中考复习讲义圆的基本概念与性质(含答案)

1、圆的基本概念与性质内容基本要求略局要求较局要求圆的有关概念理解圆及其有关概念会过/、在同一直线上的二点作圆；能利用圆的有关概念解决简单问题圆的性质知道圆的对称性，了解弧、弦、圆心角的关系能用弧、弦、圆心角的关系解决简单问题能运用圆的性质解决侣关问题垂径定理会在相应的图形中确定垂径定理的条件和结论能用垂径定理解决有关问题F自检自查必考点1 .圆的定义：在一个平面内，线段 OA绕它固定的一个端点 O旋转一周，另一个端点 A随之旋转所形成 的图形叫做圆，其中固定端点 O叫做圆心，OA叫做半径.2 .弧与弦：弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦.直径：经过圆心的弦叫做圆的直径，直径等于半径的2倍.弦心距：

2、从圆心到弦的距离叫做弦心距.弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以 A B为端点的圆弧记作 AB ,读作弧AB.等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧.半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆.优弧、劣弧：大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧.3 .垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。中考必做题一与圆有关概念【例1】判断题(1)直径是弦()(2)弦是直径()(3)半圆是弧()(4)弧是半圆()(5)长度相等的两条弧是等弧()(6)等弧的长度相等()（7）两个劣弧之和等于半圆（）（8）半径相等的两个圆是等圆（）（9）两个半圆是等弧（

3、）（10）圆的半径是 R,则弦长的取值范围是大于0且不大于2R（）【答案】（1） M （2）不（3）京（4）不（5） X; （6）您（7）不（8）叱（9）天（10） V【例2】如图，点A、D、G M在半圆O上，四边形ABOC、DEOF、HMNO 均为矩形，设 BC = a , EF =b ,2NH =c则下列格式中正确的是（B. a =b =cC.cabD. b>c>aA. a b c【例3】如图，直线1i / l点A在直线l1上，以点A为圆心，适当长为半径画弧， 分别交直线 hl2于B、 则/ 1的大小为【例4】 如图，4ABC内接于LlO, AB =8, AC =4, D是AB

4、边上一点，P是优弧BAC的中点，连接PA、PB、PC、PD ,当BD的长度为多少时，APAD是以AD为底边的等腰三角形？并加以证明.【答案】解：当BD =4时，APAD是以AD为底边的等腰三角形.证明：P是优弧ABC的中点PB =PCPB =PC在APBD与始CA中，PB =PC：ZPBD zpcbIBD =AC =4APBgAPCASAS .PD=PA,即BD=4时，妒AD是以AD为底边的等腰三角形.【例5】 如图，正方形 ABCD的边长为2,将长为2的线段QR的两端放在正方形的相邻的两边上同时滑动.如果点Q从点A出发，沿图中所示方向按 A= B= C= D= A滑动到A止，同时点R从点B

5、出发，沿图中所示方向按 B= C= D= A= B滑动到B止，在这个过程中，线段QR的中点M所 经过的路线围成的图形的面积为 【答案】4 二【解析】根据直角三角形的性质，斜边上的中线等于斜边的一半，可知：点M到正方形各顶点的距离都为1,故点M所走的运动轨迹为以正方形各顶点为圆心，以1为半径的四个扇形，点 M所经过的路线围成的图形的面积为正方形ABCD的面积减去4个扇形的面积.二垂径定理及其应用【例6】 如图，AB是|_|0的直径，BC是弦，OD_LBC于E ,交弧BC于D .(1)请写出五个不同类型的正确结论；(2)若 BC =8,ED =2 ,求 |_|O 的半径.D【答案】(1)不同类型的

6、正确结论有: BE =CE;弧 BD =MDC；/BED =90 :. BOD /A;AC _OD;AC - BC; OE2 BE2 =OB2; S abc =BC ?OE；二BOD是等腰三角形；二 BOES【BAC.,.(2) OD _LBC ,1 1 BE =CE =BC =4设|O的半径为 R,则OE=OD DE =R2,在Rt_OEB中，由勾股定理得： 22_2222OE BE =OB，即(R 2) 4 =R ,解得：R =5 ,.|_|O的半径为5.【例7】 如图，在|_O中，NAOB =120AB=3,则圆心。到AB的距离=3【例8】如图,结论D内接于O, D为线段AB的中点，延长

7、OD交1O于点E,连接AE,BE则下列五个1AB_L DE, AE= BE, OD = DE , / AEO =/C , AB =ACB ,正确结论的个 2数是（A. 2【答案】AB. 3C. 4D. 531【例9】 如图，AB为l_O的直径，CD为弦，AB_LCD ,如果NBOC = 70=，那么/ A的大小为（）A.703 B.35C.30D. 20【例10如图，AB是。的在直径，弦CD_LAB于点E,若CD=8, OE = 3,则L。的直径为（AA. 10B. 12C. 14D. 16【答案】A【例11如图，。是AABC的外接圆，/BAC =60口，若O的半径OC为2,则弦BC的长为（）

8、A. 1B. 73C. 2D. 2M【答案】D【例12】小英家的圆镜子被打破了，她拿了如图（网格中的每个小正方形边长为1）的一块碎片到玻璃店,配制成形状、大小与原来一致的镜面，则这个镜面的半径是（）A. 2B. 5C. 2 - 2D. 3【答案】B【解析】考查垂径定理与勾股定理的应用.此题关键找到圆心，由不在同一条直线上的三点确定唯一一个圆.如图，作线段 AB,BC的垂直平分线交于点 。，点。即为圆镜的圆心，连结 OA,由图可知 AD =1,OD = 2 ,由勾股定理得半径 OA = y'AD2 +OD2 =" +22 = J5 .【例13如图是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心

9、为 O,直径AB是河底线，弦 CD是水位线，CD/AB,且 CD = 24 m ,OELCD于点 E.已测得 sin/DOE =13(1)求半径OD;(2)根据需要，水面要以每小时0.5m的速度下降，则经过多长时间才能将水排干?【答案】(1) . OELCD于点 E, CD=24,/.ED = -CD =12.2在 RtDOE 中，sin/DOE =-ED =,，OD =13 (m).OD 13(2) OE= JOD2 -ED2 = 132 -122 =5 -将水排干需：5T0.5 =10小时.【例14如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形(劣弧)，其跨度为24米，拱的半径为13米，则拱高为()A.

10、 5 米B. 8 米C. 7 米D. 5J3 米【答案】B【例15如图，AB为O的直径，弦CD 1 AB，垂足是E ,连接OC ,若OC =5D 8 ,则AE =CB【例16】一条排水管的截面如图所示.已知排水管的截面圆半径OB = 10,截面圆圆心 O到水面的距离OC是6,则水面宽人8是()A. 16B. 10C. 8【答案】AD. 6【例17已知，如图,Q与坐标轴交与 A (1,0)、B( 5, 0)两点，点O1的纵坐标为 灰，求Q的半径。.由 A (1,0)、B( 5,0),得 AB =4,，AC = 2 .在 fRADC 1【答案】过。作OC _L AB，垂足为C ,则有中，:01的纵

11、坐标为&5。1的半径 O1A= JO1C2+AC 2 =1(V5)2+22 =3CD =48cm,求弦AB与CD间的距离.CD【例18】已知。的直径是50cm,。0的两条平行弦 AB = 40cm,【答案】本题有两种情况：(1) AB, CD在圆心O的同侧， 当AB , CD在圆心O的同侧时，作 OF _LAB于F , 交CD于E如右图所示. AB II CD ,OE_LCD11由垂径定理知： AF =_ AB =20cm CE =_CD =24cm 2，2连结 OA与 OC, OA=OC=25cm.OE = J252 242 =7cm，OF =J252 202 =15cm，AB与CD

12、之间的距离 EF=15 7=8cm(2) AB, CD在圆心O的两侧如右图所示，AB与CD之间的距离 EF =15 + 7 = 22cm.【例19】在半径为1的OO中，弦AB、AC的长分别为 曲和 鱼，则/BAC的度数为【答案】此题分两种情况讨论：(1)若AR AC在圆心O的同侧，如图 连结OA ,过O点分别作OD _L AB , OE _L AC ,垂足分别为 D、E 则 AD=K ae=史，. NOAD =30OAE =45722/BAC =/DAE =45030口=15，综上所述，/BAC的度数为15 或75%【例20如图，AB是LIO的直径，BC是弦，CD_LAB于(1)请写出四个不向

13、类型的正确结论。(2)连接 CD,BD ,设/CDB =ot,/ABC = P ,试找出三CVJBDE ,交BC于D，u与P之间的关系，并给与证明。(2)若AR AC在圆心O的异侧，如图根据圆的对称性，/BAC=75(1) BE =CE; BD =CD ； BED =90 ；/BOD =/A (2)答案不唯一，(如 AC / OD ； AC_L BC MBOEsABAC 等也可)(2)同弦所对的圆周角相等或互补. - =180【例21】问题探究(1)在图的半径为 R的半圆O内(含弧)，画出一边落在直径 MN上的面积最大的正三角形, 并求出这个正三角形的面积？(2)在图的半径为 R的半圆O内(含

14、弧)，画出一边落在直径 MN上的面积最大的正方形, 并求出这个正方形的面积？问题解决（3）如图，现有一块半径 R =6的半圆形钢板，是否可以裁出一边落在MN上的面积最大的矩形？若存在，请说明理由，并求出这个矩形的面积；若不存在，、 /、jFTujTLJ LJV0N 鼠oN 【答案】如图正乙）M A g B NM b O V卬/、#3 24 2/、1 1 、D -（2） _O -13、36说明理由？ /、M0NA_DAf、一 Jir35【例22如图，有一木制圆形脸谱工艺品,H、T两点为脸谱的耳朵，打算在工艺品反面两耳连线中点处打一小孔.现在只有一块无刻度单位的直角三角板（斜边大于工艺品的直径），

15、请你用两种不 同的方法确定点 D的位置（画出图形表示），并且分别说明理由.【答案】方法一：如图，画TH的垂线L交TH于D ,则点D就是TH的中点,依据是垂径定理;方法二：如图，分别过点 T、H画HC _LTO ,TE _L HO , HC与TE相交于点F ,过点O、F画直线L交HT于点D ,则点D就是TH的中点,由画图知， Rt|_HOC©Rt|_TOE,易得HF =TF ,又 OH =OT ,所以点O、F在HT的中垂线上，所以HD =TD ;方法三：如图.（原理同方法二）*课后作业【题1】 如图，已知 AB是|_O的弦，半径 OA=6,/AOB =120©,则AB = 【

16、答案】作 OC_LAB于C,则 OC 平分 AB；NAOB =120Q./A = 30=.3-AC = OA|_cos 一 A = 6 = 3 3 , 2.AB =2AC = 6.3O的一部分）区【题2】 如图，海边立有两座灯塔 A B,暗礁分布在经过 A、B两点的弓形（弓形是 域内，ZAOB=80°.为了避免触礁，轮船 P与A、B的张角/APB的最大值为 【答案】401【解析】当点P在优MAB上时，/APB的值最大，等于 -AOB = 40".已知 D = 30【题3】如图，AB是UO的直径，点C、D都在LIO上，连结CA, CB, DC ,DB .BC =3,则AB的长

17、是【答案】6【解析】'：BC = BC/A=/D=30:< ；/ACB=902，AB=2BC=2m3 = 6【题4】 如图，点O为优弧ACB所在圆的圆心， /AOC=108口。点D在AB延长线上，BD = BC, 则/D =.【答案】271 1【解析】 / ABC = / AOC =-x108°=54s2 21 1一,BC =BD, D = BCD = ABC 54 =272 2【题5】 如图，/BAC所对的（图中BC）的度数为120，。的半径为5,则弦BC的长为【答案】5 .3【解析】连结 OB、OC ，过。作OD _L BC于D .；NBAC所对的BC的度数为120

18、口，BOC =1201180 -120 O OB OC, / OBD 302又；OB =5,，在 RMOBD 中,BD =OBcos OBD=5 cos30 = 5,3 5.32 一 2由垂径定理得弦BC = 2BD = 2 m 55=5石.2=3,则Lo的半径是【题6】 如图，|_|0的两条弦AB、CD互相垂直，垂足为 E,且AB = CD,已知CE = 1, ED【解析】如图，作OF _L CD于F , OG _L AE于G ,11由垂径 7E 理得， CD =DF CD (1 3)=2 22, OF =EF =1.连结 OD ,在 AODF 中，由勾股定理得， OD = JOF2 +DF

19、2 =" +22 = J5 .部分,【题7】 高速公路的隧道和桥梁最多. 如图是一个隧道的横截面， 若它的形状是以 O为圆心的圆的 路面AB=10米，净高CD =7米，则此圆的半径 OA=()A. 5B. 737 C. 537D.17【解析】考查了垂径定理、勾股定理.特别注意此类题经常是构造一个由半径、半弦、弦心距组成的直角三角形进行计算.解：CD _L AB,根据垂径定理和勾股定理可得.由垂径定理得AD=5米,设圆的半径为r,则结合勾股定理得 OD2+AD2=OA2,即(7r)2+52 = r2 ,.一 37解得r =一米.7【题8】 如图，已知 AB是|_0的弦，半径OA=20c

20、m,/AOB =120中,求AAOB的面积.4星如图，作OC_LAB于C,则AC =BC,1,S&OB=2ABD0c.作 OC _L AB 于点 C ,则有 AC = CB, /AOC1=/AOB =60，2在 RtAAOC 中，OA = 20cm所以 AC =10j3cm,OC =10cm,所以 SOB=1 ABOC =100.3(2一2、cm )100 .3【题9】如图，台风中心位于点 P,并沿东北方向PQ移动，已知台风移动的速度为40千米/时，受影响区域的半径为260千米，B市位于点P的北偏东75°方向上，距离P点480千米.(1)说明本次台风是否会影响 B市;(2)若

21、这次台风会影响 B市，求B市受台风影响的时间.北B【答案】(1)作BH _LPQ于点H .在 Rt_BHP 中，由条件知， PB =480, /BPQ =75 "45 » = 30)BH =480sin30°=24O< 260,，本次台风会影响 B市.(2)如图，若台风中心移动到Pi时，台风开始影响 B市，台风中心移动到 P2时，台风影响结束.由(1)得 BH =240,由条件得 BP =BB=260,PP2 =2，2602 2402二200，台风影响的时间t=55小时.故B市受台风影响的时间为北偿：考点汇总考点一：利用垂径定理进行证明或弦长的有关计算考点二

22、：垂径定理与方程思想的结合考点三：图形与圆心位置的不确定性考点四：垂径定理的实际应用考点五：三角形的外接圆考点六：圆的对称性考点七：等量关系定理（圆心角、弧、弦、弦心距关系定理）考点八：垂径定理与等量关系定理的综合应用考点九：圆周角定理及推论的应用考点十：圆内角与圆外角度数的求法考点十一：圆内接四边形的性质考点十二：点和圆的位置关系考点十三：直线和圆位置关系的判定考点十四：切线的性质及判定考点十五：切线长定理考点十六：三角形的内切圆考点十七：圆与圆的位置关系考点十八：正多边形与圆考点十九：扇形有关计算考点二十：圆柱和圆锥有关计算考点精讲考点一：利用垂径定理进行证明或弦长的有关计算【例1】若圆O

23、的半径为5厘米，圆心O到弦AB的距离为3厘米，则弦长 AB为 厘米.【例2】如图，点P为圆O弦AB的中点，PC1OA,垂足为C,求证：PA，PB = AC OA【例3】如图，AB是|_|0的直径，弦CD和AB的交角/APC =30，BP=1cm, AP=5cm,则CD =考点二：垂径定理与方程思想的结合【例4】如图，圆弧形桥拱的跨度 AB=12米，拱高CD =4米，则拱桥的半径为CA D B【例5】如图，半径为2的圆内有两条互相垂直的弦 AB和CD,它们的交点E到圆心O的距离等于1,则AB2 +CD2 =考点三：图形与圆心位置的不确定性【例6】UO的半径是5, AB、CD为UO的两条弦，且 A

24、B/CD, AB=6, CD =8 ,求AB与CD之间的距离.【例7】在半径为 夜的O中，弦AB、AC的长分别为2和76 ,则NBAC的度数为 考点四：垂径定理的实际应用【例8】某地有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度为7.2米，拱顶高出水面 2.4米，现有一艘宽3米，船舱顶部为长方形并高出水平面 2米的货船要经过这里，此货船能顺利通过这座拱桥吗?考点五：三角形的外接圆【例9】若三角形的三边长为 3, 3, 3右，其外接圆的面积为（）A. 9冗B. 9nC. 12nD.无法确定2【例10】等边三角形的外接圆半径为6 cm ,则此三角形边长为 考点六：圆的对称性【例11如图，AB是O的直径，AC的度数

25、为60 BE的度数为200 ,且NAFC = / BFD,/AGD =/BGE ,则/FDG的度数为 B【例12】已知：如图， MN是。0的直径，点A是半圆上一个三等分点，点B是AN的中点，P是MN上一动点，。的半径为1,则PA + PB的最小值是 .考点七：等量关系定理（圆心角、弧、弦、弦心距关系定理）【例13如图，在圆O中，AB=AC, D为AB的中线，E为AC中点，/ODE =301则/DOE =AD O EC【例14如图所示，在圆 O中，AB=CD , AB、CD交于点P ,试探究PA与PD间的数量关系【例15如图，AABC中，NA=60、圆P与 MBC各边相交，且EF =GH = M

26、N ,则NBPC的度数为考点八：垂径定理与等量关系定理的综合应用【例16如图所示，C为AB中点，OA_LCD于M , CN _L DB于N ,且BD为直径，若ON =a ,求CD的长度【例17如图，已知圆 O的弦CD垂直于直径求证： MEBCBD若CE =3、CB =5 ,求DE的长考点九：圆周角定理及推论的应用【例18如图，AB为。O直径，CD为弦,AB_LCD,如果ZBOC = 70S,那么/A的度数为（）A. 70B. 35C. 30D. 20【例19】A. O【例20】如图，|_|O是ZABC的外接圆/ABO=50。，则/ACB的度数是【例21】AB为|_|O的直径，它把圆分成上、下两

27、个半圆，从上半圆C 作弦 CD _L ABNOCD的平【例22】考点十【例23】【例24】考点斗【例25】（不包括 A、B ）移动时A.到CD的距离不变DB随C点的移动而移动如图所示，AD为锐角求证：.BAD ZCAF圆内角与圆外角度数的求法如图，O的弦AD、BC如图，LlO的弦AC、BD的延长线交于点 E , AB的度数为圆内接四边形的性质如图求证：AC2 =BD BE则NAEB的度数为则/AEB的【例26】圆内接四边形是一平行四边形，且一边长为褥，面积为3J2,则该圆的面积为（）A.7：B.£-：C.9 二D.3.3-：考点十二：点和圆的位置关系【例27|_|0中，平面内一点 P

28、到圆的最大的距离为 5 cm,最小距离为3 cm,求此圆的半径【例28如图，在 RtAABC中，ZACB=90- AC=6、AB=10, CD为斜边 AB上的中线，以 AC为直【例29】径作O ,设线段A.点P在O内C.点P在O外CD的中点为P,则P与|_|0的位置关系是（）B.点P在O上D.无法确定如图，BD、CE为 MBC的两条高，求证:CB、 C、 D、考点十三：直线和圆位置关系的判定【例30】在RtMBC中，ZC =90% AC =3 cm , AB = 5 cm ,以点C为圆心，2 cm为半径的圆和 AB的位置关系是【例31圆O半径为6 cm , P在直线l上，且OP=6 cm ,则

29、直线l与圆O的位置关系是 考点十四：切线的性质及判定【例32如图，直角梯形 ABCD中，/A=/B=90©, AD/ BC , E为AB上一点，DE平分/ADC , CE平分/BCD, AB为|_|O直径，求证：|_|0与CD相切。【例33】【例34】如图，等腰三角形 MBC,以腰AB为直径作O交底边BC于点P , PE_LAC于E , 求证：PE为圆O的切线OFA E【例35】如图，AB为圆O的直径，BC _LAB于B点，连接OC交O于点E ,弦AD /OC，弦DF _LAB于点G求证：点E为BD的中点求证：CD为圆O的切线若sin/BAD =4 ,圆O半径长为5 ,求DF的长 5

30、考点十五：切线长定理?考点说明：切线长定理的考查方式多以选择和填空为主，如涉及三角形内切圆等问题。【例36如图，已知 AB、BD、CD分别切LlO于F、E、M, AB/CD ,则/BOD =A F BO【例37如图，AE、AD、BC分别切UO于E、D、C M DF ,若AD =20 ,则 MBC的周长为DOAE C如图，圆O与矩形ABCD的边AD、AB、BC分别相切于点 E、F、G ,点P为EG上的一点,考点十六：三角形的内切圆【例38】已知RUABC中，/C=90>, AC =6 , BC=8,则 MBC的内切圆半径为 考点十七：圆与圆的位置关系【例39若两圆的半径分别是 3 cm和4 cm,圆心距为7cm,则这两圆的位置关系是（）A.内切B.相交C