空间向量及其线性运算

1、空间向量及其线性运算空间向量及其线性运算3编稿：周尚达审稿：张扬责编：严春梅目标认知国学习目标：圉1 .了解空间向量的概念，体会向量由平面向空间的推广过程。2 .掌握空间向量的线性运算，掌握向量共线的充要条件.3 .掌握空间向量的数量积，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直.重点：国空间向量的线性运算和空间向量的数量积；空间向量共线与垂直的充要条件.难点：画空间向量的数量积，空间向量共线与垂直的充要条件.学习策略：国把向量的研究范围从平面扩大到空间，就得到空间向量，因此，空间向量是平面向量的推广，学习空间向量的相关概念及其运算时，完全类比平面向量的概念及其运算。知识要点梳理国知识点一：空间向

2、量的相关概念国1 .空间向量的定义：圉在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。与平面向量一样，空间向量也用有向线段表示；记作：乐或孩。注意：（1）空间中点的一个平移就是一个向量；（2）数学中讨论的向量与向量的起点无关，只与大小和方向有关，只要不改变大小和方向，空间向量可在空间内任意平移，故我们称之为自由向量。2.空间向量的长度（模）:国表示空间向量的有向线段的长度叫做向量的长度或模，记作I9司或133.空间向量的有关概念：国零向量：长度为0或者说起点和终点重合的向量，记为6。单位向量：长度为1的空间向量，即相等向量：方向相同且模相等的向量。相反向量：方向相反但模相等的向量。共线向量：如果表示

3、空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量.1平行于信记作3 / 12空间向量及其线性运算共面向量：平行于同一个平面的向量，叫做共面向量。两个规定：（1）6与任意向量平行；（2）6与任意向量垂直。注意：当我们说向量彳、玉共线（或王石）时，表示彳、玉的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线.向量在空间中是可以平移的.空间任意两个向量都可以平移到同一个平面内，因此我们说空间任意两个向量是共面的.4.两个向量的夹角图已知两非零向量左方，在空间任取一点0,作向量3=之，OB=b,则4408叫做王与W的夹角，记作3法）。当母，0或*时,向量彳与信平行，记作当

4、2时，向量a与小垂直，记作知识点二：空间向量的加减法国因为空间任意两个向量是共面的.定义空间向量的加法、减法、数乘向量及运算律与平面向量一样。(1)空间向量的加减法运算囱如图，若0A = a,AB =b3 / 12则OB=OAAB=a+b如图，若OA = a QB =ba则&4蝮-苫（指向被减向量），（2）空间向量的加法运算律：圉加法交换律：加法结合律：G+=3+区艮）注意：空间向量加法的运算律要注意以下几点:首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量,即：44+4A+AA,卜4.i4=AA因此，求空间若干向量之和时.，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量;首尾相接的

5、若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量,即：石+而+冢+-+x+石二百:空间向量及其线性运算4两个向量相加的平行四边形法则在空间仍然成立.因此，求始点相同的两个向量之和时，可以考虑用平行四边形法则.平行四边形法则知识点三：空间向量的数乘阂(1)实数与空间向量的积的定义：画实数丸与向量”的积是一个向量，记为41，模和方向规定如下:4 / 12Aa=Aa(AeR)当；10时，4】与向量段的方向相同、与/I=0时，2以=0当兄0时，温与向量的方向相反(2)实数与空间向量的积的运算律：国设入为实数，则有结合律：gaff第一分配律：6+出&=m+RQfff第二分配律：父S+与二期+助(3)共线向

6、量定理和共面向量定理国共线向量定理：空间任意两个向量左、三(Ww6),曰E的充要条件是存在实数4,使曰二焉.共面向量定理：如果两个向量1、舌不共线，则向量夕与王、石共面的充要条件是有且只有一对实数4、ff为使# = 4+48知识点四:空间向量的数量积15 / 12(1)数量积定义国空间向量及其线性运算已知空间两向量左方，则.图为叫做的数量积，记作一E,即西4=|茨HMcos注意：空间两向量的数量积是一个实数，实数与空间向量的积是一个向量。（2）空间向量数量积的运算律图Q）a-b=ba（交换律）;茂国+为二左篇+其2（分配律）；:：（朝彳二为易二茨.（焉）（4及）(3)空间向量数量积的性质国设”

7、是非零向量，一是单位向量，则：，：e=e-a=acqs（点殍.&JlE今A=0；|开二寸高或|町五;f河川w司.网规律方法指导西1.空间向量的加法与减法如何进行运算？国空间向量中两个向量的加、减可以直接用三角形法则或平行四边形法则解决。而多个向量的加减运算，通常可以利用三角形法则进行推广，在解决立体儿何问题时，其中的某个向量经常多次使用三角形法则的方法用其他向量来表示，首尾顺次相接的向量如果能围成封闭的图形，那么和向量为零向量。2.共线向量定理的用途是什么？国空间向量及其线性运算判定两条直线平行；证明三点共线。注意：证明平行时，先从两直线上取有向线段表示两个向量，然后利用向量的线性运算证明向量

8、共线，进而可以得到线线平行，这是证明平行问题的一种重要方法。证明三点共线问题，通常不用图形，直接利用向量的线性运算即可，但一定要注意所表示的向量必须有一个公共点。3.如何利用向量知识求线段的长度？圉将所求线段用向量表示，转化为求向量的模的问题。一般可以先选好基底，用基向量表示所求向量，然后利用来求解。选择基底时，应注意三个基向量两两之间的夹角应该是确定的、已知的或可以求出的。具体求模时，可分为两种不同情况：（1）不建坐标系，直接进行向量运算；（2）建立坐标系，用距离公式求线段长度。4.如何利用空间向量知识求异面直线所成的角？国异面直线所成的角可以通过选取直线的方向向量，计算两个方向向量的夹角得到，具