双曲线的标准方程教案

1、课题:2.3.1双曲线的标准方程【教学目标】：1 .知识与技能掌握双曲线的定义，标准方程，并会根据已知条件求双曲线的标准方程.2 .过程与方法通过设置有关拉链拉锁轨迹的问题，引导学生类比椭圆的定义，引出双曲线的定义，并通过类比推导出双曲线的标准方程 .3 .情感、态度与价值观通过本节课的学习，增强学生类比推理的能力，激发学生的学习兴趣。 通过学习，学生学会思考问题、分析问题、解决问题，体会数学在生活中无处不在。【教学重点】：双曲线的定义、标准方程及其简单应用【教学难点】：双曲线标准方程的推导【授课类型】：新授课【课时安排】：1课时.【教 具】：多媒体、实物投影仪【教学过程】：1 .情境设置我们

2、知道，数学问题来源于生活，同时服务于生活，我们这节课就从一个问题出发，来进行实践研究，下面请看问题。问题1 :将拉链的下端分别固定在Fi, F2上，拉动拉锁，若把拉锁看着一个动点M的话，动点M满足什么几何条件？ M的轨迹是什么？问题2 :在问题1中，若将拉链的右支截去 5cm后重新固定在F2处，拉动拉锁，此时动点 M满足什么几何条件？此时动点 M的轨迹是一条什么样的曲线呢?问题3:在问题1中，若是将拉链的左支截去5cm后重新固定在F1处，拉动拉锁，此时动点M又满足什么几何条件？此时动点 M的轨迹又是什么样的一条曲线呢?问题4:若把这两条曲线看作是同一个动点M形成的轨迹，此时动点 M满足的几何条

3、件又是什么呢？2 .理论建构1 .双曲线的定义引导学生概括出双曲线的定义：定义：平面内与两个定点 Fi、F2的距离的差的绝对值等于常数(小于<|F1F2| )的点轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做双曲线的焦距。(投影)概念中几个关键词：“平面内”、“距离的差的绝对值”、“常数小于ff2” .2 .探究：现在我们可以用类似求椭圆标准方程的方法来求双曲线的标准方程，请学生思考、回忆椭圆标准方程的推导方法，随即引导学生给出双曲线标准方程的推导(教师使用多媒体演示)(1)建系取过焦点Fi、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系。(2)设点设M

4、 (x, y)为双曲线上任意一点，双曲线的焦距为2c (c>0),则Fi ( c, 0)、F2(c, 0),又设点 M与Fi、F2的距离的差的绝对值等于常数2a (2a<2c).(3)列式由定义可知,双曲线上点的集合是 P=M|MF i| |MF明=2 a.即：x!(x + c) +y2 -(x-c) +y2 = 2a,(4)化简方程师生共同化简，整理得：T(x+cf +y2 -<(x-c2 +y2 = ±2a移项两边平方得 222cx - a - -a x - c y两边再平方后整理得t22 v 22 22/22 -a x -a y =a c -a由双曲线定义知2

5、cA 2a 即 ca,. c2a2>0,设 c2a2=b2(b>0)22代入上式整理得J-Yy=1(a 0, b 0)a b从上述过程可以看到，双曲线上任意一点的坐标都满足方程，有推导过程可逆知，以方程的解为坐标的点到双曲线两个焦点的距离之差的绝对值为2a,由此，方程是曲线的方程，这个方程叫做双曲线的标准方程，它所表示的双曲线的焦点在x轴上，焦点是Fi (-c, 0)、F2 (c, 0)。思考：双曲线白焦点Fi (0, c)、F2 (0,c)在y轴上的标准方程是什么 ？22学生得到：双曲线的标准方程：与斗=1,依>b >0).a b练习：22(1)a-匕=116922L

6、上=136 64思考：1、双曲线的焦点位置和方程形式有什么对应关系？椭圆呢？2、双曲线的标准方程与椭圆的标准方程有何区别与联系三.典型应用例1(参考课本P54例)已知两定点F1(-5,0) , F2(5,0)，动点P满足|PF1 PF2H =6,求动点P的轨迹方程例2.(课本第54页例)已知A,B两地相距800m在A地听到炮弹爆炸声比在B地 晚2s,且声速为340m/s,求炮弹爆炸点的轨迹方程.思考1:若在A, B两地同时听到炮弹爆炸声 ，则炮弹爆炸点的轨迹是什么 ？思考2:根据两个不同的观测点测得同一炮弹爆炸声的时间差，可以确定爆炸点在某条曲线上，但不能确定爆炸点的准确位置.而现实生活中为了

7、安全，我们最关心的是炮弹爆炸点的准确位置，怎样才能确定爆炸点的准确位置呢？四.课堂练习：1.求适合下列条件的双曲线的标准方程:(1)焦点在x轴上,a=4,b=3;(2)焦点为(0,-6),(0,6)且经过点(2,-5).五.课堂小结：22双曲线的两类标准方程是二占=1(a>0,bA0)焦点在x轴上，a2b22 2-y2 -xy =1(a >0,b A0)焦点在y轴上，a,b,c有关系式c2 = a2 + b2成立，且 a ba>0, b>0, c>0*其中a与b的大小关系：可以为a = b,a < b, a a b*本节课主要是学习了双曲线的定义及其标准方程，并运用双曲线的定义及其标准方程解决问题，体会双曲线在实际生活中的一个重要应用.其实全球定位系统就是根据例2这个原理来定位的.六.课外作业学会学习，学会思考6P61 : A组 2、5、B 组 2课后探究2:（参考课本 P55探究）如图2.