五年级奥数培优讲义

1、第一讲速算与巧算知识要点与学法指导：1. 利用定律、性质进行速算，提高计算能力。2. 引导学生发现数据特征，运用运算定律进行简单巧算。3. 让学生会运用“凑整”、 “分拆”的方法进行简便运算。4. 加、减法的一些运算性质：(1)a + (b + c)=a + b + c(2)a + (b c)=a + bc(3)a (b+c)=a bc(4)a (b c)=a b+c例 1 巧算下列各题：( 1) 219 648 51 138 548 62(2) 100 + 99-98-97+96 + 95-94-93 + + 8+7-6-5 + 4+3-21【分析与解】观察这个算式，可以发现219 和 51

2、 相加凑整，648 和 548 相减凑整，再利用减法性质 a-b -c= a- ( b + c),使138+62也凑整。所以：解：(1)原式=(219 + 51)+( 648548) ( 138+62)= 270+100-200=170这道题是100 以内自然数的加减，共有100 个数进行加减，直接计算显然太烦琐，题目中的运算符号，是按两加两减的规律排列的，可按每两个数一组进行分组，正好所得的差都是2。所以：解：(2)原式=(100 98)十( 99 97)十( 96 94)十( 95 93)十十(8 6)十(7 5)(4 2)(3 1)2X50= 100如果从第二个数开始每连续的4 个数为一

3、组，可以分为：100（99 98-97 + 96）+（ 95 9493 + 92）+十（3 21）。你会计算吗？想一想：还有没有其他的巧解方法？（从第一个数开始，每相邻的4 个数为一组）试一试 1 1） 1） 198 394 94 2 81 2） 10099+9897+9695+ 4-3 + 2-1例 2 巧算下列各题。（ 1 ） 348 179（ 2） 2356（256 159）【分析与解】可以先把179 分拆，拆成有一个和被减数尾数相同的数，再进行计算。解：（1）原式=348-148-31= 200-31= 169【分析与解】可以把括号内的数凑成和被减数尾数相同的数，再利用减法性质：a（b

4、+c） = a b c使运算简便。解：（2）原式=2356- （ 256+100 + 59）= 2356-356-59= 2000-59= 1941试一试 2（ 1） 938 589（ 2） 4636（436 281）以上两题运用的是“凑整”和“拆分”的方法，使运算简便。例 3 计算：599996 49997 3998 407 89【分析与解】观察这道题目，每个加数它们都是接近整十万、整万、整千的数，可 以先把它们转化为整十、整百的数减去一个数的形式，再把整十、整百的数和减去的那个数分别计算。解：原式=(600000 4)十( 500003)十( 40002)十( 400 7)(90 1 )=

5、 654490-4-3-2+7-1=654487试一试 398 998 9998乘法运算中可以运用交换律、结合律和分配律，使运算简便。即：乘法交换律：ax b=bxa；乘法结合律：ax bxc = (ax b) xc=ax ( bx c)；乘法分配律：(a±b) xc=axc+ bx c例 4 巧算下列各题：(1) 18X4X 25(3) 125X ( 10+8)(2) 125 X ( 16X 8)(4) (204) X 25【分析与解】利用乘法结合律，先算 4X25,再算18X100。(2)题也是这样的特点。 解：(1)原式=18X (4X25)= 18X 100= 1800解：(

6、2)原式=(125X8) X 16= 1000 X16= 16000【分析与解】(3) 3) 、 ( 4) 题都是直接运用乘法分配律进行计算的，乘法对加法的分配律，也适用于减法。解：(3)原式=125X 10+ 125X8= 1250 + 1000= 2250(4)原式=20X25-4X25= 500-100= 400有些题目可以将乘法分配律反过来使用，即ax b±axc= ax (b±c)。这个公式极为常用，一定要掌握。试一试 4(1) 125X 72(2) 153X 25+25X47(3) 67X54 + 67X45 + 67例 5 巧算下列各题：(1) 17X21(2

7、) 11111X99999(3) 275+25【分析与解】( 1)题把 21 转化成20 1，就也可以运用乘法分配律计算了。而(2)中的 99999 可以写成10000 1 的形式，再运用乘法分配律进行计算。解：(1)原式=17X (20+1)= 340+17= 357解法一解：(2)原式=11111X ( 100000 1)= 1111100000- 11111=1111088889这里再介绍一种一个数乘11、111、1111的简便算法，11、111、1111可以表示为 10+1, 100 + 10 + 1 ,1000+ 100+10+ 1的形式，再运用乘法分配律进行计算，可以使计算简便。所

8、以：解法二：原式= 99999X ( 10000+ 1000+100+10+1)19999990000 99999000 9999900 999990 99991111088889【分析与解】( 3) 从题目中可以看出，根据商不变性质，4 倍， 变成100， 可以使运算简便；把被(25X4)除数如果扩大“被除数和除数同时乘或除以相同的非零数，商不变,除数和除数同时乘4，所以：解：(3)原式=(275X4) += 1100+100=11试一试 5(1) 25X24(3) 132476X 111例 6 巧算下列各题。(1) 260 X ( 740 + 260)(3) 5250+125 + 8(5)

9、 (121 X52X 15) + 121(7) 46 + 7 11 + 7【分析与解】(2) 9999X2222(4) 1375+125(2) 390 + ( 390 + 220)(4) 532+ ( 19X 14)(6) ( 39+ 65+ 13) + 13( 1)一个数乘两个数的商，可以用这个数先乘商里的被除数，再除以商里的除数。也可以先用这个数除以商里的除数，再乘商里的被除数。用字母表示为：ax (b + c) = ax b + c=a+ c x bo260 X (740 + 260)=260 + 260 X 740=1 X 7407402)一个数除以两个数的商，可以用这个数先除以商里的

10、被除数，再乘商里的除数。用字母表示为：a+ (b+c) = a+ bxc。390+ ( 390 + 220)=390 +390 X 220=1 X 220= 220(3)、(4)在连除式中，一个数除以另一个数所得商，再除以 第三个数，等于第一个数除以第二、三两个数的积，反之也成立。用字母表示为： a+ b + c= a+ (bxc)。5250+ 125+8532+( 19X 14)= 5250+( 125X8)=532+19+14= 5250+ 1000=28 + 14= 5.25=2(5)几个因数的积除以一个数，可以用其中一个因数除以这个数后，再 和其它的因数相乘。用字母表示为：(axbx

11、c) +d = a+dxbxc=b+ d x ax c=c+ d x ax b(121 X52X 15) + 121= 121 + 121 X52X 15=1 X 52 X 15= 780(6)几个数的和除以一个数，可以把各个加数分别除以这个数，再把所 得的商相加。用字母表示为： (a+b+ c) + d = a+d+b + d+c+ d(39+ 65+ 13) + 13=39+ 13+ 65+ 13+ 13+ 13=3+ 5 + 1=9(7)两个数的差除以一个数，可以把被减数和减数分别除以这个数，再 把所得的商相减。用字母表示为：(a b) + c= a+c b+c46 + 711+7=(4

12、611) + 7= 35+7=5试,试 6(2) 280 + ( 280+86)(4) 3250 + 250+4(6) (360+24 + 60) + 12(1) 36X (66 + 36)(3) 266+ ( 7X38)(5) (25X 26X 15) + 25(7) 74 + 6 14 + 6练习一、巧算下面各题:(1) 673+ 288(2) 9898+203(3) 5561-4998(4) 856- (256+137)(5) 825-359(6) 346 +837+154- 237 - 32- 68(7) 375+ 219+381 +225(8) 5001-247-1021-232(9

13、) 2357-183-317-357(10) 2365-1086-214+135(11) 995+ 996+ 997+ 998+ 999(12) 799998+ 79997+ 7996+797 + 18、下面各题怎样算简便就怎样算。(14) 3333X 9999(16) 127X 102 127X2(18) 138X4X 25(20) 32 X ( 25+ 125)(22) 634+25 + 4(13) 38X 101(15) 25X 32+ 75X48(17) 178X 101 -178(19) 25X 32X 125(21) 75X 99+2X75(23) 930+6+575+ 86+ 8

14、3+ 80+ 72+ 78+ 81 + 79+ 8754 47 51 52 48 50 49 53 51 48(24)(25)(26) 12356X 111(27) (48X75X81) + 24(28) 126X76+19+14(29) (48X75X81) + ( 24X25X 27)第二讲加法原理知识要点与学法指导：1、理解加法原理的意义，掌握加法原理的计数方法。2、能够用加法原理解答一些实际问题。做一件事情，完成它可以有 n类办法，在第一类办法中的有 m种方法，第 二类办法中有 m种方法，第n类办法中m有种方法，那么完成这件事共 N= m + m +十m种不同的方法。这个原理我们称之为

15、加法原理。通过加法原理可以看出，只要满足下列条件的问题，就可以用加法原理。(1)要做一件事情；(2)完成这件事情有n类办法；(3)每一类办法中又有m种不同的方法，每种方法都可以独立完 成。那么完成这件事情的方法就等于每一类办法中的方法数之和。例1从甲地去乙地，可以乘汽车，也可以乘火车，或者乘轮船。每天从 甲地去乙地的汽车有 3个班次，火车有 2个班次，轮船有 2个班次。那么在一 天中从甲地去乙地共有多少种不同的走法 ？【分析与解】题中告诉我们，从甲地到乙地有 3类办法，第一类办法即乘汽车，有 3种 方法；第二类办法即乘火车有 2种方法；第三类办法乘轮船有 2种方法。所以 共有3十2+2= 7种

16、不同的走法。从武汉到上海，可以乘飞机、火车、轮船和汽车。一天中飞机有2个班次,火车有 4 个班次，轮船有2 个班次，汽车有3 个班次。那么一天中从武汉到上海，共有多少种不同的走法？例 2 甲乙丙三个组，甲组6 人，乙组5 人，丙组4 人，现在如果三个组共同推选一个代表，共有多少种不同选法?【分析与解】三组共同推选一个代表，完成这件事可以分成3 类：第一类从甲组中选，共有 6 种选法；第二类在乙组中选，共有5 种不同的选法；第三类在丙组中选，共有4种选法。根据加法原理，一共有 6+ 5 + 4= 15种不同选法。试一试 2有不同的语文书7 本，数学书6 本，英语书4 本，自然书3 本。从中任取一

17、本，共有多少种取法？例 3 用天平称物体时要用砝码，现在有1 克， 2 克， 4 克， 8 克的砝码各一个，用这四个砝码最多可以称出多少种不同质量的物体?【分析与解】根据所用砝码的个数不同，可以分为四类：第一类：使用一个砝码可以称出的质量有：1 克， 2 克， 4 克， 8 克，共 4 种；第二类：使用两个砝码可以称出的质量有：1 + 2=3 （克），1 + 4 = 5 （克），1+8=9 （克）2+4=6 （克），2+8=10 （克），4+8 = 12 （克）共 6种； 第三类：使用三个砝码可以称出的质量有：1十2+4 = 7（克），1+2+8=11（克），1十4+8 = 13（克），2+4

18、+8= 14 （克），共4种；第四类：使用四个砝码可以称出的质量有：1 + 2+4 + 8= 15（克），有 1 种；根据加法原理：4+ 6 + 4+1 = 15（种）试一试 3王英有 1 元、 2 元、 5 元、 10 元面值的人民币各一张，可以组成多少种不同面值的组合？例 4 民族小学校五年级甲乙丙三个班，组织了一次文艺晚会，共演出14个节目。如果每个班至少演出3 个节目，那么，这三个班的演出节目数的不同情况共有多少种?【分析与解】由于共演出14 个节目，每个班至少演出3 个节目，所以应先想，把14 分成不小于3的三个整数之和的情况：14=3+ 3 + 8(2)14 = 3+4+7(3)

19、14 = 3 + 5+ 6 14 = 4十4+6 14= 4 + 5+5下面我们用列举的方法分析：(1) 14 = 3 + 3+8甲乙丙338383833共 3 种方法。(2) 14 = 3 + 4+7甲乙丙347374473437743734共 6 种方法。用同样的方法分析、这三种情况，分别有 6种、3种、3种方法, 所以共有3十6十6十3+3=21（种）不同情况。试一试 4小勇有 9 块巧克力，他每天至少吃2 块， 3 天吃完。它共有多少种不同的 吃法？ 练习二1张叔叔要从南京到杭州去开产品推广会。现在知道每天从南京到杭州有 3 趟不同的火车，6 趟不同的汽车，还有2 班不同的飞机。那么，

20、张叔叔在一天中从南京到杭州一共有多少种不同的走法？2 书架上有8 本不同的体育杂志，10 本不同的文艺杂志和12 本不同的科技杂志，小明要从这三种杂志中取出一本杂志，共有多少种取法?3有红、黄、蓝、绿、白五种颜色的卡片，每两种颜色的卡片为一组，最多可以搭配成不重复的几组？4一把钥匙只能开一把锁，现在有10 把钥匙和10 把锁全部都搞乱了，最多要试验多少次才能全部配好锁和相对应的钥匙？5现在有1 克， 2 克， 4 克的砝码各一个，用这三个砝码最多可以称出多少种不同质量的物体?6 有 1 张伍元币，4 张贰元币，8 张壹元币。 问拿出 8 元钱有几种拿法？7将1、 3、 5、 7 这四个数从大到

21、小排成一行，在这四个数中间任意插入加号，可以得到多少个不同的和？（要求最少加一个加号）8 15 道奥数题，每天至少做4 道， 3 天做完，共有多少种不同的做法？9 五年级一班组织一次文艺演出。把 10 首歌曲的演唱任务分给三个小组，每组至少演唱2 首歌曲， 那么， 这三个小组演唱歌曲数的不同情况共有多少种10 已知一个三位数，各位上数字之和是24， 这样的三位数一共有多少个？11 已知一个四位数，各位上数字之和是30，且每个数位上的数字不同，这样的四位数一共有多少个？第三讲乘法原理知识要点与学法指导：1、理解乘法原理的意义，掌握乘法原理的计数方法。2、运用乘法原理解答一些实际问题。做一件事，完

22、成它需要分成 n个步骤。做第一步时有 ml种不同的方法， 做第二步时有 m2种不同的方法，做第 n步时有mn种不同的方法，那么 完成这件事共有 N = ml Xm2 x -mn种不同的方法，其中每一步做法都是独立 的。这个原理我们称之为乘法原理。由乘法原理可以看出，只要满足下列条件的问题，都可以用乘法原理来进 行解答：(1)要做一件事；(2)完成这件事需要分成 n个步骤；(3)做每一步时都有m种不同方法。例1如图，从甲村去乙村有 4条路线可走，从乙村到丙村有 3条路线可 走。那么从甲村途经乙村去丙村，一共有多少种不同的路线可走？那么完成这件事的不同的方法种类数就等于各步骤方法数的乘积。【分析与

23、解】(1)运用枚举的方法可以分别列举出从甲村到丙村的行走方法：ae、af、ag、be bf、bg、ce、cf、cg、de、df、dg。枚举法只适合于情况较少的问题， 如果情况较多时怎么办呢？(2)可以把从甲村到丙村这件事，分成两步来考虑：第一步从甲村到乙村有a、b、c、d四种走法；第二步从乙村到丙村有e、f、g三种走法，从图中明显看出对于第一步的每种走法，每步都有三种不同的走法，所以共有4X3=12种不同走法。这里运用的就是乘法原理。试一试1邮递员投递邮件由甲地到乙地的道路有2条，由乙地到丙地的道路有 3条，那么邮递员从甲地经乙地去丙地，共有多少种不同的走法？例2书架上摆放着4本不同的科技杂志

24、，5本不同的文艺杂志，6本不同 的体育杂志。小明要从三种杂志中各选一本，一共有多少种不同的选法？【分析与解】我们给不同的杂志分别编号科技杂志文艺杂志1号2号3号4号体育杂志2号3号4号6号如果科技杂志选1号，文艺杂志有5种选法，体育杂志有 6种选法，共 30种选法。如果科技杂志选 2号，文艺杂志有5种选法，体育杂志有 6种选 法，共30种选法。所以共有 4X5X6= 120种不同的选法。运用乘法原理：小明要从科技杂志、文艺杂志、体育杂志中各选一本，完成这件事可分三步来进行：第一步选科技杂志，有4种不同的选法；第二步选文艺杂志，有5种不同的选法；第三步选体育杂志，有6种不同的选法，这三步缺一不可

25、。根据乘法原理小明共有4X5X6= 120种不同的选法。试一, 试2有不同的语文书5本，数学书6本，英语书3本。从三种课本中各取一本， 共有多少种不同的取法？例3民族小学六年级一班，要选正、副班长各一名，已知有10名候选人， 那么共有多少种不同的选法 ？【分析与解】我们把10名候选人编号分别为：1号、2号、3号、4号、5号、6号、7 号、8号、9号、10号。如果1号为正班长，则副班长只能从 2号、3号、4号、 5号、6号、7号、8号、9号、10号里选，有9种选法。如果 2号为正班长， 则副班长只能从1号、3号、4号、5号、6号、7号、8号、9号、10号里选， 也有9种选法。如果10号为正班长，

26、则副班长只能从 1号、2号、3号、4 号、5号、6号、7号、8号、9号里选，也有 9种选法。所以共有 10X9=90 种选法。运用乘法原理：选正、副班长各一名这件事可以分为二步。第一步选正班 长有10种选法，第二步选副班长，当正班长选完之后，副班长只能从剩下的9个人里选，有9种选法，根据乘法原理，共有10X9=90种选法。试一, 试3从1、2、3、4、5、6这6个自然数中任取两个数组成一个两位数，共能 组多少个？例4如图，把A、B、C、D四部分用红、黄、蓝、绿四种不同的颜色来 涂，相邻的两部分不能使用同一种颜色，那么，这幅图一共有多少种不同的着 色方法？ABCD【分析与解】给这幅图涂色要分为四

27、步：第一步给A涂色，可以任选一种颜色来涂，有4种涂法；第二步给B涂色，由于A、B相邻，颜色不能相同，所以有3种涂色方法;第三步给C涂色，由于C与A、B都相邻，所以只有2种涂色方法；第四步给D涂色，D与B、C两部分相邻，与 A不相邻，所以也只有 2 种涂色方法。根据乘法原理，共有 4X3X 2X2=48种不同的涂色方法。本题也可以用 其他的顺序考虑。试一' 试4用5种颜色给如下图的 5个区域染色，每个区域染一种颜色，相邻的区域 染不同的颜色，问共有多少种不同的染色方法？练习三1 .在A、B、C三地之间，从A地到B地有4条路可走，从B地到C地 有 3条路可走。问：从 A地经过B地到C地共有

28、多少条路线可走？2 .某人要从北京到大连拿一份资料，之后再到天津开会，其中他从北京 到大连可以乘长途汽车，火车或飞机；而他从大连到天津可以乘船或飞机。那 么，他从北京经大连到天津共有多少种不同的走法3 .有不同的语文书 8本，数学书6本，从两种课本中各取一本，共有多 少种不同的取法？4 .舞蹈队有7名男生，10名女生。从中各选一名参加双人舞比赛。那么 共有多少种不同的选法？5 . 一个小组有8名学生，从中选出正、副组长各一名，那么共有多少种 不同的选法？6 .某段铁路上的10个车站，共需要准备到多少种普通车票？7 .一次作文竞赛有20篇范文，老师要从中选取2篇作文，有多少种选法？8 .有五张卡

29、片，分别写有数字 1、2、4、5、8,现从中取出3张卡片，并 排放在一起，组成一个三位数，如，可以组囹团圆勺偶数？9 .把A、B、C、D、E这五部分用四种不同颜色着色，且相邻的部分不 能使用同一种颜色，不相邻的部分可以使用同一种颜色，那么，这幅图一共有 多少种不同着色方法？ABCDE10 .将1、2、3、4、5分别填入下图中的格子里，要求填在黑格里的数比它旁边的两个数都大，共有多少种不同的填法?11 .如下图，从甲地到乙地有 2条路，从乙地到丙地有 4条路，从甲地到 丁地有3条路，从丁地到丙地也有 3条路，从甲地到丙地共有多少种不同的走 法？12 .有大小两个正方体，每个正方体的六个面上分别标

30、有数字1、2、3、4、5、6,将两个正方体投掷在桌面上，向上的一面数字之和为偶数的情形有多少 种？13 .书架上放有3本不同的数学书，5本不同的语文书，6本不同的英语 书.(1)若从这些书中任取一本，有多少种不同的取法？(2)若从这些书中，取数学书、语文书、英语书各一本，有多少种不同 的取法？(3)若从这些书中取不同的科目的书两本，有多少种不同的取法？14.如图，有5种不同的颜色分别给 A、B、C、D、E染色，要求相邻两 区域所染的颜色不同，求共有多少种不同的染色方法？第四讲 行走路线中的数学问题知识要点与学法指导：1、使学生能够综合运用枚举法、乘法原理、加法原理等计数方法，解答 行走路线中的

31、一些数学问题。2、结合行走路线中的数学问题，培养学生分析问题的灵活性、综合性。我们已经学习过了枚举法、乘法原理、加法原理等计数方法，实际生活中, 有时需要综合、灵活地运用这些知识计算出我们行走的路线。例1在下图中，从A点沿实线走最短的路线到 B点，共有多少种不同的 走法？【分析与解】从简单情况入手，找出规律后再解答。先看（图1）从A到C有1种走法，从A到D也有1种走法，那么从 A 到B的走法就是经过 C点或D点的走法和，即2种走法。进一步扩大方格（图 2）,从A到E有1种走法，那么到 F的走法就是经 过B点、E点的走法的和，即3种走法。我们在交叉点标上数字，表示从 A点 到该点有多少种走法。再

32、扩大方格（图3）从A到各点的走法数见图中交叉点所标的数字。C 211A 213B362 131图1图2图3从以上分析可以得到此题规律，每个小方格内，右上角所标的数等于左上 角与右下角所标数的和。题目中无论走到任一点（如下图的D点），或者经过左边邻近一点（E点）， 或者经过下边邻近一点（F点）。如果到E点有a种走法，至U F点有b种走法，则 按照加法原理到 D点有（a + b）种走法。实际解题时，可以从左下角A点开始，按加法原理，依次向上，向右填上到各点的走法数（见下图）。所以，从 A点到B点共有35种不同的走法。试一试1在下图中，从甲地沿实线走最短路线到乙地。共有多少种不同的走法例2下图是某街

33、区的道路图， C点正在修路不能通过，那么从 A点到B 点的最短路线有多少条？A【分析与解】假如c点可以通过，我们可以按照例 2的方法，从左下角的 A点开始，按 加法原理，依次向上向右填上到各点的走法数 （见下图）。那么，从A点到B点 的最短路线共126条。515357012641020c3s话36io15212&45CA 11实际上c点正在修路不能通过，从 A点到c点最短路线共有10条，从c 点到B点最短路线共有6条（如下图），根据乘法原理，从 A点经过C点到达B 点，不能通过的最短路线共有 10X6= 60（条）。1 n si b,v3610234从A点到B点所有最短路线共126条，

34、不能通过的最短路线共60条，所以，从A点到B点可以通过的最短路线共有 12660=66（条）试一, 试2下图是某街区的道路图，C点正在修路不能通过， 那么从A点到B点的最 短路线有多少条？BC例3有一楼梯共10级，规定每次只能跨上一级或两级，要登上第10级,共有多少种不同的走法？【分析与解】我们先列表分析台阶数（个）每次跨的台阶数（个）走法数（种）11121、 1,或 2231、 1、 1,1、 2或 2、 1。341、 1、 1、 1,1、 1、 2,1、2、1 ,2、1、1 或 2、251089登上n级台阶，或者从（n 1）级跨一级上去，或者从（n 2）级跨两级上去。 由加法原理，如果登上

35、（n - 1）和（n 2）级分别有a种和b种走法，则登上n级有（a+b）种走法。因此只要知道登上1级和2级台阶 有几种走法，就可以依次推出以后各级的走法数。由登上1级台阶有1种走法，2级台阶有2种走法，可以得出下面一串数：1、2、3、5、8、13、21、34、55、89其中从第三个数起，每个数都是他前面两个数的和。登上10级台阶的走法数对应这串数的第10个，即89。试一, 试3七名游客乘小木船到河对岸，木船一次可运送一名或两名游客，七名游客 全部过河共有多少种不同的运送方法？例4在右图中，从 A点沿线段走最短路线到 B点，每次走一步或两步, 共有多少种不同的走法 ？胜：路线相同步骤不同，认为是

36、不同走法）【分析与解】从A点到B点共有10条不同的路线。无论走哪条路线，每条路线都有5个线段，每次走一步或两步，所以，可以根据例3的方法写出这串数1、2、3、5、8。每条路线有8种走法。因此，不同的走法共有8X10=80（种）试一' 试4在下图中，从 A点沿线段走最短路线到 B点，每次走一步或两步，共有多少种不同的走法？（注：路线相同步骤不同，认为是不同走法 ）练工四_1.下图中，从甲硼实线走最短路线到乙地。共有多少种不同的走法2.一只蚂蚁从A点沿实线爬到B点，走最短路线共有多少种不同的路线?5 .下图是某街区的道路图，C点正在修路不能通过，那么从 A点到B点不能通过的最短路线有多少条

37、 ？C316 .小明要从学校到少年宫，不经过A点，且所走线路最短的走法共有多少种?7 .下图是某街区的道路图， C点正在修路不能通过，那么从 A点到B点 的最短路线有多少条？8 .有一楼梯共12级，规定每次只能跨上一级或两极，要登上第12级，共有多少种不同的方法？9 .小明走台阶上山坡，每次只能跨上一级或两级，要登上第 15级，共有 多少种不同的走法？10 .张亮要把11把椅子从五（1）班搬到五（2）班，每次只搬一把或两把 椅子，搬完这些椅子共有多少种不同的搬法？12 . 一商场的一楼到二楼有两个楼梯，都有十四个台阶，每步可以上一个 或两个台阶，问从一楼到二楼共有多少种不同的走法？13 .王丽

38、从家到少年宫，行走方向都是向东或向南，路线如图所示。那么 王丽从家到少年宫有多少条不同的行走路线？和差问题知识要点与学法指导：1 .初步了解和差问题的基本结构，掌握解题思路和方法。2 .会结合线段图分析数量关系，提高学生合理、灵活地选择算法解决实际 问题的能力。例1学校买来篮球和排球共 50个，其中篮球比排球多8个，学校买来篮 球和排球各多少个？【分析与解】排球：II _ . _ -88t 150个篮球：中 从图上可以看出，假如把篮球、排球的个数和加上它们的差，得到的是篮球个数的2倍，所以篮球个数为（50+8）+2 = 29 （个），再求排球个数或用它们 的和减去差则相当于排球个数的2倍，所以

39、排成个数为：（50 8）+2 = 21 （个）再求篮球个数。第一种解法：（50 +8）+2 = 29 （个）50 29=21 （个）或 29 8 = 21 （个）第二种解法：（508）+2 = 21 （个）21 +8= 29 （个）或 50 21 =29 （个）答：篮球有29个，排球有21个。试一, 试1甲乙两组同学共同做了 128朵小花，甲组同学比乙组同学多做 20朵，求 甲、乙两组同学各做多少朵？例2今年小勇和妈妈两人年龄的和是38岁，3年前，小勇比妈妈小 26岁，问今年妈妈和小勇各多少岁？【分析与解】3 年前，小勇比妈妈小26 岁，这个年龄差不变，即今年小勇也比妈妈小26 岁，显然属于和

40、差问题。（38 +26）+2 = 32 （岁）32 26=6 （岁）或（38 26）+2=6 （岁）38 -6=32 （岁）答：妈妈今年32 岁，小勇今年6 岁。试一试 2小明 5 年前比小刚小5 岁，今年他们的年龄和是27 岁，问小明、小刚今年各多少岁？例 3 把长 108 厘米的铁丝围成一个长方形，使长比宽多12 厘米， 长和宽各是多少厘米？【 分析与解】根据题意可知围成的长方形周长是108 厘米，因此，这个长方形长与宽的和是108 + 2 = 54 （厘米），由此可求出长为（54 + 12） + 2=33 （厘米），宽为33 12 = 21 （厘米）。（108-2+12） +2 = 33

41、 （厘米）3312=21 （厘米）或 54-33=21 （厘米）答：长是33 厘米，宽是21 厘米。试一试 3一个长方形的周长是236 厘米，已知长比宽多8 厘米，这个长方形的面积是多少平方厘米？例 4 甲、 乙两个仓库，共有大米800 袋， 如果从甲仓库中取出25 袋放入乙仓库中，则甲仓库比乙仓库还多8 袋，求两个仓库原来各有多少袋大米？【 分析与解】先求甲、乙两仓库大米的袋数差，由从甲仓库中取出25 袋放到乙仓库中，则甲仓库比乙仓库还多 8袋,可知甲仓库原来比乙仓库多 25X 2 + 8=58 （袋）， 由此可求出甲仓库原来有（800 + 58）+2=429 （袋），乙仓库原来有800-4

42、29 = 371 （袋）。800+（25 X 2+8） +2=429 （袋）800 429=371答：甲仓库原来有大米429 袋，乙仓库原来有大米371 袋。试一试4甲乙两箱鸡蛋共有75 个，若从甲箱拿出5 个，放入乙箱，结果甲箱比乙箱还多5 个，问甲乙两箱各有多少个鸡蛋？练习五1. 两堆石子共有800 吨，第一堆比第二堆多200 吨，两堆各有多少吨？2水果店有苹果和梨共860 千克，其中苹果比梨多40 千克，问两种水果各有多少千克？3粮店运来380 吨大米，卖出了一部分，已知卖出的比剩下的少30 吨，求卖出了多少吨？4王芳和李丽两人的年龄和是18 岁， 2 年后，王芳比李丽大4 岁，问王芳和

43、李丽今年各有多少岁？5. 甲、乙两人年龄和是35 岁，甲比乙小5 岁。问甲、乙各多少岁？6. 今年小刚和小强两人的年龄和是21 岁， 1 年前，小刚比小强小3 岁，问今年小刚和小强各多少岁？7. 2 年前，胡炜比陆飞大10 岁。 3 年后，两人的年龄和将是42 岁。求胡炜和陆飞今年各多少岁？8. 把长 84 厘米的铁丝围成一个长方形，使宽比长少6 厘米。长和宽各是多少厘米？9爷爷每天沿着长和宽相差50 米的长方形池塘走5 圈，共行了1300 米，问池塘的长和宽各是多少米？10. 刘晓每天早晨沿长和宽相差40 米的操场跑步，每天跑6 圈共跑 2400米，这个操场的长和宽各多少米？面积是多少平方米

44、？11. 甲、乙两箱洗衣粉共有90 袋，如果从甲箱中取出4 袋放到乙箱中，则甲箱比乙箱还多6 袋，求两箱原来各有多少袋？12. 甲、乙两筐香蕉共60 千克，从甲筐中取5 千克放到乙筐，结果甲筐比乙筐还多2 千克，问两筐原来各有多少千克香蕉？13. 李明和王强共有120 本图书， 王强送给李明15 本后， 还比李明多2 本，李明和王强各有多少本图书？14甲乙两车共运送45 吨水果，如果从甲车上搬给乙车3 吨，甲车比乙车还多 1 吨，甲乙两车原来各运多少吨？第六讲长方形、正方形知识要点与学法指导：1 .熟练掌握长方形、正方形周长和面积的计算方法，能够灵活地、简捷地 解决较复杂的图形问题。2 .进一

45、步培养学生的空间观念。例1两个面积大小相同的正方形拼成一个长方形，长方形的周长比原来的两个正方形周长的和减少了 6厘米，原来一个正方形的周长是多少厘米？【分析与解】把两个正方形拼成一个长方形时，拼成的长方形的周长比原来两个正方形 的8条边减少了 2条边（如下图所示），而这2条边的和正是减少的 6厘米，所 以，正方形的边长是（6 +2 = ）3厘米，原来一个正方形的周长是 （3X4= ）12厘 米。解：6+2X4= 3X4=12（厘米）答：原来一个正方形的周长是 12厘米。试一, 试1三个大小相同的正方形拼成一个长方形，长方形的周长比原来的三个正方形的周长和减少了 24厘米，原来一个正方形的周长

46、是多少厘米？例2 求下图所示图形的周长（单位：厘米）。【分析与解】这个图形的周长有两条边已经给出，分别是20厘米、25厘米、关键在于要求出右上角处阶梯形边的长度，这条阶梯形边可以分为两个方向，一个是水 平方向，一个是垂直方向，通过比较，我们发现，它的水平方向的边长和就是 底边的长，即是 25厘米，它的垂直方向的边长和就是另一条边的长，即是 20 厘米。从而就求出了这个图形的周长。解：（20 + 25）X 2= 90（厘米）答：这个图形的周长为 90厘米。通过以上几个例题，我们可以看出来.求组合图形及一些特殊图形的周长， 一定要仔细观察，善于发现其中内在的联系，找出未知与已知的关系，将问题 转化

47、为求基本图形的周长，从而得到解决。试,试2求下图的周长。（单位：厘米）12例3 一个长方形，如果长增加5厘米，面积增加20平方厘米，若宽增加3厘米，面积增加18平方厘米。这个长方形的面积是多少平方厘米？【分析与解】根据题意画图：图（1）中，ABC星原长方形，阴影部分的面积是20平方厘米，长是5厘米， 所以宽是：20+5 = 4（厘米），这也是原长方形的宽。在图（2）中，同理可知长= 18+3= 6（厘米），这也是原长方形的长。所以，原长方形ABCD的面积是6X4=24（平方厘米）。试,试 3一个长方形，如果长增加 3厘米，面积就增加9平方厘米，如果宽增加 3 厘米，面积就增加15平方厘米，问这

48、个长方形的面积是多少平方厘米？例4大小两个正方形的边长和是 16厘米，大正方形比小正方形的面积大64平方厘米。如图，求大正方形的面积是多少平方厘米？DAiB1-1C E【分析与解】根据题意画图：四边形ABC烟大正方形，四边形CEFGi为小正方形，那么BE= 16,把小正方形CEF哪至大正方形ABC咕部为C缶G ,那么阴影部分面积为 64平方厘米，由于四边形BEFH与DGFK积相等，所以长方形 AHFH的面积为64平方厘米，A H= HF= 64+16 = 4（厘米）。根据和差问题得到大边长是 （16+4） +2 = 10（厘米），最终得到大正方形的 面积是10X10=100（平方厘米）。试,试

49、4有大小两个正方形，它们的周长之和是36厘米，面积之差是9平方厘米，求小正方形的面积是多少平方厘米？例5街心花园中一个正方形花坛四周有1米宽的水泥路，如果水泥路的总面积是24平方米，中间花坛的面积是多少平方米？【分析与解】我们只用把水泥路分成四个大小同样大的长方形（如I厂图），就很容易得出每一个小长方形的面积是24+4= 6（平|方米），因为水泥路的宽1米，所以小长方形的长是 6 + 1花坛=6 （米），从图中可以看出正方形花坛的边长等于长方形IL-的长减去小路宽度：61 = 5 （米），中间花坛的面积是 5 I :X 5=25 （平方米）。24 + 4+1 = 6 （米）6-1=5 （米）5

50、X5=25 （平方米）答：中间花坛的面积是 25平方米。试,试 5有一个正方形的水池，如下图阴影部分，在它的周围修一个宽4米的花池环绕着水池，花池的总面积是480平方米，求水池的边长。练习六5分米的正方形1 .用一块长10分米，宽5分米的长方形纸板与两块边长 纸板拼成一个正方形，拼成的正方形的周长和面积各是多少？2 .两个大小相同的正方形拼成一个长方形，长方形的周长比原来的两个正方形周长的和减少了 16厘米，原来一个正方形的周长多少厘米？3 .把一个长18厘米，宽6厘米的长方形分成3个正方形，每个正方形周 长是多少厘米？4 .求下面各个图形的周长（单位：厘米）395 . 一个正方形被分成了大小

51、形状完全一样的长方形（如图） ，每个小长方 形的周长是24厘米，求这个正方形的周长。6 . 一个长方形，如果长增加 5厘米，面积增加20平方厘米，若宽增加 3 厘米，面积增加18平方厘米。若长和宽都增加3厘米，面积增加了多少平方厘 米？7 .将一块长方形空地改建成花坛，若长增加3米，面积增加12平方米，若宽减少3米，则面积减少18平方米。求这块长方形空地的面积是多少平方米？8 . 一个长方形的长减去 5厘米后，面积减少30平方厘米，剩下的部分是 一个正方形。求原长方形的面积是多少平方厘米？9 .在大正方形中有一个小正方形，两个正方形的周长差是8厘米，面积差是32平方厘米。求大正方形的面积是多少

52、平方厘米？10 .街心花园中一个正方形的花坛四周有1米宽的水泥路，如果水泥路的总面积是12平方米，中间花坛的面积是多少平方米？11 .大小两个正方形的边长和是 25厘米，大正方形比小正方形的面积大 225平方厘米。求大正方形的面积是多少平方厘米？12 .四个完全相同的长方形和一个小正方形拼成一个大正方形（如图）每一个长方形的面积是 24平方分米，长是8分米，求小正方形的面积。第七讲 发现规律巧求和知识要点与学法指导：1. 通过学习求给定的数列的和，分析按一定规律排列的数字，提高学生归纳概括的能力，提高学生运用所学知识解决问题的能力。并掌握求奇数列、偶数列的和的方法。2. 培养学生从多方位、多角度观察事物，发现规律，并按规律解决问题的能力3. 有关数列的计算公式：等差数列：项数=（末项一首项）+公差十1和=（首项十末项）x项数+ 2等比数列：和=（数列各项X公比一原数列）+ （公比一1）数列3、6、12、24、48是一个等比数列。在这一数列中，从第二项开始每一项是前一项的2 倍，或者说，后一项除以前一项的商都相等，我们称这个商为公比。例 1 计算：（1） 10+11