圆的培优专题(含解答)

1、仅供个人学习参考 圆的培优专题1 与圆有关的角度计算 一运用辅助圆求角度 1、 如图， ABC 内有一点 D, DA= D 吐 DC,若 N DAB= 20。，乂 DAC= 30, 贝 U . BDG. ( . BDG . BAG 100 ) 2、 如图，AE BE DE BO DC,若 Z C= 100。，则 N BAD= . ( 50。) 3、 如图，四边形 ABCD 中 A 吐 AC= AD N CBD= 20。，/ BDC= 30，贝 U 欄题第 2 题 BADr题BACK CAD= 40 +60 =100) 解题策略：通过添加辅助圆，把问题转化成同弧所对的圆周角与圆心角问题，思维更明

2、朗！ 4、 如图， ABCC 中，点 E 为 AB BC 的垂直平分线的交点，若.D= 60， 则.AECT. (. AECT 2 B= 2 D= 120 ) 5、 如图，0 是四边形 ABCC 内一点，OAr 0 吐 OC厶ABCTN ADCT 70。， 则.DAOT DC.(所求=360 - . ADC- A0(r 150 ) &如图，四边形 ABC 冲，.AC AD 90， AD(r 25，贝 U ABCr . (.ABCr AD(r 25 ) 第 4 题第 5 题第 6 题 解题策略：第 6 题有两个直角三角形共斜边，由直角所对的弦为直径，易得到 ACBD 共圆. 二运用圆周角

3、和圆心角相互转化求角度 7、 如图，AB 为。0 的直径，C 为 AB 的中点，D 为半圆 AB 上一点，贝AD(r . 8、 如图，AB 为O0 的直径，CD 过 0A 的中点 E 并垂直于 0A 则 Z ABCr . 9、 如图，AB 为O0 的直径，BC=3AC，贝 AB(r . 第 7 题第 8 题第 9 题 答案：7、45 ; 8、30 ; 9、22.5 ; 10、40 ; 11、150 ; 12、110 解题策略：以弧去寻找同弧所对的圆周角与圆心角是解决这类问题的捷径！ 10、 如图，AB 为O0 的直径，点 C D 在O 0 上，.BACr 50，贝帚 AD(r . 11、 如图

4、，O 0 的半径为 1,弦 AB= 2，弦 ACr . 3，贝帚B0 . 12、 如图，PAB PCD 是 0 的两条割线，PAB 过圆心 0,若 AC =CD，乂 P= 30， 则/ BDC=.(设乙 ADC= x，即可展开解决问题) 仅供个人学习参考 第 10 题第 11 题第 12 题 解题策略：在连接半径时，时常会伴随出现特殊三角形一一等腰三角形或直角三角形或等腰 直角三角形或等边三角形，是解题的另一个关键点！ 圆的四接四边形的外角等于内对角，是一个非常好用的一个重要性质！ 圆的培优专题2与垂径定理有关的计算 1、 如图，AB 是的弦，OD_AB 垂足为 C,交于点 D,点 E 在上，

5、若.BED =30，O 0 的半径为 4,则弦 AB 的长是. 略解：OD_AB,二 A 吐 2AC 且 乂 AC3 90 ， BED= 30， AOG 2 / BED= 60 OAG30，OC= 022,则 AC= 2 3，因此 A 吐 4 3. 2、 如图，弦 AB 垂直于O O 的直径 CD OA= 5, A 吐 6,贝U BO . 略解：直径 CD_ 弦 AB AE= BE= AB=3 0E= ,52 -32 =4，贝U CE= 5 + 4 = 9 I / J / I BC= 92 32 =3 10 第 1 题第 2 题第 3 题 3、 如图，O 0 的半径为2虧，弦 AB 丄 CD

6、垂足为 P, A 吐 8, CD= 6,贝U 0 吐. 略解：如图，过点 0 作 0 巳 AB OF 丄 CC,连接 OB 0D. I 一 T /f 则 BE= AB= 4, DF= CD= 3,且 0B= 0D= 2 5 0E= （2、5）2 -42 =2 , 0F= , （2、5）2 _32 二 11 又 AB 丄 CD,则四边形 OEPF 是矩形，贝U 0F= J22；（師2 =屁 4、 如图，在O 0 内，如果 0A= 8, A 吐 12, A= B= 60，则O 0 的半径为. 略解：如图，过点 0 作 0 吐 AB 连接 0B 贝U AD= A 吐 4,因此，BD= 8, 0D=

7、血 0 吐 ,（4、3）2 82 =4 门. 5、 如图，正 ABC 内接于O 0, D 是O 0 上一点，.DCAF 15 , CD= 10,则 BC= 略解：如图，连接 OC 0D 则乂 OD=N OCD ABC 为等边三角形，则 0C= 0C= 30，二 0D= 0C= 45 仅供个人学习参考 OCD 是等腰三角形，则 0（= 5.2 过点 0 作 0 巳 BC,贝U BC= 2CE= 5,6 6、 如图题第 0 题第径题吐 4, C 为 AB 的中点，E 为 0B 上一点，Z AEC 60。, CE 的延 长线交O 0 于点 D,则 CD= 略解：如图，连接 0C 则 0C= 2 v

8、C 为 AB 的中点，则 OCAB,又.AEG 60 , . OCE= 30 如图，过点 O 作 OF 丄 CD 贝 U OF= OC= 1, CF=y/3，二 CD= 2CM 2/3 7、如图，A 地测得台风中心在城正西方向 300 千米的 B 处， 并以每小时 10.7 千米的速度沿北偏东60的 BF 方向移 动，距台风中心 200 千米范围内是受台风影响的区域. 问：A 地是否受到这次台风的影响？若受到影响，请求 出受影响的时间？ 解：如图，过点 A 作 AC_BF 交于点 C, v . ABM30，贝 U AOA 吐 150 ： 200,因此 A 地会受到这次台风影响； I J I y

9、 如图，以 A 为圆心 200 千米为半径作。A 交 BF 于 D E 两点，连接 AD I 则 DE= 2CD= 2、2002 -1502 =100 7， 所以受影响的时间为100-7“10、_7 =10 (时) 圆的培优专题3圆与全等三角形 1、 如图，O O 的直径 A 吐 10,弦 AO6，ACB 的平分线交O O 于 D,求 CD 的长. 解：如图，连接 AB BD,在 CB 的延长线上截取 BE= AC,连接 DE v Z ACDZ BCD 二 AD= BD 又 N CADZ EBD AO BE CADA EBD( SAS CD= DE NADGN BDE L1 v AB 为OO

10、的直径，贝 U N ACB=N ADB= 90 二 BO 102 -62 =8; ADCb CD* CDBb BDE= 90 ，即 CDE= 90 CDE 是等腰直角三角形且 CE= 14,二 CD= 7.2 2、 如图，AB 是OO 的直径，C 是半圆的中点，M D 分别是 CB 及 AB 延长线上一点，且 MA= MD 若 CM* 2，求 BD 的长. 仅供个人学习参考 解：如图，连接 AC,则 AC* BC, N C* 90。，即 ABC 是等腰直角三角形 过点 M 作 MN/ AD,贝 U NM* MAD 则厶 CMN 也是等腰直角三角形，则 M* 辽 CM* 2 AN(* MB* 1

11、35 , 又 MA* MD N D* N NM* N MAD AMN BMD( AAS BE MNk 2 3、 如图，AB 为。0 的直径，点 N 是半圆的中点，点 C 为AN上一点，NC= . 3. 求 BC- AC 的值. 解：如图，连接 AN BN 则厶 ABN 是等腰直角三角形 在 BC 上截取 BD= AC,连接 DN ANh BN . CANh DBN AO BD ACNP BDN( SAS CNh DN CNAF DNB CNh CNAK ANh ADNK DNh90，即 CND 是等腰直角三角形 CD= 2 NCh ,6， BC- ACh BC BDh CD= . 6 4、 如

12、图，点 A B C 为。0 上三点，AC = BC,点 M 为BC上一点，CE_ AM 于 E， AE= 5，Mh3,求 BM 的长. 解：如图，在 AM 上截取 ANhBM 连接 CN CM. AC =BC，二 ACh BC，又 Ah B ACNP BCM( SAS CNh CM 又 CE 丄 AM NE= Mh 3， BMh ANh AE- NE= 2 5、如图，在O 0 中，P 为 BAC 的中点，PD 丄 CD，CD 交OO 于 A,若 ACh3, ADh 1, 求 AB 的长. :J_ I 解：如图，连接 BP CP,则 BPhCP N B=N C I -卜 过点 P 作 PE 丄

13、AB 于点 E,又 PD 丄 CD Z BEP=N CDP BEPA CDP( AAS BEhCD= 3+1 = 4, PE= PD 连接 AP,贝 U Rt AEPRt ADP(HL),贝 U AE= ADh 1 AB= AE+Bh 5 & 如图，AB 是 O 的直径，MN 是弦，AEMN 于 E, BF_ MN 于 F, A 吐 10, Mh 8. 求 BF AE的值. 解： AE 丄 MN BF 丄 MN 贝 U AE/ BF,： N A= N B 仅供个人学习参考仅供个人学习参考 如图，延长 EO 交 BF 于点 G, 贝 UN AO 吕 N BOG AO= BO AOEA B

14、OG( AAS,贝U OE= OG 过点 O 作 OH_MN FG= 2OH| HN= 4 连接 ON 贝U ON= 5 , OH , 52 一 43 ,贝U BG- AE= FG= 6. 圆的培优专题4圆与勾股定理 1、 如图，O 0 是厶 BCN 的外接圆,弦 AC_BC,点 N 是 AB 的中点,.BNC= 60 , 1 I 求的值. 解：如图,连接 AB 则 AB 为直径，二 BNA= 90 连接 AN,则 BN= AN,则厶 ABN 是等腰直角三角形 I | .駅 F / / 2 BN= AB 又.BAG BNC= 60 , 2 BO V3AB = v6 (方法 2,过点 B 作 B

15、D_CN 即可求解) 2 3 2、 如图,O O 的弦 AC_BD 且 AO BD 若 AD= 2 2 ,求O O 半径. I . ; 解：如图,作直径 AE 连接 DE 贝，ADE= 90 又 AC_BD,贝 U AD 聊 DAG AD 聊 EDB= 90 DAG EDB 贝 U CD 二 BE , /. DE 二 BC , / AC= BD, AC =CD ,贝 U AD 二 BC 二 DE I AD= DE 即厶 ADE 是等腰直角三角形 AE= .2 AD= 4,即OO 的半径为 2 3、 如图,AB 为OO 的直径,C 为OO 上一点,D 为 CB 延长线上一点,且.CA9 45 ,

16、 CE 丄 AB 于点 E , DF 丄 AB 于点 F. (1)求证：CE= EF; (2)若 DF= 2 , EF= 4,求 AC. (1)证：AB 为OO 的直径,NCA9 45。, 则厶 ACD 是等腰直角三角形,即 AO DC 又 CE 丄 AB 贝忖 CAE= N ECB 如图,过点 C 作 CG 垂直 DF 的延长线于点 G 又 CE_AB, DF_AB 则四边形 CEFG 是矩形, AEC DG&90 EF= CG CE/ DG 贝U ECB= CD& CAE 仅供个人学习参考 ACEA DCG( AAS ,贝 U CE= CG= EF仅供个人学习参考 (2)略

17、解：AC= CD= , 42 62 =2.13. 4、如图，AB 为。0 的直径，CD_AB 于点 D, CD 交 AE 于点 F, AC 二 CE . (1) 求证：AF= CF; (2) 若。O 的半径为 5, AE= 8,求 EF 的长 (1) 证：如图，延长 CD 交OO 于点 G,连接 AC 直径 AB 丄 CG 贝 U AG =AC =CE CAE ACG 贝U AF= CF (2) 解：如图，连接 OC 交 AE 于点 H,贝U OC_AE, EFh AFk AE=4 O 卡、.52 -42 =3，贝U CH= 5-3 = 2 5、如图，在O O 中，直径 CD 丄弦 AB 于

18、E, AM BC 于 M 交 CD 于 N,连接 AD. (1) 求证：AD= AN I (2) 若 A 吐 4 2 , ON= 1,求O O 的半径. (1) 证：CD_AB AM BC C+ CNI= C+ B= 90 B= CNIM 又.B= D, AND= CNM D= AND 即 AD= AN (2) 解：直径 CD_ 弦 AB 则 AE= 22 又 AN= AD,则 NE= ED 如图，连接 OA 设 OE= x ,贝 U NE= ED= x 1 OA= OD= 2x 1 x2 (2、2)2 =(2x 1)2,则 x =1 OO 的半径 O 爪 3 圆的培优专题5圆中两垂直弦的问题

19、 1、在O O 中,弦 AB_CD 于 E,求证： AO+ BOG 180 . 证：如图,连接 AC 设 HF= x，则 CF= AF= 4 x 则 x2 22 = (4 -x)2 , 3 3 x = 3，即 HF= 3 2 2 EF= 11 2 仅供个人学习参考 AB 丄 CD 贝 U N CA 聊 N ACD= 90。 又.AO4 2 ACD BOG 2 BAC . AODT BOG 180 . 2、在O O 中，弦 AB_CD 于点 E,若O O 的半径为 R,求证：AC + BD= 4 氏. 证： AB 丄 CD 贝 U N CABZ ACG 90。 如图，作直径 AM 连接 CM 贝

20、 U ACG ACDK DCG 90 . CAG . DCM /. BC 二 DM /. CM 二 BD , CMG BD M - =“ AC+ cM= AM AC+ BD= 4 氏. 3、在O O 中，弦 AB_CD 于点 E,若点 M 为 AC 的中点，求证 ME BD. 证：如图，连接 ME 并延长交 BD 于点 F AB 丄 CD 且点 M 为 AC 的中点 ME 为 Rt AEC 斜边上的中线 AMG ME AZ A=N AEMG Z BEF “ . I. - .1 厂I I 又乙 B=N C, N A+ N C= 90 | i z BEF+N BG90。，即 N BFE= 90 A

21、 M 巳 BD. 4、在O O 中，弦 AB_CD 于点 E,若 ONBD 于 N,求证：ONG丄 AC. 2 证：如图，作直径 BF,连接 DF, 则 DF_BD,又 ONBD, ON/ FD,又 O 吐 OF 1 ONG - DF 2 连接 AF,贝 U AF AB,又 CD_AB 仅供个人学习参考 AF/ CD仅供个人学习参考 AC 二 FD，贝 U AO FD 1 0N= AC 2 5、在O 0 中，弦 AB_CD 于点 E,若 AC= BD, ON BD 于 N, OM AC 于 M. (1) 求证：M 日/ON (2) 求证：四边形 OME 为菱形. 证：(1)如图，延长 ME 交

22、 OD 于点 F v OMAC 则点 M 为 AC 的中点 AB 丄 CD 贝 U ME 为 Rt ACE 的斜边上中线 AM= EM :.厶 A=N AEM Z BEF 又 N B=N C, N A+N C= 90 s f y/L ” j. _ J B+ BEF= 90 ，贝 U BFE= 90 MF_BD 又 OMBD MF/ ON (2)由(1)知 MF/ ON 同理可证 OM/ NE 四边形 OME 是平行四边形 v AC= BD 二 OM= ON 四边形 OME 为菱形. 圆的培优专题6圆与内角(外角)平分线 一圆与内角平分线问题往往与线段和有关，实质是对角互补的基本图形 1、 如图

23、，O OABC 的外接圆，弦 CD 平分.ACB ACB= 90 . 求证：CA+ CB= 2 CD. 证：如图，在 CA 的延长线上截取 AE= BC，连 DE, AD BD v CD 平分 ACB 二 AD= BD 又 DAE= DBC AE= BC DAEA DBC( SAS CD= DE 又 ACD= 45 CDE 是等腰直角三角形，贝 U CA+ CB= CE= 2 CD. 仅供个人学习参考 2、 如图，O OABC 的外接圆，弦 CD 平分.ACB ACB= 120，求的值. 解：如图，在 CA 的延长线上截取 AE= BC,连 DE AD BD v CD 平分 N ACB 二 A

24、D- BD 又.DA DBC AE= BC DAEA DBC( SAS CD DE 又 AC 60 CDE 是等边三角形 CD CE= CA BC,即=1 3、如图，过 O M(1,1)的动圆O Oi交y轴、x轴于点 A、B,求 0 阳 OB 的值. 解：如图，过点 M 作 MHy轴，MF 丄 x 轴，连 AM BM 由 M( 1，1)知：四边形 OFM 是正方形 OE= OF-4，EM= FM 又厶 MBN MAE AEMmBFM(AAS，贝U AE= BF OA OB= AE+ 0 曰 OF- BF- 8. 二圆中的外角问题往往与线段的差有关 4、 如图，O OABC 的外接圆，弦 CP

25、平分 ABC 的外角.ACQ AC 90 . 求证：(1) PA = PB ； (2) AC- BC V2 PC. 证：(1)如图，连接 AP,则 N PCQZ PAB 又乙 PC3 N PCA 则必 PAB= N PCA PA = PB (2)连接 BP,由(1)得，PA PB 在 AC 上截取 AD BC,连 PD 又 N PAD- N PBC PADAPBC(SAS，贝U PD PC 又.PC 45，贝 PCD 是等腰直角三角形， AC-BC C 2 PC. 5、 如图，O OABC 的外接圆，弦 CP 平分 ABC 的外角 N ACQ Z AC 1201 求的值. 解：如图，在 BC

26、上截取 BD AC，连 AP BP DP v PC PC( PBA AP BP,又 CA DBP 仅供个人学习参考 CAPADBP(SAS,贝U CP= DP 又 AC120，二 PCD 30 , 6 如图，A(4,0) , B(0,4) , O Oi经过 A B 0 三点，点这 P 为OA上动点(异于 O A) 求的值. 解：如图，在 BP 上截取 BOAP A(4,0)，B(0,4)，则 0A= 0B= 4 又 N OAPZ OBC OAPA OBC( SAS I OC= OP 且 N CO 圧 N AOB= 90 ，则=Q I* 圆的培优专题7与切线有关的角度计算 - r . J I y

27、 一切线与一个圆答案：1、70 ; 2、20 ； 3、80 ； 4、120 ； 5、130 ； 6、45 1、 如图，AD 切OO 于 A，BC 为直径，若.ACB= 20，贝 CA9 . 2、 如图，AP 切OO 于 P，PB 过圆心，B 在OO 上，若.AB 圧35，贝、APB=. 3、 如图，PA PB 为OO 的切线，C 为 ACB 上一点，若.BCA= 50，贝, APB=. 第 1 题第 2 题第 3 题第 4 题 4、 如图，PA PB 为OO 的切线，C 为 AB 上一点， 第5题 若.BCA= 150，贝 U . APB=. 5、 如图，点 0 是厶 ABC 的内切圆的的圆心

28、，若 BAG 80 ，贝 U . BOG . 6 如图，PA 切OO 于 A,若 PA= AB PD 平分 -APB 交 AB 于 D,贝,ADG (设元，列方程) 第6题 二切线与两个圆 7、 如图， 两同心圆的圆心为 O,大圆的弦 AB AC 分别切小圆于 D E,小圆的 DE 的度数为110， 则大圆的 BC 的度数为. 8、 女如图7题第)和题第2交于 A、B 两点，且点 O 在O O 上，若 N D= 110，则乂 C= 9、 如图，O O和O Q外切于D, AB过点D,若Z AOD= 100， C为优弧BD上任一点， 则.DCG.答案：7、140 ； 8、40 ; 9、50 (过点

29、 D 作两圆的切线) 圆的培优专题8与切线有关的长度计算 1、如图，在O O 的内接 ACB 中，.ABC= 30 , AC 的延长线与过点 D 的切线 BD 交于 点仅供个人学习参考 D,若。0 的半径为 1, BD/OC 贝U CD= . (CD=启,3) 2、如图 ABC 内接于。0, AB= BC 过点 A 的切线与 0C 的延长线交于 D, . BAG 75 , CD= ,3，贝U AD= . (AD= 3) 3、 如图，。0BCD 勺外接圆，过点 C 的切线交 BD 的延长线于 A, . ACB= 75 , .ABC= 45，则的值为.(二 2 ) 4、 如题第 AB 为第50 的

30、直径题弦 DC 交 AB 于 E,过 C 作O0 的切线交 DB 的延长线于 M 若 AB= 4 , . ADC= 45 , . M= 75 ,贝U CD= . ( CD= 2.3 ) 5、 如图,等边 ABC 内接于5 0, BD 切。0 于 B , AD_ BD 于 D, AD 交5 0 于 E , O 0 的半径为 1,则 AE=. (AE= 1) 6 如图, ABC 中,.90 , BO 5, O 0 与 ABC 的三边相切于 D E、F ,若O 0 的 r , | y 半径为 2,则厶 ABC 的周长为.(C= 30) 7、如图, ABC 中,.C= 90 , AO 12 , BO

31、16，点 0 在 AB 上 , O 0 与 BC 相切于 D, 连接 AD 贝U BD=.(示：过 D 作 DIAB,设 CD= DE= x, BD= 10) 第 5 题第 6 题 第 7 题 解题策略：连半径，有垂直；寻找特殊三角形；设元，构建勾股定理列方程 圆的培优专题9圆的切线与垂径定理 1、如图,AB 为O0 的直径,C 为 AE 的中点,CD_BE 于 D. (1) 判断 DC 与O 0 的位置关系,并说明理由； (2) 若 DC= 3, O 0 的半径为 5 ,求 DE 的长. 解：(1) DC 是O0 的切线,理由如下： 、K 丨 I 如图，连接 0C BC,贝，ABC CBD

32、0CB 0C/ BD 又 CD_ BE 0C_CD 又 0C 为O 0 的半径 DC 是O0 的切线 (2)如图,过 0 作 0F_BD,则四边形 0FD(是矩形,且 BE= EF 0F= CD= 3 , DF= 0C= 5 , EF= BF=、52 _32 =4 , / DE= DF- EF= 1 2、如图,AB 为O0 的直径,D 是 BC 的中点,D 巳 AC 交 AC 的延长线于 E, O 0 的切线 BF 交AD 的延长线于点 F. 仅供个人学习参考 (1)求证：DE 为OO 的切线； (2)若 DP 3,0 0 的半径为 5,求 DF 的长. (1) 证：显然，.CAD OAD O

33、DA OD/ AE 又 DE_AC, OD_DE 又 OD 为O O 半径 DE 为OO 的切线 (2) 解：如图,过点 O 作 OGAC,贝U OGD 是矩形,即 OG= DE= 3 , DE= OD= 5 - AG 52 -34 ,贝U AE= 5 + 4 = 9, 、92 32丄 3、一 10 连接 BD 贝U BD_AD BD= ,：102 -(3 IO)2 =：10 设 DF= x ,则 x2 ( 10)2 = BF= (x 310)2 -102 , DF= x J 10 . 3 I -t - : i _i 3、如图,四边形 ABCM 接于。O, BD 是OO 的直径,AE_CD 于

34、 E, DA 平分.BDE. (1) 求证：AE 是OO 的切线； (2) 若 AE= 2 , DE= 1,求 CD 的长. (1) 证：如图,连接 OA 贝匚 ADE ADO OAD OA/ CD 又 AE_CD O 仁 AE 又 OA 为O O 的半径 AE 是OO 的切线 (2) 解：如图,过点 O 作 OF_CD 则 CC= 2DF,且四边形 OFEA1 矩形 EF= OA= OD OF= AE= 2 1 . :、.、#I 设 DF= x ,贝 U OD= EF= x 1 2 2 2 x 2 =(x 1) , X =1.5 CD= 2CF= 2x =3 4、 如图,AE 是OO 的直径

35、,DF 切OO 于 B , AD_ DF 于 D, EF_ DF 于 F. (1) 求证：EF+ AD= AE (2) 若 EF= 1 , DF= 4,求四边形 ADFE 勺周长. (1)证：如图,连接 CE 则四边形 CDFE 是矩形 连接 OB 交 CE 于点 G, 仅供个人学习参考 DF 是OO 的切线 OBDF, OACE BG= CD= EF, OG/ AC,又 AO= OE仅供个人学习参考 AC= 20G EF+ AD= AC CM EF= 20Gb 2BG= 20B= AE. (2)解：显然 CE= DF= 4, CD= EF= 1 设 AO x，则 AD= x 1 , AE=

36、x 2 2 2 2 x 4 =(x 2),则 x = 3，则 AO 3, AD= 4, AE= 5 四边形 CDFE 的周长为 14. 圆的培优专题10 圆的切线与勾股定理 1、如图，已知点 A 是。0 上一点，半径 0C 的延长线与过点 A 的直线交于点 B, 0C= BQ 1 AO 丄 0B. 2 (1)求证：AB 是O0 的切线；(2)若.ACD= 45 , 0C= 2,求弦 CD 的长. (1)证：0C= 0B -i j I f I AC 为 0AB 的 0B 边上的中线，又 AO 1 0B 2 0AB 是直角三角形，且 0A490，又 0A 为。0 的半径 AB是。0 的切线 (2)

37、解：显然，04 0C= AC 即厶 0AC 是等边三角形 A0G 60，二 D= 30 如图，过点 A 作 AE 丄 CD 于点 E, Z ACD= 45。，.山 AEC 是等腰直角三角形， 二 AE= CE 2 AC= 2 0C= 2 , DE= 3 AE=、6 2 2 CD= .6 *2 2、如图，PA PB 切O0 于 A B,点 M 在 PB 上，且 0M/AP, MN AP 于 N. (1)求证：0M= AN (2)若O 0 的半径r=3 , P 心 9,求 OM 的长. (1) 证：如图，连接 OA T PA 为O 0 的切线， O2AP,又 MNAP OA/ MN 又 OM/AP

38、, 四边形 OANI 是矩形，即 0M= AN (2) 解：如图，连接 OB T PB PA 为。0 的切线 OBM- MNP 90 , PB= P 心 9 / OMb N P,又 09 OA MN 二 OBIWA MNP( AAS 仅供个人学习参考 OMkPM 贝 U 32+ OMb( 9-OM 2,二 OMb5 3、如图，AB 为 OO 的直径，半径 OC_AB D 为 AB 延长线上一点，过 D 作。O 的切线， E 为切点，连接 CE 交 AB 于 F. (1)求证：DE= DF; (2)连接 AE 若 OF= 1，BF= 3,求 DE 的长. (1) 证：如图，连接 OE PE 为

39、OO 的切线， OE_DE 又 OC_AB C+ CFO= OEFK DEF= 90 又.C= OCF CFO= DFE DEFb . DFE 二 DE= DF I 1 -L F / (2) 解：显然，OE= OB= OF+ BF= 4 设 BD= x，贝 U DE= DF= x 3，OD= x 4 屛：.严 、 、 I !._/ / i / i8 h / - , l / / 2 2 2 (x 3) 4 =(x 4)， x = 4.5 I /、 J h - DE= 7.5 L_ I ? / J y 、./2 AB= 2j2 = DM 又 OM= OB OD= OD ODIWODB(SSS OB

40、_BD 又.ABD= 45 . OAB= 45，即 OAB 是等腰直角三角形 OA= AB=、2 2 4、如图，在 ABC 中, AO BC . ACB= 90，以 BC 为直径的O O 交 AB 于 D. (1)求证：AD= BD (2)弦 CE 交 BD 于 | 若 SAB3SBCM，求. (1) 略证：连接 CD 则 C 吐 AB 又 ACk BC,厶 ACB= 90，二 AD= BD (2) 解：如图，连接 BE,过 A 作 AN_CE 于 N ABC =3S_BCM， ACM = 2S BCM ANk 2BE v . CANk BCE AO BC, ANG CEB ANCA CEB(

41、 AAS BE= CN CE= AN I 设 CNk BE= x，贝 U CE= ANk BE= 2x , BC= 5x，二 AB= x2 BCk lox ,即卩 BD=x 2 10 4 1、如图，在 ABC 中, A 吐 AC 以 AB 为直径的。O 与边 BC 交于 D,与边 AC 交于 E, 过 D 作 DF_AC 于 F. (1)求证：DF 为OO 的切线；(2)若 DE= 5 , A 吐 5,求 AE 的长. (1)证：如图，连接 AD OD v AB 为OO 的直径， AD 丄 BC 又 AB= AC OAk OB EAD= DAk ADO OD/ AC 又 DF_AC圆的培优专题

42、12 圆的切线与等腰三角形 OD_DF,又 OD 为O O 的直径 DF 为OO 的切线 (2) 解：T . EAB. DAB 二 BD= DP、5，又 A 吐 5,二 AD=、5(. 5) 2.5 T DFX AC= ADX CD,二 DF= 2 , CF= EF= . ( 5)5-22 =1 , AE= 5 2= 3 2、 如图,在厶 ABC 中 , A 吐 AC 以边 AB 为直径作O O,交 BC 于 D,过 D 作 DI AE. (1)求证：DE 是OO 的切线；(2)连接 OC 若.CA= 120 ,求的值. (1) 证：如图,连接 AD, OD 贝U AD 丄 BC 又 A 吐

43、AC, A CD= BD,又 AO= OB OD/ AC 又 DE_AE A OD_ DF, DE 是O O 的切线； (2) 解：如图,过点 O 作 OF 丄 BD 于 F ,贝U BD= 2BF T AB= AC . CA= 120 , . B= 30 “ i j ； / r 设 OF= x ,则 BF= 3x , OB= 2x , AC= A 吐 4x , CD= BD= 2、,3x,贝U CF= 3 3x r L # 由勾股定理，得 O(= 2 7x,由面积法，得 DE= 3x , = 21 . 14 3、 如图,A 吐 AC 点 O 在 AB 上 , O O 过点 B ,分别交 BC

44、 于 D AB 于 E, DF_ AC. (1)证：DF 为OO 的切线；(2)若 AC 切O O 于 G O O 的半径为 3 , CF= 1,求 AC. (1) 证：如图,连接 OD T A 吐 AC, OB= OD N B= N C= ODB OD/ AC 又 DF 丄 AC I-.-. O 吐 DF,又 OD 为O O 的半径 DF 为OO 的切线 (2) 解：如图，连接 OG T AC 为O O 的切线 OGAQ 又 OD_DF, DF 丄 AC, O(= OD 四边形 ODF(是正方形,即 OB= O(= GF= 3 设 AG= x ,贝U AB= AC= x 4 ,贝U AO=

45、x 1 x2 33 =(x 1)2 , x =4 ,则 AC= 8 4、 如图,CD 是OO 的弦,A 为 CD 的中点,E 为 CD 延长线上一点,EG 切O O 于 G. (1)求证：KG= GE (2)若 AC/ / EG = , AK= 2J10 ,求O O 的半径. 仅供个人学习参考仅供个人学习参考 (1) 证：如图，连接 OG OA 交 CD 于点 F A 为 CD 的中点，EG 是O O 的切线 0A 丄 CD OGGE . OAQ AKF= 0G 件 EGK 又.OA& OG, AKF= EKG EG EKG KG= GE (2) 解：AC/ EG 二 CAK EGK

46、又 EG EKG CKA CA CKA 二 CA CK 设 CK CA 5x ,贝U DK 3x , / CD= 8x , CF 4x , EG= x AF、(5x)1 2(4x)2 =3x 在 Rt AFK 中，(3x)2 x2 =(2 10)2 , x=2 I I / CE= 8, AE= 6, 设O O 的半径为 R,贝U R 82+( R 6) 2,二 R= 圆的培优专题13 圆与三角形的内心 1、如图，AB 是OO 的直径，AC =CE，点 M 为 BC 上一点，且 CM AC. i / hV _J F * (1)求证：皿为厶 ABE 的内心；(2)若O O 的半径为 5, AE8,

47、求厶 BEM 的面积. (1) 证：如图，连接 CE 则 AC CE= CM CM CEM CE CBE CB+ BE CEA+ AEM AEM BEM 又 ABC CBE 点 皿为厶 ABE 的内心. (2) 解：如图，过点 M 作 MNBE 于点 N,则 MN%A ABE 的内切圆的半径. AB= 10, AE= 8,贝U BE= 102 -86 1 BME 的面积为丄X 6X 2 6. 2 2、如图，O OABC 的外接圆，BC 为直径，AD 平分.BAC 点皿是厶 ABC 的内心. (1)求证：BC 72DM (2)若 DM 5 丘,AB= 8,求 OM 勺长. (1)证：如图，连接

48、BD CD v BC 为直径，AD 平分 BAC 仅供个人学习参考 BE CD,厶 BDC= 90 笃 BC= J CD 连接 CM 则 N ACMk N BCM 厶 DAG N BCD . DM& . ACM DAC= . BCW BCD DCM DM= CD 即 BC=、2 DM (2)解：显然，BC=、2D* 10, A 吐 8,则 AC= 6,且.MA 昌 45 如图，过 M 作 ME_BC 于点 N,作 MF_AC 于点 F,则 ME MF= AF= 2 CF= CE 4,贝U OP 1 OM= 22 12 = .-5. ! 3、 如图，AB 为OO 的直径，C 为OO 上一

49、点，D 是 BC 的中点，DIAB 于 E, I 是厶 ABD .# 的内心，DI 的延长线交O O 于 N. | - - _ _ I X (1)求证：DE 是OO 的切线；(2)若 DB4, CB2,求OO 的半径和 IN 的长. I z (/ I _十1 (1) 证：T D 是 BC 的中点，OA= OD 二厶 CAD= N DA3 N ADO OD/ AE 又 DE 丄 AB OHDE 又 OD 为O O 的半径 DE 是OO 的切线. (2) 解：如图,过点 O 作 OF 丄 AC,则 AF= CF DE 丄 AB OD_DE 四边形 ODE!是矩形,贝U O 亡 DE= 4 I. 设

50、O O 的半径为 R,贝U OA= OD= EF= R, AF= CF= R 2 ( R- 2) 2 + 42=氏, R= 5 , AB= 10 ,如图,连接 BI, AN BN 则 IN = BN= AN= 5 ,2 4、 如图,在厶 ABC 中 , A 吐 AC, I 是厶 ABC 的内心,O O 交 AB 于 E , BE 为OO 的直径. (1)求证：AI 与OO 相切；(2)若 BC= 6 , AB= 5 ,求O O 的半径. (1) 证：如图,延长 AI 交 BC 于点 D,贝U AD_BC, 连接 OI ,贝U OIB= OBI= OBD OI / BC,又 AD_BC AD_O

51、I ,又 OI 为O O 的半径 AI 与OO 相切 MN= 6 8 -10 2 =2 MN= ab a b c 仅供个人学习参考 (2) 显然 BD= 3 , A 吐 5,则 AD= 4 如图，过点 I 作 IF _AB 于点 F,则 BF= BD= 3, AF= 2, IF = ID , 设 IF = ID = x，则 Al= 4x，二 x2 22 =(4 x)2，则 IF = x=3 2 设 O 的半径为 R,则 O 亡 3- R,.( 3-R) 2+() 2=氏，二 R= 圆的培优专题14 圆中动态问题 1、如图，点 P 是等边 ABC 外接圆 BC 上的一个动点，求证 PA= PB+

52、 PC. 证：如图，在 AP 上截取 PD= PC 连接 CD ABC 是等边三角形，.ABC ACB= 60 DPG ABC= 60 PCD 是等边三角形，即 CD= PC v . AC+ BCD= BC+ BCD= 60 :.厶 ACDZ BCP 又 AO BC ACDA BCP( SAS AD= BP PA= AD+ DP= PB+ PC. 2、已知弦 AD 丄 BD 且 AB= 2,点 C 在圆上，CD= 1,直线 AD BC 交于点 E. (1) 如图 1,若点 E 在OO 外，求.AEB 的度数; (2) 如图 2,若 C、D 两点在OO 上运动，CD 的 长度不变，点 E 在O

53、O 内，求.AEB 的度数. 解：(1)如图一 1,连接 OC OD I v AD_BD AB 为OO 的直径，且 A 吐 2 I.; CD= OC= OD= 1,即厶 OCD 是等边三角形 CO 氐 60 CBD= COD=30 AEB= 60 (2)如图一 2,连接 OC OD 同理可得： ACD= 60，二 CBD= COD=30 又 ADB= 90，二 AED= 120 3、已知直线 I 经过O O 的圆心 O,且交O O 于 A B,点 C 在OO 上，且 AO& 30，点 P 是直线 l 上一个动点(与 O 不重合)，直线 CP 与O O 交于 Q,且 QP= QO. 仅供个人学习参考图1 图一 2 仅供个人学习参考 (1) 如图 1,当点 P 在线段 A0 上时，求.OCP 勺度数； (2) 如图 2,当点 P 在线段 0A 的延长线上时，求.OCP 勺度数; (3) 如图 3,当点 P 在线段 0B 的延长上时，求.OCP 勺度数. 解：(1)如图一 1,设.0C 圧 x v 0C= 0Q 则 N 0Q 圧 x 又.A0G 30 , QF Q0 Q0 圧 QP3 x 30 2(x 30 ) x =180 . 0C 圧 x =40 (2)