固体物理复习试题答案完整版

1、简答题1.晶格常数为a的体心立方、面心立方结构，分别表示出它们的基矢、原胞体 积以及最近邻的格点数。（答案参考教材P7- 8）a-i =-(i j -k)1a3,最近邻格点数：822(1)体心立方基矢：支2 =a(-i + j + k),体积:2a3 =-(i - j k)2a :i =-（i j）2 a1c （2）面心立方基矢：£2=（j+k）,体积：- a ,取近邻格点数：1224a：3 =3（k i） I!2 .习题1.5、证明倒格子矢量G =%E +h2&+h3b3垂直于密勒指数为（h1h2h3）的晶面系。证明:因为CA =电一二CB二巴h1h3h23 G = h1b

2、lh2b2 h3b3h3利用ai bj =2叫,容易证明CA = 0CB =0所以，倒格子矢量G =%> +h2b2 + h3b3垂直于密勒指数为（h1h2h3）的晶面系。3 .习题1.6、对于简单立方品格，证明密勒指数为（h,k,l）的晶面系，面间距d满足：d2 =a2/（h2 +k2 +l2）,其中a为立方边长；,I解：简单立方晶格：a1 _L a2 ,L a3,4=at a2 = aj, a3 = akaa. a0才 a a.“ a a由倒格子基矢的定义：4=2n-，b2=2nHa#*, b3 = 2兀凸月*ai a2 a3a1 a2 a3a &2 a3倒格子基矢：bl =

3、Z，b2 = j,，3 = Lk aaa d2n 42盯二2打4倒格子矢量：G=hb1十虑十成，G = hf十k j + l k a a a2二 _1晶面族(hkl)的面间距:d 二Gl (h)2 (k)2 (l)2a a ad22a二 222-(h k l )4 .习题1.9、画出立方晶格(111)面、(100)面、(110)面，并指出(111)面 与(100)面、(111)面与(110)面的交线的晶向。解:(1)、(111)面与(100)面的交线的 AB, AB平移，A与。点重合，B点位矢: IIRb = -aj ak ,(111)面与(100)面的交线的晶向TB = -aj+ak,晶向指

4、数0彳1。(2)、(111)面与(110)面的交线的AB,将AB平移，A与原点O重合，B点位矢: &=-a，+aj, (111)面与(110)面的交线的晶向lB = -aF+aj,晶向指数110。5 .固体中基本结合类型有哪些？原子之间的排斥作用取决于什么原因？(1)基本类型：离子性结合，共价结合，金属性结合和范德瓦尔结合四种基本 形式(2)相邻的原子靠得很近，以至于它们内层闭合壳层的电子云发生重叠时，相 邻的原子间便产生巨大排斥力.也就是说，原子间的排斥作用来自相邻原子内 层闭合壳层电子云的重叠.(答案参考教材P49)6 .什么是声子？声子就是指格波的量子，它的能量等于力产q 0在晶

5、体中存在不同频率振动的模式，称为晶格振动。晶格振动能量可以用声子来描述，声子可以激发，也可以湮灭。(答案参考教材P92)7 .对于一维双原子链，在第一布里渊区内绘出色散关系VW-K示意图，并说明光学模式和声学模式所反映的物理意义。(答案参考教材P95- 97)解：(1) 一维双原子链，在第一布里渊区内绘出色散关系 W-K示意图如下上面线条表示光学波，下面线条表示声学波。(2)当波矢q很小时，w与q的关系类似于声波，此格波也可用超声波来激发， 因此称为声学波，而离子晶体中的频率为w的格波可以用光波来激发，而且晶体 有的光学性质与这一支波有关，故称为光学波。8 .试用能带论简述导体、绝缘体、半导体

6、中电子在能带中填充的特点。导体：除去完全充满的一系列能带外， 还有只是部分的被电子填充的能带， 后 者可以起导电作用，称为导带；绝缘体：电子恰好填满最低的一系列能带，再高的各能带全部都是空的，由于 满带不产生电流，所以尽管存在很多电子，并不导电；半导体：由于存在一定的杂质，使能带填充情况有所改变，使导带中有少数电 子，或满带中缺了少数电子，从而导致一定的导电性，即使半导体中不存在任何 杂质，也会由于热激发使少数电子由满带热激发到导带底产生本征导电.(答案参考教材P250- 254)9 .请问德拜模型的基本假设是什么？基本假设：以连续介质的弹性波来代表格波，晶体就是弹性介质，德拜也就 是把品格当

7、做弹性介质来处理的。(答案参考教材P126- 129)10 .晶体由N个原子组成，试求出德拜模型下的态密度、德拜频率的表达式3二 2 . N 1/3态餐'度：gg)=0 ,频率表达式：8m=C6n (-)232二2 C3答案参考教材P127 12911.简述Bloch定理，该定理必须采取什么边界条件？(答案参考教材 P154157)(1)当势场具有品格周期性时，波动方程的解 中具有如下性质：Rr+R)=eikW(r),其中k为一矢量，此式就是布洛赫定理。它表明：当平移品格矢量Rn时，波函数只增加了位相因子 eikRno(2)边界条件：(r) = 1- (r Ni： i)'(r)

8、 = ' (r N2： 2)其中Ni,山，N3为沿%，口2方向的原胞数，总的原胞N=Ni? N2? N3二、证明or计算题1.已知某晶体中相距为r的相邻原子的相互作用势能可表示为：U（r） = -=+上，其中a、P、m>n都是>0的常数，求： r ra）平衡时两原子间的距离；b）平衡时结合能；思路参考教材P53 54解：（1）求平衡间距ro由du(r)r *dr结合能：设想把分散的原子（离子或分子）结合成为晶体，将有一定的能量释放出来，这个能量称为结合能（用 w表示）（2）求结合能w （单个原子的）题中标明单个原子是为了使问题简化，说明组成晶体的基本单元是单个原 子，而非原

9、子团、离子基团，或其它复杂的基元。显然结合能就是平衡时，晶体的势能，即 Umin11即：W =-U （r0） =-（ +二-二）（可代入ro值，也可不代入） 22 r0m ron2.已知N个质量为m,间距为a的相同原子组成的一维原子链，（1）推导其色散关系 试绘出整个布里渊区内的色散关系，并说明截止频率的意义。 试求出它的格波态密度函数g（），并作图表示。2解. m n （ n十 n）（ nnT）（ n 力n-1 2 n）设方程的解，=Aeiafaq,代回方程中得到：2CO”1.cosaq 上叫aq),一- aq sin 2(2)(D.0，截止频率范围以外的q值并不能提供其他不同的波，q的取值

10、范围称为布里渊区。(3) g(=/。2,代入。即可得出。2二2 C3答案参考教材P82 87习题4-3.电子在周期场中的势能函数V(x)=<2一 (x - naf，当na bExEna + b,当(n-1 )a+b m x m na - b其中a = 4b ,切为常数,(1)画出此势能曲线，并求其平均值；(2)用近自由电子近似模型求出晶体的第一个以及第二个禁带的宽带。 解：(I)题设势能曲线如下图所示.SqEs(2)势能的平均值：由图可见，-11aV(x)LV(x) = bV(x)dxla题设a = 4b,故积分上限应为aa=4bHCKJ4 gqV(x)是个以a为周期的周期函数，所以1

11、a -b-b = 3b,但由于在lb,3b区间内V(x)= 0,故只需在4,b区间内积分.这时，n=0,于是1 b、，、,V = V (x)dx =_b2 m-2ab z. 22. . m 2 .2(b -x )dxF bxb 1 3“3xbb 1=- mob2。60OV(x) =V°、m 二 ：；(3),势能在-2b,2b区间是个偶函数，可以展开成傅立叶级数m 二2 2b、，、im,1 b、，、im.Vm cos x,Vm =V (x)cosxdx = V (x)cos xdx2b 2b 02b b 02b2 b_第一个禁带宽度Eg =2Vi ,以m=1代入上式，Eg =三 J0(

12、b2-x2)cos：dx利用积分公式 u2 cosmudu = 当 K mu sin mu + 2cos mu )1 马 sin mu 得 m -mq =曾匚d第二个禁带宽度Eg? =2V2，以m =2代入上式，代入上式 3T2. 2Eg =m(b2 x2)cos 注dx 再次利用积分公式有 Eg = m2 b2 g2b 0b2 二4-3用紧束缚近似求出面心立方金属和体心立方金属中与s态原子能级对应的能带的s(k )函数。解：(1)如只计及最近邻的相互作用，按照紧束缚近似的结果，晶体中SS电子的能量可表示成：Es(k)，s-J。一(£1感Rs位邻在面心立方中，有12个最近邻，若取Rm

13、=0,则这12个最近邻的坐标是: a(1,1,0),a(1,1,0), a(1,1,0), a(1,1,0)2222 a(0,1,1),a(0,1,1),a(0,1,1),a(0,1,1)2222 a(1Q1)a(1,0,1),a(1Q1), a(1,0, 1)22221由于SS波函数是球对称的，在各个方向重叠积分相同，因此J(Rs)有相同I的值，简单表示为J1=J(Rs) O又由于s态波函数为偶字称，即l/)=%*)在近邻重叠积分-J(Rs) = . i*(，_出(仁)v(Rs)r«)dt中，波函数的贡献为正ji>0。于是，把近邻格矢Rs代入Es(Rs)表达式得到:Es(k)

14、J0 - J eRs =近邻-ik一 J1闫一kx %)aa一(kx ky)一(kxAy)2- e 2-ia(ky kz),ky-i ( - ky ' kz )e 2i-( -ky -kz)e 2.a，、-i-( -kx -kz)+ e 2.a5(kx ,；kz)e 2.a-i (kx -kz)e 2,a-i( -kx''kz )e 2%-Jo-2Jiaaaacos- (kxky)cos2(kx - ky)cos2(kykz)cos-(ky - kz)cosa(kz kx) cos(kz - kx)一 2_ll-cos(-l " 1) cos(: - - )

15、= 2cos - cos :s _J0-4Ji (a,a, a, a, a, a,cos- kxcos- kv cos- kv cos- kz cos-kz cos- k2 x2 y 2y 2z 2 z 2(2)对于体心立方：有8个最近邻，这8个最近邻的坐标是:机1),凯向凯而凯1,1)aa a - 一 aa"可。1,1,),即,1),*1,1)Es(k)=飞-J0 f 8J1(cosa kx cosa ky cosakz) 22 y 2习题5-1.晶格常数为a的一维晶体电子能量h2 71E(k) 2(- coskcos2k：)ma 88试求：(1)能带宽度；波矢为k的电子速度；解：

16、(1) E(k) =(3)能带底部和顶部的电子有效质量2(一 - coska - cos2ka) ma 8827,12-coska+ (2cos ka 1)ma2 88'fe2.=2 1( coska 2)2 1 4ma当 ka=(2n+1)冗时,n=0, ±1,工2Emax(k)=2力22 ma2犷当 ka=2nn时，Emin(k)=0 能带宽度=Emax - Emin =ma/c、1 dE(k)1 . 、(2) = (sin ka-一sin 2ka)d dk ma4方2,1= m = m(coska - 一 cos2ka)一非 一当k=0时，带底，m =2m当 k=

17、77;±时，带顶，m* = 2ma3习题6.2 ,习题6.3 ,习题6.46.2在低温下金属钾的摩尔热容量的实验结果为：C = 2.087 +2.57T3求钾的费米温度G和德拜温度D.解：(本题将书上的题目稍微修改了一下设一个摩尔的金属钾有一二台正。23个电子，一摩尔的电子对热容的贡献 .、。当心"2 r与实验结果比较C= 2-087 + 2577 - mJ mol * Kfc. n- ktiTt = 2.08 x 10 _ mJ mol - K2 A/费米温度兀=Ar = 9624 KF ° 2x2.08xl0-i德拜定律G J：'' '

18、飞口5 必与实验结果比较C= 2.087+ 2.57T'3 nil mob K()3 = 157xl(rT" ndimobK 5%德陋度包=(?严=96?若将看成具有球形费米面的单价金属计算以下各量0费密能量和费密温度2）费密球半程3）费密速度4）费密球面的横藏面积却在室温以及低温时电子的平均自由程银质量密度a，= 10.5 g cnr,原子 =107.87p= L6lx|0Q*cw 一7二295Kp = 0.038x- 7 = 20 A：解（1）费密能量和费密温度费需能量%=£（3,内严4=（3不%）n = 0-5-xlO.V,= 0,586x 1 M 107.87m = 9.1Lxl(TJ1Ag力=L05x】(T"，e以=8.821尸 J = 5.5 gy费寄温度 T, =- = 6.4xlOJ K（2）费密球半径£；=8.82xl0-19 J = 1.2x0'%r' （3）费密速度138x10" s(4)费密球面的横截面积S =尔"sin=旌 f sin' 90是后与二轴之间的夹角碎=(3M门产