立体几何解答题的建系设点问题

1、立体几何解答题的建系设点问题、基础知识:Zj底面两条线垂直)，(一)建立直角坐标系的原则：如何选取坐标轴1、z轴的选取往往是比较容易的，依据的是线面垂直，即z轴要与坐标平面xOy垂直，在几何体中也是很直观的，垂直底面高高向上的即是，而坐标原点即为z轴与底面的交点2、x,y轴的选取：此为坐标是否易于写出的关键，有这么几个原则值得参考：(1)尽可能的让底面上更多的点位于x,y轴上(2)找角：x,y轴要相互垂直，所以要利用好底面中的垂直条件(3)找对称关系：寻找底面上的点能否存在轴对称特点解答题中，在建立空间直角坐标系之前，要先证明所用坐标轴为两两垂直(即一个线面垂直这个过程不能省略。3、与垂直相关

2、的定理与结论：(1)线面垂直：如果一条直线与一个平面上的两条相交直线垂直，则这条直线与该平面垂直两条平行线，如果其中一条与平面垂直，那么另外一条也与这个平面垂直两个平面垂直，则其中一个平面上垂直交线的直线与另一个平面垂直直棱柱：侧棱与底面垂直(2)线线垂直(相交垂直)：正方形，矩形，直角梯形等腰三角形底边上的中线与底边垂直(三线合一)菱形的对角线相互垂直勾股定理逆定理：若AB2AC2BC2,则ABAC(二)坐标的书写：建系之后要能够快速准确的写出点的坐标，按照特点可以分为3类1、能够直接写出坐标的点(1)坐标轴上的点，规律：在哪个轴上，那个位置就有坐标，其余均为0(2)底面上的点：坐标均为x,

3、y,0,即竖坐标z0,由于底面在作立体图时往往失真，所以要快速正确写出坐标，强烈建议在旁边作出底面的平面图进行参考2、空间中在底面投影为特殊位置的点：如果Ax1,y1,z在底面的投影为Ax2,y2,0,那么x1x2,y1y2(即点与投影点的横纵坐标相同)由这条规律出发，在写空间中的点时，可看下在底面的投影点，坐标是否好写。如果可以则直接确定了横纵坐标，而竖坐标为该点到底面的距离。以上两个类型已经可以囊括大多数几何体中的点，但总还有一些特殊点，那么就要用到第三个方法：3、需要计算的点 中点坐标公式：Ax1,y1,z1,Bx2,y2,z2,则AB中点Mxx2,y1y2,z1一z2，图中的H,I,E

4、,F等222中点坐标均可计算 利用向量关系进行计算（先设再求）：向量坐标化后，向量的关系也可转化为坐标的关系，进而可以求出一些位置不好的点的坐标，方法通常是先设出所求点的坐标，再选取向量，利用向量关系解出变量的值1.如图，在等腰梯形ABCD中，AB/CD,ADDCCB1,ABC600,AB=2,CF平面ABCD，且CF1,建立适当的直角坐标系并确定各点坐标。（两种方法）思路：本题直接有一个线面垂直，所以只需在平面ABCD找过C的相互垂直的直线即可。由题意，BCD不是直角。所以可以以其中一条边为轴，在底面上作垂线即可构造出两两垂直的条件，进而可以建立坐标系方案一:（选择BC为轴），连结AC可知A

5、DC120o在VADC中AC2AD2DC22AD|DCcosADC3AC8由ACV3,|BC1,ABC60o可解得AB2,ACB90oACBCQCF平面ABCDCFAC,CFBC以AC,CF,BC为坐标轴如图建系：B0,1,0,A.3,0,0,D黄，-,0,F0,0,122方案二（以CD为轴）A过C作CD的垂线CMQCF平面ABCDCFCD,CFCM以CD,CF,CM为坐标轴如图建系:（同方案一）计算可得：CM二国,AB223331A一，-,0,B一，一,0,D0,1,0,F0,0,122222.已知四边形ABCD满足八八1八AD/BC,BAADDC-BCa,E是BC中点，将2成VB1AE,使

6、得平面BAE平面AECD,F为BD中点VBAE翻折思路：在处理翻折问题时，首先要确定在翻折的过程中哪些量与位置关系不变，这些都是作为已知条件使用的。题在翻折时，VBAE是等边三角形，四边形AECD为60o的菱形是不变的，寻找线面垂直时，根据平面面AECD,结合VBAE是等边三角形，可取AE中点M,则可证B'M平面AECD,再在四边形组过M的垂线即可建系解：取AE中点M,连结B'MBAE平AECD找一_'_一QVBAE是等边三角形BMAE平面BAE平面AECD_'_''BM平面AECD，连结DMBMME,BMQ四边形AECD为60o的菱形VADE为

7、等边三角形DMAEBM,MD,ME两两垂直如图建系，设AB为单位长度11二A,0,0,E,0,0,D0,222'.F为BD中点3.如图，在四棱柱ABCD-ABC1D1中，侧棱A1A底面ABCD,ABAC,AB=1,AC=AA=2,AD=CD=J5,且点M和N分别为BC和D1D的中点。建立合适的空间直角坐标系并写出各点坐标A,B1,C1,D1均可通过投影到底面得到横纵坐标，图中识进行计算。解：Q侧棱AA底面ABCDAAAB,A1AACQABACAB,AC,AA1MM同以AB,AC,AA1为轴建立直角坐标系底面上的点：B0,1,0,C2,0,0由AD=CD=J5可得VADC为等腰三角形，若

8、PDPJAD2AP22D1,2,0可投影到底面上的点A0,0,2,B10,1,2,C12,0,2,D11,2,2因为M和N分别为B1c和D1D的中点1M1,-,1,N1,2,12综上所述：B0,1,0,C2,0,0,D1,2,0,A0,0,2D点坐标相对麻烦，可作出底面的平面图再根据平面儿何知A为A-BAC中点，则DPACwC:,B0,1,2,C12,0,2,D11,2,2思路：由AA底面ABCD,ABAC可得AA1,AB,AC两两垂直，进而以它们为轴建立坐标系，本题中1M1,-,1,N1,2,12思路：本题建系方案比较简单，AiD 平面ABC ,棱柱的高未知，进而无法写出上底面点的竖坐标；二

9、是问题可先将高设为h,再利用条件BA1 AC1求解;解：过D作AC的垂线DM , Q AD 平面ABCAD DC,AD DM ,而 DM DC以AiD,DC,DM为轴建立直角坐标系A 0, 1,0 ,C 0,1,0 ,B 2,1,0 ,设高为第二个问题可以考虑利用向量计算得到。BACDDAAiCi则 A 0,0,h，设 G x,y,zuuur 则ACuuuur0,2,0 ,ACix, y,zuuur 由ACuuuurACi可得：yB4 .已知斜三棱柱ABCAB1c1,BCA90o,ACBC2,A1在底面ABC上的射影恰为AC的中点D,又知BAAC，E为BB靠近点B的三等分点，建立适当的空间直角

10、坐标系并确定各点坐标进而AiD作z轴，再过D引AC垂线即可。难点有二：一是三Bi的投影不易在图中作出（需要扩展平面ABC）,第一个C10,2,huuurBA 2, i,huuur ,ACi0,3,hBA ACiuur uuuuBAi ACi 0A0,0,.3,Ci0,2,%3设 Bi x, y,、. 3uuuirABix,y,0uuu而 AB 2,2,0uuuir且ABiuurABB12,2,3综上所述：A0,i,0,C0,i,0,B2,i,0,A0,0,.3,Ci0,2,.3,Bi2,2,.35 .如图，在三柱ABCABiG中，H是正方形AAiBiB的中心，AA2j2,GH平面AABiB,G

11、H后,思路：C1H对于坐标只有建立适当的坐标系并确定各点坐标平面AABiB,从而CiH可作z轴，只需在平面AAiBiB找到过H的两条垂线即可建系（两种方案），UUirUUir解：方案一:（利用正方形相邻边垂直关系建系）如图建系：则A I .2,0 ,A , 2,2,0 ,Bi 、2, .2,0B .2, .2,0 ,Ci 0,0, 5UUUr设 C x, y, z，则 CiCx, y,z、.5UULTA1A- B2、2,0A0,UULT UUT由C1c AA可得:C 0, 2、.25综上所述:A 亚,2,0 ,A、2,亚0 ,Bi,B亚 :2,0 ,C坐标相对麻烦，但由C1cAA可以利用向量进行计算。Ci0,0,5,C0,2'.2,、5方案二：（利用正方形对角线相互垂直建系）如图建系：由 A