圆锥曲线复习题(学生版)

1、圆锥曲线复习题一、联立直线与曲线方程，直接利用韦达定理这种问题主要是联立直线与曲线方程，产生韦达定理，把条件转化为韦达定理的应用，从而解决问题。比如以下这几个条件都是转化为韦达定理的常见类型：以弦AB为直径的圆过原点(或某个定点)即为直角(有时候会转化为锐角、钝角)等等，请同学注意总结补充。1、已知定点F（1，0），动点P在y轴上运动，过点P作PM交x轴于点M，并延长MP到点N，且（1）动点N的轨迹方程；（2）线l与动点N的轨迹交于A，B两点，若，求直线l的斜率k的取值范围.解:（1）动点的轨迹方程为 （2）直线l的斜率的取值范围是. 2、如图、椭圆的一个焦点是F（1，0），O为坐标原点.（）

2、已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程；）设过点F的直线l交椭圆于A、B两点.若直线l绕点F任意转动，值有,求a的取值范围.解：()椭圆方程为 () a的取值范围为（，+）.3、已知曲线上任意一点到两个定点和的距离之和为4（1）求曲线的方程；（2）设过的直线与曲线交于、两点，且（为坐标原点），求直线的方程解：（1）轨迹方程为 （2）直线的方程是或 4、已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆上的点到焦点距离的最大值为，最小值为（）求椭圆的标准方程；（）若直线与椭圆相交于，两点（不是左右顶点），且以为直径的圆过椭圆的右顶点，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标解： (I

3、)由题意设椭圆的标准方程为 (II)直线过定点，定点坐标为5、在平面直角坐标系中，经过点且斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点和（I）求的取值范围；（II）设椭圆与轴正半轴、轴正半轴的交点分别为，是否存在常数，使得向量与共线？如果存在，求值；如果不存在，请说明理由解：（） 的取值范围为（）解得由（）知或，故没有符合题意的常数二、弦长、面积的问题这类问题比较明了，注意求面积的基本方法之一：面积分割，求面积的最值一般是建立有关变量k的函数关系，通过研究函数的最值求面积的最值(利用均值不等式很常见)。弦长公式：其中1、已知椭圆两焦点分别为F1、F2，P是椭圆在第一象限弧上一点，并满足，过P作倾斜角互补

4、的两条直线PA、PB分别交椭圆于A、B两点.（）求P点坐标；（）求证直线AB的斜率为定值；（）求PAB面积的最大值.l 解：（）点P的坐标为.（）AB的斜率为定值.（）三角形PAB面积的最大值为。2、已知椭圆C:=1(ab0)的离心率为,短轴一个端点到右焦点的距离为.()求椭圆C的方程;()设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求AOB面积的最大值.解：（）椭圆方程为（）面积取最大值3、已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，过的直线交椭圆于两点，且，垂足为（）设点的坐标为，证明：；（）求四边形的面积的最小值解：（） （）四边形的面积的最小值为4、已知双曲线C的

5、方程为，离心率，顶点到渐近线的距离为。（1）求双曲线C的方程；(2)如图，P是双曲线C上一点，A，B两点在双曲线C的两条渐近线上，且分别位于第一、二象限，若，求面积的取值范围。解（）曲线的方程是（）面积范围是三、对称问题（涉及到弦的垂直平分线问题） 这种问题主要是需要用到弦AB的垂直平分线L的方程，往往是利用点差或者韦达定理产生弦AB的中点坐标M，结合弦AB与它的垂直平分线L的斜率互为负倒数，写出弦的垂直平分线L的方程，然后解决相关问题，比如：求L在x轴y轴上的截距的取值范围，求L过某定点等等。有时候题目的条件比较隐蔽，要分析后才能判定是有关弦AB的中点问题，比如：弦与某定点D构成以D为顶点的

6、等腰三角形（即D在AB的垂直平分线上）、曲线上存在两点AB关于直线m对称等等。1、已知抛物线y=-x2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A、B，则|AB|等于解： 2、已知椭圆的焦点在轴上，长轴长为，离心率为（）求椭圆的标准方程；（）已知点和直线：，线段是椭圆的一条弦且直线垂直平分弦，求实数的值解：（）；（）3、倾斜角为a的直线经过抛物线的焦点F，且与抛物线交于A、B两点。（）求抛物线的焦点F的坐标及准线l的方程；（）若a为锐角，作线段AB的垂直平分线m交x轴于点P，证明|FP|-|FP|cos2a为定值，并求此定值。解：焦点的坐标为（2，0）.准线l的方程为。O1xy（）定值为8。4

7、、某学生在平面直角坐标系内画了一系列直线，和以原点O为圆心为半径的圆，他发现这些直线和对应同一t值的圆的交点形成的轨迹很熟悉，然后又取长度为2的线段AB（不与x轴垂直），使AB的两端点在此轨迹上滑动，并记线段AB的垂直平分线与x轴的交点（1）求上述交点的轨迹方程；（2）求的取值范围解：（1）轨迹E的方程为（2）的取值范围是5、设，两点在抛物线上，是的垂直平分线。（）当且仅当取何值时，直线经过抛物线的焦点？证明你的结论；（）当直线的斜率为2时，求在轴上截距的取值范围。解：（）当且仅当时，经过抛物线的焦点。（）在轴上截距的取值范围为6、设、分别是椭圆的左、右焦点. （）若P是该椭圆上的一个动点，求

8、的最大值和最小值； （）是否存在过点A（5，0）的直线l与椭圆交于不同的两点C、D，使得|F2C|=|F2D|？若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由. 解： ，即点P为椭圆短轴端点时，有最小值3；当，即点P为椭圆长轴端点时，有最大值4 （）不存在直线，使得|F2C|=|F2D|综上所述，不存在直线l，使得|F2C|=|F2D| 7、椭圆G：的两个焦点为F1、F2，短轴两端点B1、B2，已知F1、F2、B1、B2四点共圆，且点N（0，3）到椭圆上的点最远距离为（1）求此时椭圆G的方程；（2）设斜率为k（k0）的直线m与椭圆G相交于不同的两点E、F，Q为EF的中点，问E、F两点能否关于过点

9、P（0，）、Q的直线对称？若能，求出k的取值范围；若不能，请说明理由解：（1）椭圆方程为（2）当时，E、F两点关于点P、Q的直线对称上题用判别式大于零来构建不等式也是常见方式。8、已知椭圆的左焦点为F，O为坐标原点。（I）求过点O、F，并且与椭圆的左准线相切的圆的方程；（II）设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，线段AB的垂直平分线与轴交于点G，求点G横坐标的取值范围。解：（I）圆的方程为（II）点G横坐标的取值范围为9、已知椭圆（）的两个焦点分别为，过点的直线与椭圆相交于点A,B两点，且（求椭圆的离心率；（）直线AB的斜率；（）设点C与点A关于坐标原点对称，直线上有一点H(m,

10、n)()在的外接圆上，求的值。解 （1）离心率（2）.(3) .10、已知，椭圆C以过点A（1，），两个焦点为（1，0）（1，0）。（1） 求椭圆C的方程；（2） E,F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值。（）解椭圆方程为 （）直线EF的斜率为定值，其值为。 四、分比问题这类问题主要是研究过一个定点P作直线与曲线产生两个交点AB，进而研究P分两个交点AB所成的比例关系。往往是两种形式出现，一种是以比例：，一种是向量：，有时候是求直线方程，有时候是求分比的值或取值范围等等，这种问题主要是抓住分比与坐标的关系，判断在联立方程时应

11、该消去，以减少运算量，然后把问题转化到韦达定理的应用上。1、如图，和两点分别在射线OS、OT上移动，且，O为坐标原点，动点P满足.（）求的值；（）求P点的轨迹C的方程，并说明它表示怎样的曲线？（）若直线l过点E（2，0）交（）中曲线C于M、N两点，且，求l的方程.解：（）（）P点的轨迹方程为它表示以坐标原点为中心，焦点在轴上，且实轴长为2，焦距为4的双曲线的右支。（）直线l存在，其方程为：或 2、给定抛物线C:,F是C的焦点，过点F的直线l与C相交于A、B两点，记O为坐标原点（1）求·的值；（2）设=，当三角形OAB的面积S2，求的取值范围.解：（1） -3. （2）.3、设直线与椭

12、圆相交于A、B两个不同的点，与x轴相交于点C，记O为坐标原点. （I）证明：； （II）若的面积取得最大值时的椭圆方程.（I） （II）椭圆方程是4、已知圆为圆上一动点，点P在AM上，点N在CM上，且满足的轨迹为曲线E.I）求曲线E的方程；II）若过定点F（0，2）的直线交曲线E于不同的两点G、H（点G在点F、H之间），且满足，求的取值范围.解：（1）曲线E的方程为 （2）5、已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在轴上，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点，离心率为.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过椭圆C 的右焦点作直线交椭圆C于、两点，交轴于点，若， ，求证：.解：椭圆C的方程为 （2）证明： 6

13、、已知点的坐标分别是，直线相交于点M，且它们的斜率之积为（1）求点M轨迹的方程；（2）若过点的直线与（1）中的轨迹交于不同的两点、（在、之间），试求与面积之比的取值范围（为坐标原点）解：（1）（）， （2）OBE与OBF面积之比的取值范围是7、已知椭圆的方程为双曲线的两条渐近线为和，过椭圆的右焦点作直线，使得于点，又与交于点，与椭圆的两个交点从上到下依次为（如图）.(1)当直线的倾斜角为，双曲线的焦距为8时，求椭圆的方程；(2)设，证明：为常数. 解：（1）椭圆的方程是:. （2）为常数. 8、给定抛物线C：y2=4x，F是C的焦点，过点F的直线L与C相交于A、B两点。（）设L的斜率为1，求与

14、的夹角的余弦值；（）设，若4,9，求L在y轴上截距的变化范围.答案：(1) (2)五、求轨迹方程问题1、（1）一动圆与圆外切，同时与圆内切，求动圆圆心的轨迹方程，并说明它是什么样的曲线。（2）双曲线有动点，是曲线的两个焦点，求的重心的轨迹方程。解：动圆圆心的轨迹方程是，轨迹是椭圆（2）重心的轨迹方程为：。2、已知椭圆G的中心在坐标原点,长轴在轴上,离心率为,两个焦点分别为和,椭圆G上一点到和的距离之和为12.圆:的圆心为点.(1)求椭圆G的方程(2)求的面积(3)问是否存在圆包围椭圆G?请说明理由.解：（1）椭圆G的方程为：. (2 ) （3） 不论K为何值圆都不能包围椭圆G.3、在平面直角坐

15、标系xOy中，点P到点F（3，0）的距离的4倍与它到直线x=2的距离的3倍之和记为d，当P点运动时，d恒等于点P的横坐标与18之和（）求点P的轨迹C；（）设过点F的直线l与轨迹C相交于M，N两点，求线段MN长度的最大值。解：（）点P的轨迹C是椭圆在直线x=2的右侧部分与抛物线在直线x=2的左侧部分（包括它与直线x=2的交点）所组成的曲线，参见图1（）线段MN长度的最大值为.六、定点、定值问题1、已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆上的点到焦点距离的最大值为，最小值为（）求椭圆的标准方程；（）若直线与椭圆相交于，两点（不是左右顶点），且以为直径的圆过椭圆的右顶点，求证：直线过定点，并求出该

16、定点的坐标解： (I) (II)定点坐标为2、已知抛物线x24y的焦点为F，A、B是抛物线上的两动点，且（0）过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为（）证明·为定值；（）设ABM的面积为S，写出Sf()的表达式，并求S的最小值解：()其值为0 () S取得最小值43、如题图，倾斜角为a的直线经过抛物线的焦点F，且与抛物线交于A、B两点。（）求抛物线的焦点F的坐标及准线l的方程；（）若a为锐角，作线段AB的垂直平分线m交x轴于点P，证明|FP|-|FP|cos2a为定值，并求此定值。解：（）焦点的坐标为（2，0）.准线l的方程为。（）故。4、已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在轴上，

17、斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点，与共线. （1）求椭圆的离心率； （2）设M为椭圆上任意一点，且，证明为定值.解：离心率为（II）为定值，定值为15、如图，M是抛物线上y2=x上的一点，动弦ME、MF分别交x轴于A、B两点，且MA=MB. （1）若M为定点，证明：直线EF的斜率为定值； （2）若M为动点，且EMF=90°，求EMF的重心G的轨迹解：（1）(定值)所以直线EF的斜率为定值（2）6、已知双曲线的右焦点为，过点的动直线与双曲线相交于两点，点的坐标是（I）证明，为常数；（II）若动点满足（其中为坐标原点），求点的轨迹方程解： （I）为常数（II）点的轨迹方程

18、是7、在平面直角坐标系中，过定点作直线与抛物线（）相交于两点ABxyNCO（I）若点是点关于坐标原点的对称点，求面积的最小值；（II）是否存在垂直于轴的直线，使得被以为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出的方程；若不存在，说明理由（此题不要求在答题卡上画图）NOACByx解法1：（）（）为定值，故满足条件的直线存在，其方程为，8、如题21图倾斜角为的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点（）求抛物线的焦点的坐标及准线的方程；（）若为锐角，作线段的垂直平分线交轴于点，证明为定值，并求此定值解：（I）焦点的坐标为，准线的方程为（II）=89、已知动圆过定点，且与直线相切，其中.（I）求动圆圆

19、心的轨迹的方程；（II）设A、B是轨迹上异于原点的两个不同点，直线和的倾斜角分别为和，当变化且为定值时，证明直线恒过定点，并求出该定点的坐标.解：（I）轨迹方程为；（II）直线恒过定点七、最值和取值范围问题1、设,在平面直角坐标系中,已知向量,向量,动点的轨迹为E.（1）求轨迹E的方程,并说明该方程所表示曲线的形状;（2）已知,证明:存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与轨迹E恒有两个交点A,B,且(O为坐标原点),并求出该圆的方程;(3)已知,设直线与圆C:(1<R<2)相切于A1,且与轨迹E只有一个公共点B1,当R为何值时,|A1B1|取得最大值?并求最大值.解：（1）.当m=0时,方程表示两直线,方程为;当时, 方程表示的是圆当且时,方程表示的是椭圆; 当时,方程表示的是双曲线.(2).圆 (3)当时|A1B1|取得最大值,最大值为1.2、已知直线经过椭圆的