浙教版第二章特殊三角形知识点、考点及练习

1、八年级上册第二章特殊三角形复习一、知识结构本章主要学习了等腰三角形的性质与判定、直角三角形的性质与判定以及勾股定理、HL定理等知识,这些知识点之间的结构如下图所示：二、重点回顾1 等腰三角形的性质：等腰三角形两腰 ;等腰三角形两底角 （即在同一个三角形中，等边对 ）;等腰三角形三线合一，这三线是指 、,也就是说这三线为同一条线段;等腰三角形是图形，它的对称轴有 条。2 等腰三角形的判定：有边相等的三角形是等腰三角形；有 相等的三角形是等腰三角形（即在同一个三角形中，等角对）。3 .等边三角形的性质：等边三角形各条边 ，各内角，且都等于 ;等边三角形是 图形，它有 条对称轴。4 等边三角形的判定

2、：有边相等的三角形是等边三角形；有三个角都是 的三角形是等边三角形；有两个角都是的三角形是等边三角形；有一个角是 的 三角形是等边三角形。5 .直角三角形的性质：直角三角形两锐角 ;直角三角形斜边上的中线等于 ;直角三角形两直角边的平方和等于 （即勾股定理）。30°角所对的直角边等于斜边的 6 直角三角形的判定：有一个角是 的三角形是直角三角形；有两个角 的三角形是直角三角形；两边的平方和等于 的三角形是直角三角形。一条边上的中线等于该边长度的一半，那么该三角形是直角三角形，但不能直接拿来判断某三角形是 直角三角形，但有助于解题。7直角三角形全等的判定：斜边和 对应相等的两个直角三角

3、形全等。8角平分线的性质：在角内部到角两边 在这个角的平分线上。三、重点解读1学习 特殊三角形，应重点分清性质与判定的区别，两者不能混淆。一般而言，根据边角关系判断 一个图形形状通常用的是判定，而根据图形形状得到边角关系那就是性质；2等腰三角形的腰是在已知一个三角形是等腰三角形的情况下才给出的名称，即先有等腰三角形，后有腰， 因此在判定一个三角形是等腰三角形时千万不能将理由说成是“有两腰相等的三角形是等腰三角形”；3直角三角形斜边上的中线不仅可以用来证明线段之间的相等关系，而且它也是今后研究直角三角 形问题较为常用的辅助线，熟练掌握可以为解题带来不少方便；4勾股定理反映的是直角三角形两直角边和

4、斜边之间的平方关系，解题时应注意分清哪条是斜边，哪条是直角边，不要一看到字母“ c ”就认定是斜边。 不要一看到直角三角形两边长为 3 和 4 ，就认为另 一边一定是 5 ；5“HL ”是仅适用于判定直角三角形全等的特殊方法 ，只有在已知两个三角形均是直角三角形的前提下，此方法才有效，当然，以前学过的“ SSS'、“SAS'、“ASA'、“AAS等判定一般三角形全等的方法对于 直角三角形全等的判定同样有效。本章解题时用到的主要数学思想方法： 分类讨论思想（特别是在语言模糊的等腰三角形中） 方程思想： 主要用在折叠之后产生直角三角形时， 运用勾股定理列方程； 还有就是在

5、等腰三角形中求角度，求边长 等面积法3四、典型例题（一）、角平分线+平行线1、在厶ABC中，三内角互不相等，BC。（ 1）图中有几个等腰三角形？ （2）BO平分/ ABC , CO平分/ ACB。过O点作EF,使EF / 猜测线段BE、CF、EF有什么数量关系，并说明理由。AAFB2、在厶 ABC 中，/ ABC= / ACB , BO 平分/ ABC , CO 平分/ ACB,过 O 点作 EF, 使 EF / BC,且/ EBO=30。若 BE=5, ABC 的周长为 。（二）、角平分线+垂线3、如图：AB=AC，/仁/ 2, AE丄CD于F交BC于点E，求证:4、如图， ABC是等腰直角

6、三角形，其中/ A=90° , BD平分/ ABC交AC于点D, CE丄 BD交BD的延长线于点E,求证：BD=2CE（三）、直角三角形的一个锐角平分线+斜边上的高线A5、如图，在 ABC 中，/ ACB=90腰三角形吗？试说明理由，AE平分/ CAB，CD丄AB于D，它们交于点 F，A CFE是等#（四）、等边三角形的几个基本图形：6、等边三角形 ABC中，BD=CE，连接AD、BE交于点F。/ AFE=#7、如图点A、C、E在同一直线上， ABC和厶CDE都是等边三角形， M、N分别是AD、BE的中 点。说明： CMN是等边三角形。R5AC E8、已知等边厶ABC和点P,设点P到

7、厶ABC三边AB AC BC?勺距离分别是 hi, h2, h3,AABC的高为 h,若点P在一边BC上（图1）,此时h3=0,可得结论hi+h2+h3=h,请你探索以下问题：当点 P在厶ABC内 （图2）和点P在厶ABC外（图3）这两种情况时，hi、h2、h3与h?之间有怎样的关系，请写出你的猜想， 并简要说明理由.#（五）、等腰直角三角形的几个基本应用9、在 ABC 中，/ ACB=90 ° , AC=BC，直线 MN 经过点 C,且 AD 丄MN 于 D, BE丄 M 于 E。（1）当直线MN绕点C旋转到图1位置时，说明 ADC CEB的理由; 当直线MN绕点C旋转到图2位置时

8、，说明 DE=AD BE的理由；（3）当直线MN绕点C旋转到图3位置时，试问DE、AD、BE有怎样的等量关 系？请写出这个等量关系， 并说明理10、如图，在直角厶 ABC 中，/ C=90, AC=BC , D , E分别在 BC和AC上，且 BD=CE , M是AB 的中点。求证： MDE是等腰直角三角形。#B(?（六）、勾股定理、勾股定理的逆定理、勾股定理与方程11、观察下面表格中所给出的三个数a, b，c,其中a, b, c为正整数，且a<b<c（1 ）：试找出他们的共同点，并证明你的结论（2）:当a=21时，求b，c的值,3,4,5c2,2L23 +4 =55,12,132

9、 2 25 +12 =137,24,252 2 27 +24 =259,40,412 2 29 +40 =4121,b,c 2.2 221 +b =c12、如图，P是等边三角形 ABC内的一点，连结 PA PB、PC, ?以BP为边作/ PBQ=60，且BQ=BP连结CQ（1）观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明你的结论.（2）若PA PB PC=3: 4: 5，连结PQ试判断 PQC勺形状，并说明理由.714、矩形纸片ABCD的边AB=10cm,BC=6cm,E为BC上一点，将矩形纸片沿 AE折叠, 点B恰好落在DC边上的点G处，求BE的长。AB（七）、需要分类讨论的（主要是由语言的模

10、糊造成要讨论）有一个角等于50°，另一个角等于的三角形是等腰三角形。有一个直角三角形的两条直角边为3, 4,则第三条边长为如图，等腰三角形 ABC中，AB=AC 一腰上的中线 BD?各这个等腰三角形周长分成 这个三角形的腰长及底边长。（八）作图题如图，求作一点P,使PC=PD并且使点P到/AOB两边的距离相等，并说 明你的理由.作图题的基本要求：结论不能丢。格式：什么什么即为所求【考点精练】1、基础训练1.如图 1，在厶 ABC中，AB=AC / A=50°，BD为/ ABC的平分线，则/ BDC=(1)2如图2,是由9个等边三角形拼成的六边形，？若已知中间的小等边三角形的

11、边长是a，则六边形的周3如图3, 个顶角为40°的等腰三角形纸片，剪去顶角后，得到一个四边形，则/1 + Z 2=度.如图4,在等腰直角 ABC中，/ B=90°,将厶ABC绕顶点A逆时针方向旋转 60°后得到 AB C', 则/ BAC等于.5.如图5，沿AC方向开山修渠，为了加快施工进度，？要在小山的另一边同时施工.从AC上的一点B取Z ABD=135 , BD=520米，Z D=45°,如果要使 A C、E成一直线，那么开挖点 E离D的距离约为（精确到1 米）.等腰 ABC的底边BC=8cm腰长AB=5cm 一动点P在底边上从点 B开始向点

12、C以0.25cm/秒的速度运 动，当点P运动到PA与腰垂直的位置时，点 如图米6.7.7,在厶 ABC中，AB=AC / BAD=20?,P?运动的时间应为 且 AE=?AD 则ZCDE=在等腰三角形 ABC中，AB=AC Z A=44°, CDL AB于 B . 68° C . 46° D . 22°要在离地面5m处引拉线固定电线杆，要节省材料，则在库存的 好选用（A . L110.如图10,A. 30°如图A .9.如图8,449,(9)D,则/ DCB等于(?使拉线和地面成60。角，若考虑既要符合设计要求，又L1=5.2m, L2=6.2

13、m , L3=7.8m , L4=10m的四种备用拉线材料中，拉线AC最)B . L2在厶ABC中,B . 36°C. L3D. L4AB=AC D为AC边上一点，且D . 72°BD=BC=AD ?则/ A 等于(（10）11.同学们都玩过跷跷板的游戏.如图 跷跷板的一头A着地时，Z OAC=25.60°A . 25°B . 50° C12、直角三角形的两条直角边长为2 2 2 2A. ab=h B. a +b =2h11所示，？是一跷跷板的示意图，立柱 OC与地面垂直, ,?则当跷跷板的另一头 B着地时，/ AOA等于（D . 130°OA=OB当)如图所示，在 ABC中，AB=6 ,a,b,斜边上的高为c111C. +=a b hAC=9 , AD丄BC于点h,则下列各式中总能成立的是（）1 1 1+ =a2 b2 h2M为AD上任一点，则M&MB2等于D.二、能力提升13.如图，已知等腰三角形一腰上的中线把三角形周长分为12cm和15cm两部分，求它的底边长.14.（计算型说理题）已知如图厶ABC是等边三角形，BD是AC边上的高，延长 BC到 E使CE=CD ?试判断DB与DE之间的大小关系，并说明理由。15.如图， ABC中，D E分别是AC AB上的点，BD与CE交于点 Q ?给出下列三个条件：/