全等三角形难题2

1、全等三角形复习【知识要点】一、全等三角形1判定和性质一般三角形直角三角形判定边角边（SAS）、角边角（ASA）、角角边（AAS）、边边边（SSS）、具备一般是继续的判定方法斜边和直角边对应相等（HL）性质（1）对应边相等，对应角相等（2）对应中线相等、对应高相等、对应角平分线相等（3）面积相等、周长相等注意：“AAA”与“SSA”是不能作为全等三角形的判定条件的。2证题思路：例1 在中，中线，则边的取值范围是（ ）ABCD例2 一张长方形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸片，再将这两张三角形纸片摆成如下图所示形式，使点、在同一直线上。（1）求证：；（2）若，请找出图中与此条件有关的一对全等三角

2、形，并给予证明。ABCDFEBFCDNMEPA例3 若两个三角形的两边和其中一边上的高分别对应相等，试判断这两个三角形的第三边所对的角之间的关系。并说明理由。ABEDCF例4 如图，点C在线段AB上，且，求的度数。练习1 如图，、分别是锐角和中、边上的高，且，若使，请你补充条件（需要填写一个你认为适当的条件）。ABCDACDEOB1题图2题图2 如图，则等于 。3 如图，把大小为的正方形方格图形分割成两个全等图形，例如图1,。请在下面图中，沿着虚线画出四种不同的分法，把的正方形方格图形分割成两个全等图形。图1画法1画法2画法2画法34 如图，已知和是分别沿着、边翻折形成的，若，的度数为 。AB

3、DCOE5题图ABCED1234题图 ABCDEFO6题图5 如图，已知，下列结论中：；连接，则平分，正确的是（ ）ABCD6 如图，与交于点，于，于，那么图中全等的三角形有（ ）对A5B6C7D87题图ABDC7 如图，把绕点顺时针旋转，得到，交于，已知，求的度数。8 如图，在中，直线经过点，且于，于。（1）当直线绕点旋转到图的位置时，求证：。（2）当直线绕点旋转到图的位置时，求证：。（3）当直线绕点旋转到图的位置时，试问：、有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明。AAABBBCCCDDDEEEMMMNNN图图图8题图9 如图，已知平分，交于，那么 。10题图ABCDEFABCDE

4、9题图ABCD11题图10 如图，是的边上一点，交于点，给出三个论断：；。以其中一个论断为结论，其余两个条件为条件，可作出三个命题，其中正确命题的个数是 。11 如图，在中，是边上的中线，若，则的取值范围是 。12 如图，在中，平分，交的延长线于点，为垂足。则结论：；。其中正确结论的个数是（ ）A1B2C3D413 如图，在四边形中，对角线平分，下列结论正确的是（ ）ABCD与的大小不确定OAPOQMN15题图ABCDEFABDC12题图13题图14 考察下列命题：全等三角形的对应边上的中线、高、角平分线相等；两边和其中一边上的中线（或第三边上的中线）对应相等的两个三角形全等；两个角和其中一角

5、的平分线（或第三个角的平分线）对应相等的两个三角形全等；两边和其中一边上的高（或第三边上的高）对应相等的两个三角形全等。其中正确命题的个数有（ ）A4个B3个C2个D1个15 （2011年浙江衢州市）如图，OP平分MON，PAON于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若PA=2，则PQ的最小值为( )A1 B2 C3 D4ABECD16题图16 如图，在四边形中，平分，过点作于，且。求的度数。ABCEFD17题图17 如图，中，是的中点，试判断与的大小关系，并证明你的结论。18 已知：如图，在ABC是，D为BC上的一点，AD平分EDC，且E=B，DE=DC。求证：AB=AC。ABCDE18题图1

6、9 如图，在中，、分别平分、，求证：。ABCDOE19题图20 如图，已知，。（1）求证：，；ABCDEF20题图（2）若绕点旋转到的外部，其他条件不变，则（1）中结论是否仍然成立？请证明你的结论。21 如图，等腰直角三角形中，为腰上的中线，交于。求证：。ABEDC1221题图22 （2011年四川省内江市，18题，9分）如图，在中，点是的中点，将一块锐角为的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与、重合，连接、。ABCED22题图试猜想线段和的数量及位置关系，并证明你的猜想。23 （2010年湖南省娄底市）如图，在四边形中，是的中点，连接、，延长交的延长线于点。ADCFEB23题图求

7、证：（1）；（2）。24 （2009年临沂市）数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形是正方形，点是边的中点，且交正方形外角的平行线于点。求证：。经过思考，小敏展示了一种正确的解题思路：取的中点，连接，则，易证，所以。在此基础上，同学们作了进一步的研究：（1）小颖提出：如图2，如果把“点是边的中点”改为“点是边上（除、外）的任意一点”，其他条件不变，那么结论“”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；（2）小华提出：如图3，点是的延长线上（除点外）的任意一点，其他条件不变，那么结论“”仍然成立，你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正

8、确，请说明理由；ABCEGFDABCDEFGABCGEFD图1图2图325 （2009年牡丹江市）已知中，为边的中点，绕点旋转，它的两边分别交、（或它们的延长线）于、。当绕点旋转到于时（如图1），易证：。当绕点旋转到与不垂直时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，、又有怎样的 ？请写出你的猜想，不需证明。ABCDEFAABBCCEDFDFE图1图2图326 （2008年山东省泰安市）两个大小不同的等腰直角三角板按如图1所示放置，图2是由它抽象出的集合图形，、在同一直线上，连接。（1）请找出图2中的全等三角形，并给与证明（说明：结论中不得含有未标示的字母）；

9、ABCED图1图2（2）证明：。27 在等边的两边、所在直线上分别有两点、，为外一点，且，。探究：当、分别在直线、上移动时，、之间的数量关系及的周长与等边的周长的关系。（1）如图1，当点、在边、上，且时，之间的数量关系是 ；此时， 。（2）如图2，当点、分别在边、上，且当时，猜想（1）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明。ABCDMNABCDMNABCMND图1图2图328 如图，中，平分，于，于。（1）说明的理由；（2）如果，求、的长。ABCGDFE29 如图，已知在中，的角平分线、相交于点。ABCDOE求证：。30 如图，中，平分，且。求证：。ABCDABCDE31 在中，点、分别

10、在、上，。求的度数。32 在中，平分，交于点，求的度数。ABCDABCDENMF33 在直角中，点、是直线上的两个动点，且，垂足为，的延长线交于点，直线与直线相交于点，试判断三角形的形状，并加以证明。34 如图，在中，是上的一点，且，点是的中点，连接。（1）求证：；（2）求证：；（3）若，那么的周长是多少？BACED35 如图，是的平分线，请你利用该图形画一对以所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：（1）如图，在中，、分别是、的平分线，、相交于点，请你判断并写出与之间的数量关系；（2）如图，在中，如果不是直角，而（1）中的其他条件不变，请问，你在（1）中所

11、得的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。图图图ABCDEFPMONABCDEF36 如图1，在正方形中，是上一点，是的延长线上一点，且。（1）求证“；（2）在图1中，若点在上，且，则成立吗？为什么？（3）运用（1）、（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图2，在直角梯形中，（），是上一点，且，求的长。ABCDGFABCDE图1图237 小华将一张矩形纸片（如图1）沿对角线剪开，得到两张三角形纸片（如图2），其中，然后将这两张三角形纸片按图3所示的位置摆放，纸片的直角顶点落在纸片的斜边上，直角边落在所在直线上。（1）若与相交于，取的中点，连接、，当纸片沿方向平移时（如图

12、3），请你观察、测量、的长度，猜想并写出与的数量关系然后证明你的猜想。（2）在（1）的条件下，求出的大小（用含的式子表示），并说明当时，是什么三角形？ABCDABCEFDAABBCCDDMHEFFEGM图1图2图3图4（3）在图3的基础上，将纸片绕点逆时针旋转一定的角度（旋转角度小于），此时，变成，同样取的中点，连接、（如图4）。请继续探究与的数量关系和的大小，直接写出你的猜想，不需要证明。并说明为何值时，为等边三角形。38 我们知道：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。类似地，我们定义：至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形。（1）请写出一个你学过的特殊四边形中是等对边四边形的图形的名称

13、；（2）如图，在中，点、分别在上，设、相交于点，若，请你写出图中一个与相等的角，并猜想图中哪个四边形是等对边四边形；ABCDEO（3）在中，如果是不等于的锐角，点、是线段上，。探究：满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形，并证明你的结论。39 如图1，中，点、是线段上两动点，且，垂足为，的延长线交于点，直线与直线相交于点。是判断的形状，并加以证明。说明：（1）如果你经历反复探索，没有找到解决问题的办法，请你把探索过程中的某种思路写出来（要求至少写三步）；（2）在你经历说明（1）的过程之后，可以从下列、中选取一个补充或更换已知条件，完成你的证明。注意：选取完成证明得10分；选取完成证明得5分。画出将沿方向平移长，然后顺时针旋转后得图形；点在线段上，且四边形为等腰梯形（，如图2）。附加题：如图3，若点、是直线AC上两动点，其他条件不变，试判断的形状，并说明理由。BBBAAACCCDDDEEEMMKNMFN图1图2图340 如图a，请按下列要求准确画图：在射线、上分别取点、，使，连接得直角；在边上取一点，使，在射线上取一点，使，直线、相交于。（1）请用量角器度量的度数为 （精确