伴随矩阵的若干性质及应用

1、伴随矩阵的若干性质及应用摘要矩阵是学习高等代数中的一个非常重要的知识点，而在矩阵的运算和应用中伴随矩阵起着十分重要的作用.本篇文章运用矩阵计算中的一些技巧和方法，证明了一般 n 阶方阵和某些特殊矩阵的伴随矩阵的一些性质.这些性质的探讨是基于矩阵的伴随矩阵与原矩阵之间的关系，利用研究矩阵的方法来着手.通过这些性质，对矩阵、伴随矩阵有了更深一步地认识.而且，在以后的学习中遇到关于伴随矩阵的问题我们可以直接应用这些性质，使问题变得简单.关键词矩阵伴随矩阵特征值引言因为伴随矩阵是学习矩阵的一个重要知识点，在计算中经常出现，把矩阵的伴随矩阵看作一般的一个矩阵来研究.给出了伴随矩阵的秩、伴随矩阵的转置、伴

2、随矩阵的特征值、几个特殊矩阵的伴随矩阵的性质，以及伴随矩阵的其他性质.这些性质能帮我们方便解决在计算矩阵时遇到的问题.本文出现的矩阵A和B均为 n 阶方阵.1.一般 n 阶方阵其伴随矩阵的一些性质及应用1.1AA=AA=AE,在求解A与A的乘积，A和A的有关的问题时可以从这个性质着手.常用的关系式如下:iA(1)当A为可逆矩阵时，A也为可逆矩阵，由 AA=人人=|人可得(人丁=L；(2)当 A 为可逆矩阵时，由 AA*=A*A=|AE 可得 A*=AA，;142、一.-*、_._*-1例 1、已知A为一二阶矩阵，且A=013，求(A).A的逆矩阵.解因为 A*A=AA*=AE,且A为可逆矩阵,

3、可得而A，A*41=8,A=(A，)AA,-1-3【55-1-1-15一3,所以（A*T=-1-355-1-1-15一3-15.*i“*本题用性质6可直接得(AA=()=-3-15-11.3(kA*=knJ1A*(k 为常数)证明因为提取公因子k,从而矩阵kA中每一元素 kaj的n-1阶代数余子式就是 kn/Aj.所以故证之.321、*例 5、设A为一个 3 阶矩阵，且已知A=1-12，求心 A.14）1n,当秩（A尸n时；秩A*=1,当秩A=n-1时;、0,当秩（A）n-M;kanka12*kanA11A21kA=ka21ka22ka2n_*A12A22-.A=,1kan2kann,1A1n

4、A2n%、An2Ann,所以kA的n-1阶子式中每一个元素都是A中的相对应元素的k倍，从每行中,nJ.kA11.n八kA21-1n、kAn1A11A21An1*knA12knA22-.nJkAn2.n_1A12A22-An2n(kA)=.=k.呼.-=kKA1nkF2nknAkAnnJlA1nA2n,.Ann；*AA21A31jz-135”A22A3215-5-5,A23A33)31-5；21-1JAn解因为A=A12613-15,可见简单之处.一3所以1.4 伴随矩阵的秩的性质-135161555-51616，-.*AA=A 所以A#0故秩(An=n.（2）当秩（A）=n1 时，A=0,由

5、AA=|AE 彳 4AA=0从而可知 A*的每一列都是方程组 AX=0 的解向量，故由此可得（A*）Wn-秩（A）=1,又因为矩阵 A 至少有一个 n1 阶子式不为零，故 A 至少有一个元素不为零，所以此时秩（A）=1.（3 当秩（A）cn-1 时，矩阵 A 的所有 n-1 阶子式全为零，故 A=0,所以秩 A*=0.性质 4 在解关于矩阵的题目中用的很广泛，以下的性质 5、6、9、16 的证明过程中都有用到性质 4,从而使证明简单、明了.例 6、设 n（n2）阶万阵 A,若秩（A）=n-2 时，则秩（A）=.解因为秩（A）=n-2,由以上性质可得秩（A*）=0,故选 D.解因为秩（A）=3,

6、而 A 为 4 阶矩阵,，一一、卡*、.,人*1所以秩(A)=12 时，秩（A*=0，所以（A*=0，所以此时有（A*）=AnA._*例 9、已知A为 n 阶可逆矩阵，且 A=3,化简（A，-A）.*一一一,1*一一一解因为 AA=AA=AE,所以 A=LA,所以IA-A”*-A）A1P）（g）CA*M4）_*5AB=BA证明（1）当 AB=0 时，此时有 A#0,B#0;从而有 A*=|AA，B*=BB，可得（AB*=AB（ABf=ABB*A，=BB，AA，=B*A*（2 肖 AB=0 时，此时考察矩阵 AR“）=A-九 E,B）=B-九 E,因为矩阵A和B的特征值最多只有有限个，因此存在有

7、无穷多个九，使得1.6解 4A*B，=4nA*(A*=ABn?A(n2)“I4nJ14n二-2-2A1.7*tt*tt*由 1 闷结论可得，(A凤九)*=BQuAQu),令(AJB(九=(hij损城 B(九 A3)=(kij5)晨则由上式得H0 伍)=%(九)，(i,j=1,2,n)因为知有无穷多个，.使式成立，从而也就有无穷多个工使 0 式成立，但是由于hj5)kij(K旃B是多项式，因此 O 式对一切，都成立；特别，当令人=0 时有*.*.*AB=A0B0=B0A0=BA例 10、已知A和B为三阶可逆矩阵，且13I111-410一一，一、t一，1*.-1解经计算可得(B)=01-3001证

8、明由于 AA=AA=AE所以(A*TAT(AT*=(A*T|AT|E=AT|(A*T=|A(A*又(A*TAT(AT$=(AA*AT)=(|A|EF(AT)=|A(AT*TA(A*T=|A(AT)(1)当 A 可逆时，则IA#0,T1.8(AT=AT*因此有A*.*.*.所以AB)；=!BA913-2一412所以(2)当A不可逆时，则A=0,此时用矩阵A-KE代替矩阵A,得=|A-九E|A九EF)因为矩阵 A 的特征值最多只有有限个，因此存在无穷多个人使得-一，,一九*TT:A九目第 0,从而有（A-AE）=（A-AE）一*T*令（A九 E）=（九（九）篇，A征）=（%（九）晨，所以有 hj=

9、kji,j=1,2,.,n由此可得存在无穷多个工使得上式成立，而 hj（九）kj伍）都是多项式，因此上式对一切 K 都成立，取九=0 代入式时，有.T_*（AT=（AT）.1.9 伴随矩阵的特征值5设矩阵 A 有 n 个特征值儿，卜2,.,九n；（1&A 为满秩矩阵时，伴随矩阵的特征值为-iJA,2JIA,.,nJIA（2）当 A 为降秩矩阵时，那么伴随矩阵 A 的 n 个特征值至少有 n-1 个为 0,而且另一个不等于零的特征值若存在，则等于 A11A22.Ann.5证明（1）因为 A 为满秩矩阵，所以 A 为可逆矩阵也即|A=0A）=|AA，此时矩阵 A 的特征值均不为零，且 A的

10、 n 个特征值为九，九2,.，九n,再由A=|AA 可得，伴随矩阵有 n 个特征值为K|A|,A,./n,|A；（2）当秩（AAn-2 时，此时，秩（A）=0,所以 A=0因此可推得 0,0,。为伴随矩阵 A*的特征值此时结论成立.当秩（A）=n-1 时，此时，秩（A）=1,那么设 A）的特征值为1,2,.,n由若尔当标准形知，存在可逆矩阵 T,使得T,AT=,其中儿，九 n 为A的全部特征值一,0）因为（A）=1,不妨设兀0,而12=.=hn=0,则上式为*九IT,A*T=0.0IJ*从而1=trA=A11A22.Ann.例 11、设A为 n 阶可逆矩阵，A为A的伴随矩阵，E为 n 阶单位矩

11、阵，若A有特征值九，则（A*3+E 必有特征值什么？解由性质知，A有特征值九，A*必有特征值1A,从而（A*3+E 必有特征值九1.10 如果A是可逆矩阵，且 AB,则 AB证明因为AB,则存在可逆矩阵T,使得TAT=B把上式两边同时取行列式得T1A|T|=|B,又由于 A 可逆，故|A#0,从而 B#0,即 B 也是可逆的，所以，A*=|AA,B*=BB由 T,AT=B,则 CTATF=TA（T=TA,T=B，因止匕A，B，因为 AB,则|A=|B把 T“A，T=B两端同时乘以 A 得，T“A*T=T，AA“T=|AB=|BB”=B*所以,TA*T=B*,A*B*.例 12、设A、B为三阶相

12、似矩阵，A的特征值为 1,1,3,求B*.解因为 A 的特征值为 1,1,3,一*，.一、1所以A的特征值为1MA=3,1MA=3,/A=1,3又因为AB,所以A*B*,所以 B 的特征值为 3,3,1,所以 B|=9.1.11 如果A是可逆矩阵，且 A 与 B 和合同，则 A*与 B*也合同证明由题中矩阵A与B合同，因此存在可逆矩阵C,使川CTAC=B,等式两边分别取行列式，得CT|A|C=B因为 A 是可逆矩阵，所以，A#0,从而|B=0,而 CA=B_111又因为(CTAC)=CA(CT)=B,令 T=(CT)T则T=C=)=(C)=C,从而TTA/T=B,故 A与 B是合同的，从而CA

13、TTAT=，BB即(CTTAACT=BB所以(CTTA*4CT)=B*,所以 A 与 B 也合同.某些特殊矩阵的伴随矩阵的性质4若A是可逆的对称矩阵，则它的伴随矩阵A也是可逆的对称矩阵a.已知数量矩阵 kE(k#0),它的伴随矩阵也是数量矩阵；b.若对角矩阵A是可逆的，则它的伴随矩阵A*也是对角矩阵.2.2 若A是上(下)三角矩阵，且A是可逆的，则A*也是上(下)三角矩阵112、例 13、设A=031,故,A=3,所以A是可逆的，1001)2.30)当 n 阶实矩阵A是半正定时，则它的伴随矩阵A*也是半正定的证明由于A是半正定的，因此存在实矩阵C,使A_CTC_*._*.T_.T从而 A=(C

14、C)=C(CT)=C(C)=PTP 其中 P=(C)即有实矩阵P,使得A*=PTP所以A也半正定的.(2)当n阶实矩阵A是正定矩阵时，则它的伴随矩阵A也是正定矩阵证明由于矩阵A是正定的，从而可知存在可逆矩阵T,使TTAT=.E所以 TTAT=TATT=TAT=E=E即有 T*A*(T*T=E所以A*也是正定矩阵.2.4 当n阶矩阵A为正交矩阵时，则其伴随矩阵A*也为正交矩阵7证明由于 A 为正交矩阵，从而可知ATA=E,A=1,而 AA=AE,所以 A=AA=A而(A*TA*=(iA，T(A，)=E故A*也是正交矩阵.工例 14、设正交矩阵 A=，1A11A21A313-1-5A12A22A3

15、2二01-163A23A3303,所以A是可逆的，且为上三角矩阵.121五1而1寺2)*A从而可算的 A*(A*T=E,即A*也为正交矩阵.2.5 若 A 为幕等矩阵，也就是说满足 A2=A,当秩（A）=n 或秩（A）n1 时，对应可得矩阵 A*也是幕等矩阵4证明 0）当秩（A）=n 时，由于 A2=A,左式两边同时取行列式，得|A2=A,所以|A=1,由 A2=A,又可得 A2=A,；而 AA*=俳，A*=|A|A，从而（A*2=（|AA。2=（A，f=A=A，=AA，=A*,即（A*2=A*所以，此时 A 也是幕等矩阵.（2）当秩（A）n-1 时，可得秩（A*）=0,所以*_A=0,当然有

16、（A*2=A*,所以，此时A*也是幕等矩阵.小结本文运用矩阵计算的有关方法和技巧，以及应用已经证明了的关于伴随矩阵的性质，进一步证明了矩阵的伴随矩阵的其它相关性质.这样较广泛深入的理解了伴随矩阵， 从而能更好的把伴随矩阵的性质运用到矩阵的学习中，不断升华知识.与伴随矩阵有关的性质还有很多，本文只是对其一部分性质进行说明，需要不断努力去挖掘找到它其它很有价值的性质.也可以把伴随矩阵放到高等代数的其它章节中找到它相应的性质，这需不断的去研究.参考文献:1北京大学数学系几何与代数教研室代数小组.高等代数M.高等教育出版社，2003:177-2032贾云峰.矩阵与其伴随矩阵的特征值J.陕西师范大学继续

17、教育学报，2007 年第 24 卷第 1 期:98-993 乐茂华.高等代数M.南京大学出版社,20024 吕兴汉.关于伴随矩阵性质的进一步讨论J.中国科技信息，2006 年第 22 期：322-3235钱吉林.高等代数题解精粹M.中央民族大学出版社，2009 年 10 月第二版：100-2186邱森.高等代数M.武汉大学出版社，20087王萼芳.高等代数M.上海科学技术出版社，1981:271-2968姚慕生.高等代数学M.复旦大学出版社，1995:38-399叶世源.叶家琛等M.同济大学出版社，199510张禾瑞.高等代数（第 4 版）M.北京高等教育出版社，199911曾京玲.关于伴随矩

18、阵的几个讨论J.渭南师范学院学报，2003 年增刊：28-29SomePropertiesandApplicationsoftheAdjointMatrixName：YangTingStudentNumber:200740510647Advisor:GeXintongAbstractMatrixisaveryimportantpointinlearninghigheralgebra,whileinmatrixscalculationsandapplicationadjointmatrixplaysanextremelyimportantrole.Thispaperusingsometechniquesandmethodsinmatrixscalculatipns/edsomepropertiesofgeneralnorderphalanxandsomespecialmatrixadjointmatrix.Thesepropertiesarediscussedbasedontherelationship