简单微分方程的求解

1、一、一阶微分方程1、线性齐次方程分离变量法求解两边同时乘以，积分因子法通解：2、线性非齐次方程常数变易法两边同时乘以，积分因子法通解：线性微分方程得解有一些很好得性质，例如(1)齐次方程得解或者恒等于零，或者恒不等于零(2)齐次方程任何解得线性组合仍就是它得解(3)齐次方程得任一解与非齐次方程任一解之与仍就是非齐次方程得解(4)非齐次方程任意两解之差必就是对应齐次方程得解(5)非齐次方程得任一解与对应齐次方程得通解之与就是非齐次方程得通解。3、Bernoulli方程(1)时，该方程为线性非齐次方程(2)时，该方程为线性齐次方程(3)时，作变量替换，该方程转化为，这就是关于未知函数z得一阶线性方

2、程4、Riccati方程Riccati方程在一般情况下无法用初等积分求出解，只就是对一些特殊情况或者事先知道了它得一个特解，才能求出其通解。(1)当、都就是常数时，就是可分离变量方程，用分离变量法求解。(2)当时，就是线性方程。(3)当时，就是Bernoulli方程。当，设已有一特解命代得这就是一个关于z得Bernoulli方程。(4)当Riccati方程得形式为，可利用变量替换，将方程化为可分离变量方程dz d (x) dx dx当Riccati方程得一个特解已知时，我们利用变换，代入方程后可得2一2一p(x)(z2z(x)(x)q(x)(z(x)f(x)由于就是方程得解，从上式消去相关得项

3、后得，这就是一个Bernoulli方程。(5)当Riccati方程得形式为淇中、都就是常数，且设,又设与，则当时，方程可通过适当得变换化为变量可分离方程。5 可分离变量方程,通解为6 齐次方程作变量替换,则,即通解为。7 全微分方程与积分因子设就是一个连续可微得二元函数,则它得全微分为:若有函数使得:则称为全微分方程,此时,微分方程得解就就是微分方程得成立条件:设函数与在一个矩形区域R中连续且有连续得一阶偏导数,则就是全微分方程得充要条件就是微分方程得解为(线积分法)此时还可应用偏积分法与凑微分法如:重新分组整理为如果有函数,使得方程就是全微分方程(恰当方程),则称为方程得一个积分因子积分因子

4、一般很难求解,但有如下情况可求:(1)微分方程有一个依赖于得积分因子得充要条件就是仅于有关,则积分因子可求:(2)微分方程有一个依赖于得积分因子得充要条件就是仅于有关,则积分因子可求:积分因子就是求解微分方程得一个极为重要得办法,绝大多数方程得求解都可以通过寻找到一个合适得积分因子来解决。但求一个微分方程得积分因子十分困难,需要灵活运用各种微分法得技巧与经验。例如,当一个微分方程中出现得项时,函数与都有可能成为其积分因子,可以根据方程中其她项进行适当得选择。下面得几个方程与对应得积分因子分别为:另外,若有微分方程:(M1(x,y)dxN1(x,y)dy)(M2(x,y)dxN2(x,y)dy)

5、0其中第一组与第二组各有积分因子与,使得由于对任意可微函数与，就是第一组得积分因子，就是第二组得积分因子。如果能选取得与使得：则就就是该微分方程得一个积分因子。8、变量替换法(1)形如得方程对于这种类型得方程，引入新变量则,于就是原方程就化为这就是一个变可分离方程，它得通解为此时注意：形如得微分方程，若上下二元一次方程组有解，则利用齐次解法依靠解得坐标点化简此式，若无解则利用变量替换法求解。(2)形如得方程对于这类方程引入新变量，则，原方程可以化为，这就是一个可分离变量方程。(3)用变量替换法求解微分方程就是十分灵活得，依赖于方程得形式与求导得经验，在学习过程中要多积累。9、一阶隐式微分方程解

6、法10、近似解法(1)逐次迭代法逐次迭代法就是利用证明初始值问题解得存在唯一性时所构造得Picard迭代序列得前若干项来近似初始值问题得解，其近似序列为：当初始值问题满足解得存在唯一性定理得条件时，上面得迭代序列在一个区间一致收敛到它得解。故当较大时，就就是初始值问题解得一个较好得近似。(2)Taylor级数法设初始值问题得解可以在得邻域内展开为收敛哥级数：由Taylor级数理论知，就是由得阶导数确定得，即：于就是，级数形式得解实际上就就是要求出在点得各阶导数值。如果我们能计算出前面一些导数值时，就可以利用函数来近似初始值问题得解。由复合链导法则与方程初始值得：/、d2yy(x0)dx2d-f(x,y(x)xx°dxy(3)(x0)dx(fx(x,y)fy(x,y)f(x,y)fx(x0,y(o)fy(x0,y(o)f(X0,y0)xx0fxx(x0，y0)2fxy(X0,y0)f(x0,y°)''2'''2fyy(x0,y0)f(x0,y0)fy(x0,y0)fx(x0,y0)(fy(x0,y0)f(x0,y0)根据需要,当函数已知时,我们可以计算出解在点直到阶导数值从而得出得近似表达式。