中 AB=A'/C=/C',则下列哪组条件不能保证AC=DFB，D.前三种情况都可以 BC=B' C'A.具备B.具备ABgM' B' C'C.具备 AC=A' C

3、9; / A=/A' / B=/B'）D.具备SSS 3. 9 cm参考答案：1. AADB AADC 2 . ASA （或 AAS）5. ACB AAS 6 - D 7 - D 8 A12 cm 11 cm 4. / ACB= / DBC 或 AB=CD二、知识梳理知识要点：要点1:全等三角形的概念及其性质（1）全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形（2）全等三角形性质：对应边相等、对应角相等、周长相等、面积相等要点2:全等三角形的判定(1)两边及夹角对应相等 SAS(2)两角及夹边对应相等 ASA;(3)两角及其中一角的对边对应相等AAS(4)三边对就应相

4、等 SSS要点3:找全等三角形的对应边，对应角的方法(1)若给出对应顶点即可找出对应边和对应角。(2)若给出一些对应边或对应角，则按照对应边所对的角是对应角，反之，对应角所对的边是对应边就可找出其他几组对应边和对应角。(3)按照两对对应边所夹的角是对应角，两对对应角所夹的边是对应边来准确找出对应角和对应边。(4) 一般情况下，在两个全等三角形中，公共边、公共角、对顶角等往往是对应边，对应角。要点4:寻找两个三角形全等的途径(1)三角形全等的判定是这个单元的重点，也是平面几何的重点夹边相等3副)有两组对应角相等时；找.I任一组对边相等(AAS)，夹角相等的有两组对应边相等时；找工第三边相等梵y有

5、一个对角是直角即jL夹等角的另一组边相等(SAS)有一边，一邻角相等时；找有一边，一对角相等时；找任一组角相等( AAS(2)利用两个三角形的公共边或公共角寻找对应关系，推得新的等量元素如图(一)中的 AD,图(二)中的BC都是相应三角形的公共元素。图(三)中如有 BF=CE利用公有的线段 FC就可推出BC=EF图(四)中若有/ DAB=/ EAC 就能推出/ DAC=/ BAE三、例题讲解：例 1.如图， A,F,E,B 四点共线，AC _LCE , BD,DF , AE=BF , AC = BD。求证： &ACF 三ABDE 。.思路分析：从结论 MCF与9DE入手，全等条彳只有

6、AC =BD ；由AE=BF两边同时减去 EF得到AF = BE , 又得到一个全等条件。还缺少一个全等条件，可以是 CF =DE ,也可以是NA = NB。由条件 AC _LCE , BD _LDF 可得 NACE =NBDF = 90° ,再加上 AE = BF , AC = BD ,可以证明 MCE三ABDF ,从而得到/A=/B。解答过程：丫 AC _LCE , BD 1DF.ACE = . BDF =90；在 Rt MCE 与 RtABDF 中工AE = BF/ <AC = BDRt. ACE 三 Rt.BDF (HL).A =/B, AE =BF二 AE -EF =

7、BF -EF ,即 AF =BE在MCF与MDE中AF 二BE2A =/B AC =BD.ACF 三. BDE (SAS)解题后的思考：本题的分析方法实际上是“两头凑”的思想方法：一方面从问题或结论入手，看还需要什么条 件；另一方面从条件入手，看可以得出什么结论。再对比“所需条件”和“得出结论”之间是否吻合或具有明显的 联系，从而得出解题思路。小结：本题不仅告诉我们如何去寻找全等三角形及其全等条件，而且告诉我们如何去分析一个题目，得出解题思路例 2.如图，在 MBC中，BE是/ ABC 的平分线，AD _L BE ,垂足为D。求证：/2 =/1 +/C 。思路分析：直接证明/2 =/1 +/C

8、比较困难，我们可以间接证明，即找到 Na ,证明/2= /a且/u =/1+/C。 也可以看成将22 “转移”到Na。那么Na在哪里呢？角的对称性提示我们将AD延长交BC于F ,则构造了 FBD,可以通过证明三角形全等来证明/ 2=/DFB,可以由三角形外角定理得/DFB=/1 + /C。解答过程：延长 AD交BC于F在ZABD与ZiFBD中J/ABD =./FBDIBD =BDJ /ADB - . FDB =901ABD 三：FBD (ASA . . 2 =/DFB/2 =/1 +/C。又.DFB =/1 . C解题后的思考：由于角是轴对称图形，所以我们可以利用翻折来构造或发现全等三角形。例

9、3.如图，在 MBC中，AB =BC , /ABC =90：。F为AB延长线上一点，点E在BC上，BE = BF ,连接AE,EF和CF 。求证:AE =CF 。思路分析：可以利用全等三角形来证明这两条线段相等,关键是要找到这两个三角形。以线段AE为边的AABE绕点B顺时针旋转90ACBF的位置，而线段 CF正好是ACBF的边，故只要证明它们全等即可。解答过程：丫 /ABC =90 , F为AB延长线上一点/ABC ZCBF =90；在MBE与MBF中AB =BC!/ABC ZCBFBE =BFABE 三 CBF (SAS)二 AE =CF o解题后的思考：利用旋转的观点，不但有利于寻找全等三

10、角形，而且有利于找对应边和对应角。小结：利用三角形全等证明线段或角相等是重要的方法，但有时不容易找到需证明的三角形。这时我们就可以 根据需要利用平移、翻折和旋转等图形变换的观点来寻找或利用辅助线构造全等三角形。例4.如图，D是 MBC的边BC上的点，且CD=AB, /ADB=/BAD, AE是 MBD的中线。求证：AC =2AE。J/4一A/|J/DC*/iBedcf思路分析：要证明" AC =2AE "，不 使 EF =AE 。解答过程：延长AE至点F ,使EF在ZABE与ZiFDE中jAE =FEv "EB =/FED BE =DE, MBE 三 iFDE (

11、SAS), ZB =/EDF丁 ZADF =/ADB +/EDF , /ADC 又 丁 ZADB =/BAD, ZADF =/ADC ;AB=DF, AB =CD ，DF =DC在MDF与MDC中卜D =AD= iF =*DF =DC, MDF =MDC (SAS), AF =AC又丫 AF =2AE, AC =2AE 。解题后的思考：三角形中倍长中线，- 线平行。四、课堂练习一、选择题：1 .能使两个直角三角形全等的条件是A.两直角边对应相等C.两锐角对应相等2 .根据卜列条件，能画出唯一 &ABC卧A AB =3 BC =4 CA=8'.C. 4=60、NB=451 AB

12、=访构造出一条等于 2AE的线段，然后证其等于 AC。因此，延长 AE至F , 二=AE ,连接 DF；=/BAD +/B可以构造全等三角形，继而得出一些线段和角相等，甚至可以证明两条直()B. 一锐角对应相等D.斜边相等J是()B. AB=4, BC=3, /A = 30"4 d.2C =90、AB =63.如图，已知/1 = /2 , AC = AD ,增加下列条件: 其中能使 MBC三MED的条件有（）4.如图，已知 AB=CD, BC=AD, /B = 23"，则 /D 等于（）A. 67：B. 46C. 23D.无法确定 AB =AE ; BC =ED ;/C=N

13、D ;/B=/E。二、填空题：5 .如图，在 AABC 中，/C =90" , /ABC 的平分线 BD 交 AC 于点 D ,且 CD : AD =2: 3 , AC = 10cm , 则点D到AB的距离等于 cm ;6 .将一张正方形纸片按如图的方式折叠，BC, BD为折痕，则NCBD的大小为;三、解答题：7 .如图，MBC为等边三角形，点M ,N分别在BC,AC上，且BM =CN , AM与BN交于Q点。求/ AQN 的度数。8 .如图，NACB=90 AC=BC, D 为 AB上一点，AE_LCD, BF _L CD ,交 CD 延长线于 F 点。求证:BF =CE。9 .如

14、图，已知 AEAD, AFAB, AF=AB , AE=AD=BC , AD/BC.求证：(1) AC=EF , (2) AC ±EF10 .已知：如图，在 RtAABC 中，AB=AC , / BAC=90 , /1 = /2, CEXBD 的延长线于 E.求证：BD=2CE.A、选择题:1. A2, C3. B4. C二、填空题：5. 46. 90三、解答题：7 .解：AABC为等边三角形,A AB =BC , NABC =/C =6。"在 MBM与ABCN中AB =BCv ABC = CBM =CNABM 三 BCN (SAS)NBC »BAMAQN

15、87;ABQBAM »ABQ NBC =60。8 .证明：，丁 AE -LCD , BF -LCDF »AEC =90'ACE CAE =90：:ACB =90；. ACE BCF = 90；CAE = BCF 在MCE与ACBF中F = AECI；ZCAE =/BCFAC =BCACE 三 CBF (AAS) BF =CE 。9.证明:AD/BC,B + /DAB=180又DAB +Z 4+Z EAF + Z 3=360° , / 3=7 4=90°DAB +Z EAF=180：/ B= / EAF在 ABC和 FAE中fAB=AF4/E =

16、AEAFBC = AE.ABCAFAE (SAS)： AC=EF(2) /A ABCAFAE1 = / F 又1 + / 3=/ 2+ / F2=Z 3又3=90.AGXEF,即 AC ±EF证明：延长BA、CE交于点F.vZ 3=90°,5+Z F=90°又BE_LCE, ：/4=90°, / 7=90°： / 1 + / F=90° , / 6=180° 90 =90°1 = Z 5Z3 = Z6 = 90°< AB = AC在 ABD 和 AACF 中=/. ABD ACF (ASA)：BD=

17、FC21 = Z2 BE = BE 在BEF 和ABEC 中 14=/7=90。.ABEFA BEC (ASA)：EF=EC ： FC=2EC： BD=2EC五、课堂小结(1)全等三角形的概念及其性质(2)全等三角形的判定(3)找全等三角形的对应边，对应角的方法(4)寻找两个三角形全等的途径六、课后作业一、填空题1 如图(1), / C=/E, / 1 = /2, AC=AE,则 ABD按边分是三角形.2 如图（2） ,AB=AC, BDXAC 于 D, CEXAB 于E,交 BD 于 P,贝U PD PE （填“ <”或“>”或“ 二 "）,SSS公理,3 .如图（3）

18、, AABC 中, 则图中所添加的辅助线应是AB=AC,现想利用证三角形全等证明/B=/C,若证三角形全等所用的公理是2、5、x,另一个三角形的三边为V、2、6,若这两个三角形全等，则 x+y=4 . 一个三角形的三边为5 .如图（4）, AD=AE,若AECADB,则需增加的条件是 .（至少三个） 二、选择题6 .如图（8）,图中有两个三角形全等，且/ A=/D, AB与DF是对应边，则下列书写最规范的是（）A. ABCADEFB. ABCA DFEC. BACA DEFD. ACBA DEF7 .如图（9）, AC=AB, AD平分/ CAB, E在AD上，则图中能全等的三角形有 对A.

19、1B. 2C. 3D. 4D,A.雷图（8）图（9）图（10）图（11）8 .如图（10）,4ABC 中，D、E 是 BC<h两点，AD=AE, BE=CD,Z1=Z2=110° , Z BAE=60° ,贝U/CAD 等于（）A.70°B. 60°C. 50°D, 110°9 .如图（11）, AB/CD,且 AB=CD,则 ABEA CDE 的根据是 （）A.只能用 ASAB.只能用 SAS C.只能用 AAS D.用ASA或AAS10 .如图（12）, AABCA AEF, AB和AE, AC和AF是对应边，那么/ EAC

20、等于（）A. / ACBB. / BAFC. / FD. / CAF11 .如图（13） , AABC 中，/ C=90° , AC=BC, AD 平分/ CAB 交 BC 于 D, DE LAB 于 E 且 AB=6 cm,则4 DEB的周长为A. 40 cmB. 6 cmCC. 8 cmD. 10 cm1 2图（14）卜面结论不正确的是（图（12）12.如图（14） , / 1 = 7 2,A. / DAE = Z CBEC. CE=CD图（13）/ C=/D, AC, BD相交于点EB. DEA与 CEB不全等D. AEB是等腰三角形三、解答题13 .已知 EF 是 AB 上的两点，AE=BF, AC / BD ,且 AC=DB ,求证：CF = DE.图（15）14 . 一块三角形玻璃损坏后，只剩下如图（16）所示的残片，你对图中作哪些数据测量后就可到建材部门割取符合规格的三角形玻璃并说明理由.D图（16）15 .如图（17）,在 ABC中，AM是中线，AD是高线.图(17)(1)若AB比AC长5 cm,则 ABM的周长比 ACM的周长多 cm.(2