第1章函数、极限与连续

1、精品文档精品文档第一章函数、极限与连续一、基本内容(一)函数1 .函数的定义设变量x在某个实数集D中取定一数值时，另一变量y按照一定的规则总有一确定的数值与其对应，则称y是x的函数.记为y=f(x).称x为自变量，y为因变量，实数集D为定义域.2 .函数的几种特性单调性(2)有界性奇偶性周期性3 .反函数在函数y=f(x)中，若将y当作自变量，x当作因变量，则由y=f(x)确定的函数x=%y)称为y=f(x)的反函数.4 .复合函数若y是u的函数y=f(u),uWD1,而u又是x的函数，u=N时，有xn-a成立，则称数列xn收敛于a,记作limxn=a.n-JpC(2)对任意给定的正数以总存在

2、正数每，当0x-x0每时，|f(x)-A8成立，则称f(x)当xTx0时以A为极限，记作limf(x)=A.x)x0对任意给定的正数名，总存在正数X,当|“刈-人8时，If(x)-A成立，则称f(x)当xtxo时以A为极限，记作limf(x)=A.xJxo2 .极限存在准则(1)单调有界数列必存在极限.(2)设xn,yn,Zn为三个数列(n=1,2，)，若ynZnxn且limxn=limyn=a,则数列Zn的极限存在，且limZn=a.此定理称为夹逼定理.此定理同样适应于函数的极限.nnS-3 .两个重要极限sinx limX0 x1；1 xxm(1x)=e.4 .当XT0时的等价无穷小量si

3、nxx;tanxx;thxx;shxx;arcsinxx；arctanxx；ex-1x；22.xln(1+x)x;(1+x)-12x;1-cosx;2xa-1xIna(x0).(三)连续1 .函数在一点的连续性设limf(x)=f(x)则称f(x)在x=x0点连续.x_xo2 .函数的间断点的两种类型：第一类间断点和第二类间断点.3 .初等函数的连续性设f(x)是定义在I上的初等函数，则f(x)在I上连续.4 .闭区间上连续函数的性质设f(x)在a,b上连续，则有(1)最值定理f(x)在a,b上必有最大值和最小值.(2)介值定理设f(x)在a,b上的最小值和最大值分别为m与M,c是介于m与M之

4、间的任一确定的数，则在(a,b)内至少有一点J使f代)=c.二、练习题1.1 求f(x)的定义域：(1) f(x)=ln(1-lnx);(2) f(x)=.x-2ln(43x-x (x)x (-,-1) (-1，二)1 x).2 2x1.2 设 f (x)=2 x +x, 解：2 2 x -x f (-x) = J 2x解：(1)(0,2)(2)2,4x0,贝1f(-x)=x0x:0x-01.3求f(x)的反函数中(x)及其定义域：1 1一x(1) f(x)=-V；(2)f(x);1 ex1xx21,x-0(3)f(x)=0L.1+x1-x解：(1)(x)=lnxx(0,1)x1 -x(3)欠

5、x)=12+x一Jx-1-2 二 x：二 11 M X ：:二1.4设在(g,+a)上f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，且f(x)与g(x)都不包为零,试确定下列函数的奇偶性：(1) f(x)g(x)；(2)fg(x);(3)ff(x);解：(1)奇函数(2)偶函数(3)偶函数(4)偶函数(5)奇函数1.5下列函数是否为周期函数，若是则求出周期：(1) sin(x+3);(2)cos2x；(3)xtanx；(4)sinx解：(1)是周期为4n的周期函数(2)是周期为兀的周期函数(3)不是周期函数(4)是周期为冗的周期函数1.6 f(x)是以2位周期的周期函数.且又是偶函数，若已知在0,1上f

6、(x)=x22x,一,5贝Uf(-5)=2解：由已知条件得55411123他十:他或二丐万八世上5)2-1一%1 121.7设f(x)在0,1上为单增函数，且f(0)=-2;f(1)=-1;f(2)=0;f=1.2 23g(x)时f(x)的反函数.则g(1)-g(0)的值应是多少？解：由已知条件，g(x)也是-2,1上的单调增函数1 12g(-2)=0g()=二g(0)二g(1)=12 2321g(1)-g(0)=1331.8检验下列函数在指定区间是否为单调函数：(1) y=2ex,(-xcf;一1一(2) y=1-1,(0*);x(3) y=sinx,(-0x0,存在正整数Nlimxn=1;

7、(2)l如f(x)=3n)二x-使得当n之N时，|凡-1名(2)对任意给定的s0,存在正整数M0使得当xM时，|f(x)30,存在0o0使得0x-x0S时，f(x)-4z1.10 设数列xn单减，数列yn单增，且lim(xn-yn)=0,证明这两个数列均x收敛，且limxn=limy.n”二n1二二证明：由于已知2单调减少，所以xn0使得|zn|EM即xn-yn|M-Mxn-ynM-MynxnMyn由于yn单调递增，所以yiyn(n之1)故一M+y1-M+ynWxn,即：-M+y1xn即limxn=limynnn一j二二n2 12?(n 1)(n4)1.11 求下列极限:limnf ：n1s、

8、怛二；n1n-1limJnQn+5-二n一n二)2.2n二.2二,=limsin-sin=1nr：(,n2nn)2a或b之值:1.12试确定下列各题中的参数32,xaxbc盘F=8；2X(2) lim(ax-b)=0;一x1X2a、xlim()=8(a=0)Xfx-a解：(1) a=-1b=-4(2)(3) a=ln21.13试确定a,b的值，使f(x)在(-co,-He)上处处连续:(2)解:f(x)=1axsin-,xx2-b,ln(12x)axf(x)=0;x_0.x0;x=0;x二0.ji(1)b=0a任意(2)a=2b=-2(1) f(x)=x2 _1x2 -3x 21.14求下列各

9、函数的间断点，并指出其类型:-1(2) f(x)=12x，(3) f(x)=sinx解：(1)x=1是可去间断点，x=2为无穷型间断点(2) x=1是跳跃型第一类间断点(3) x=n/n=0,1,%)为间断点，其中n=0时x=0为可去间断点，其余为无穷型第二类间断点111 +21.15设f(x)= T,x0;1 -2 xJ,x=0.求 limf(x);lim f(x);limf (x);x_0 _x_0 x j二二解：lim f (x) =1 lim f (x) - -1 x_0 _x_0 -limx 0f ( x)lim f(x)不存在xlim f (x) =1 x )01.16 设f(x)

10、是连续函数，求证|f(x)|也是连续函数.解：由于已知f(x)是连续函数，则有limf(x)=f(x0)x.xo即对VWa0360使得当xxo6时f(x)-f(x0)gf(x)-f(x0)二f(x)-f(x0):二；xxo即limf(x)=f(x。)，所以f(x)也连续.V-tv.1.17 试证方程x2x=1至少有一个小于1的正根.解：令f(x)=x2x-1,f(x)在0,1上连续f(0)=-11)=1f(0)f(1)0,则由闭区间上连续函数性质，必有且10,1)使(与=01.18 证明n为奇数时，方程xn+anxn+a1x+a0=0至少有一个实根，其中ai(i=0,1,2,n-1)是给定的实

11、数.提示：令p(x)=xn,anxn，一一ax,a。然后考察limp(x)与limp(x),由连续函数的性质既得.x.x.1.19 设函数f(x)在闭区间0,2a上连续，且f(0)=f(2a),则在0,a上至少存在一点一使f()=f(a).解：令F(x)=f(x)-f(x+a)F(x)在0,a上连续F(0)=f(0)-f(a)F(a)=f(a)-f(2a)F(a)-F(0)=2f(a)-f(0)=-2F(0)F(a)=-F(0)所以F(a)F(0)0,于是江0,aF仁)=0即f()=f(a)1.20 某种动物，现仅存一万头，因遭受人类的捕杀，每年以10%的速率递减，经过20年，该种动物还有多少

12、头？解：该动物有e10000=1353(头).测验题(一)1 .填空题：2(1)设f(x+2)=e-x,贝Uf(x)=.(2)函数f(x)=JiIgx的定义域为.(2a+bx,x0L.x1解:lim -x_0 一-exx ex e - x 2(3) a = b(4)-10 :二 x 102 .单项选择题：(1) xT0时，*一85*是*2的()A.高阶无穷小B.等价无穷小C.低阶无穷小D.同阶非等价无穷小(2)设f(x)=J1+x+x2-J1-x+x2,则f(x)为()A.奇函数B.偶函数C.无界函数D.limf(x)=1x_J-.(3)设limxnyn=0,则下列命题正确的是()n_.A.若

13、xn发散,则yn发散B.若xn无界，则yn无界C.若xn有界，则yn必为无穷小D.若工为无穷小，则yn必为无穷小xn设 g(x)2 -x ,x0=02+x2 ,x 0J 2 一c 2 -x ,x 0解：(1) A (2) A xz x 02 - x2 , x 02D 2 + x，x0D (4) D3 .求下列极限:linn2nn11(2) lim.(1 -12n)；xcosx lim x 1x3lim(-x-)x;x-x-11xx2-1lim_1.x/sin2x解：(1)-(2)2(3)0(4)1,.， ，2,、2sin ln(x -1),4.设 f (x) = * sin nxx(x2 +2x -3)2x_0x0,试确定f(x)的间断点,并指出间断点的类型解：x=-1是第二类振荡型间断点x=0是第一类跳跃型间断点x=1是第一类可去间断点5