二项式定理(通项公式)

1、、指数函数运算知识点：1.整数指数哥的概念.n1a-=(a=0,nN*).a二、二项式知识回顾1.二项式定理(a+b)n=C：an+Cnan4b1+C：an&bk+.一+C：bn,以上展开式共 n+1 项，其中 C：叫做二项式系数，Tk#=C：anbk叫做二项展开式的通项.(请同学完成下列二项展开式)(ab)n=C；anC：an4b1+十(1)kC：aibk+十(1)nC：bn,Tk书=(1)kC：anbk(1+x)n=C；+C：x+.一+C：xk+.一+C：xn(2x+1)n=C；(2x)n+C；(2x)n+C：(2x)n+-C=(2x)+1nn1n-k-,二anxan0,mnCN,

2、且n1).例题：221o162例 1 求值：83,100,(-)-,().481例 2 用分数指数哥的形式表示下列各式:1)a2-Va,a34a2,dan(式中 a0)2)例 3 计算下列各式(式中字母都是正数)(1)(2a3b2)(-6a2b3)-：(3a6b6);(2)(mn)8.2例 4 计算下列各式：(1)/(a0);.a3.a2(2)(325-125)-451111例 5 化简:(xy2)+(x4-yZ)例 6 已知 x+x-1=3，求下列各式的值:(1)x2x2,(2)x2x2an=aaaa(n 三 N*)0Qa0=1(a=0)式中分别令 x=1 和 x=-1,则可以得到C0+C；

3、+Cnn=2n,即二项式系数和等于2n;偶数项二项式系数和等于奇数项二项式系数和，即C：+C：+=C：+C；+=2n，式中令 x=1 则可以得到二项展开式的各项系数和.2.二项式系数的性质(1)对称性：与首末两端等距离的两个二项式系数相等，即Cm=C：q.(2)二项式系数 Cnk增减性与最大值：、“n1,一一n1,一一,当k时，二项式系数是递增的；当k之时，二项式系数是递减的22当 n 是偶数时， 中间一项C：取得最大值.当 n 是奇数时， 中间两项Cn2和Cn2相等，且同时取得最大值3 .二项展开式的系数 a0,a1，a2,a3,an的性质：f(x)=a0+a1x+a2x2+a3x3,+an

4、xnao+a1+a2+a3,+an=f(1)ao-a1+a2-a3,+(-1)nan=f(-1)a0+a2+a4+a6,=f(1)+f(-1)a1+a3+as+a7),=f(1)f(-1)22三、经典例题1、“(a+b)n展开式例 1.求(3.反十三)4的展开式；x3x14(3x1)4104132234斛：原式二(7/T)=x2=/C.(3x)+C，(3x)+C，(3x)+C4(3x)+CJ2121=81x84x54x【练习 1】求(3/x；)x2.求展开式中的项例 2.已知在(现1)n的展开式中，第23x(1)求 n；(2)求含 x2的项的系数；(3)求展开式中所有的有理项n-r/r/n-2

5、rr-1r七1r解：(1)通项为Tr书=Cnx3(-)x=(-一)Cnx22因为第 6 项为常数项，所以 r=5 时，有n2r=0,即 n=10.3“10-2r一一一，一一21245(2)令10-r=2,得r=2所以所求的系数为Cj0(1)2=45.324,-10-2r)(3)根据通项公式，由题意-Z30r10,rZ4的展开式6 项为常数项人10-2r3k.令一-一=k(kwZ),则r=55,故k可以取2,0,2,即 r 可以取 2,5,8.所以第 3 项，第 6 项，第 9 项为有理项，它们分别为C12)(-1)2x2C；0(-1)5C18)(-)8x-.222【练习 2】若(疯+J_y展开

6、式中前三项系数成等差数列.求：24x(1)展开式中含 X 的一次哥的项；(2)展开式中所有 X 的有理项.3.二项展开式中的系数例 3.已知(汉+x2)2n的展开式的二项式系数和比(3x1)n的展开式的二项式系数和大 992,求(2xJ2n的展开x式中：(1)二项式系数最大的项；(2)系数的绝对值最大的项(先看例 9).解：由题意知，22n2n=992,所以2n=32,解得 n=5.(1)(1)由二项式系数性质，(2x3)10的展开式中第 6 项的二项式系数最大.T6=C；0(2x)5(1)5=8064.xx(2)设第 r+1 项的系数的绝对值最大，Tr1=C1r0(2x)10()r=(-1)

7、r210C1r0 x10 xrWZ,，r=3,故系数的绝对值最大的项是第 4 项，T4=-C13)27x4=-15360 x4.练习 3已知(彼-马)n(nwN*)的展开式中的第五项的系数与第三项的系数之比是 10：1.x3(1)求展开式中含x2的项；(2)求展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项4、求两个二项式乘积的展开式指定哥的系数例 4.(x2十1)(x2)7的展开式中，x3项的系数是;.3解：在展开式中，x的来源有:26第一个因式中取出x2,则第二个因式必出x,其系数为C7(-2)6;第一个因式中取出 1,则第二个因式中必出 x3,其系数为C4(-2)4664二x3的系数应为:C7(

8、2)6+C7(2)4=1008,.填1008。5、求可化为二项式的三项展开式中指定哥的系数1例 5(04 安徽改编)(x+1-2)3的展开式中，常数项是x解：(x1-2)3=更二1-3=(”，该式展开后常数项只有一项xxx6、求中间项C1r。210上.C；。C；0210,.C1r0129J寸Cr0*2C；011-r_2r2(r1)_10-r3x3(T)3C63,即_20 x例 6 求（衣白10的展开式的中间项;n当n为偶数时，（a+b）n的展开式的中间项是C27、有理项例 7(.x-L)xr解：I1.七;叔/产匚1旷=C；（,）rxJx,当r=0,3,6,9时，所对应的项是有理项。故展开式中有

9、理项有 4 项。当一个代数式各个字母的指数都是整数时，那么这个代数式是有理式；当一个代数式中各个字母的指数不都是整数（或说是不可约分数）时，那么这个代数式是无理式。8、求系数最大或最小项11）特殊的系数最大或最小问题例 8（00 上海）在二项式（x-1）11的展开式中，系数最小的项的系数是为C：（-1）5-462（2） 一般的系数最大或最小问题例 9 求（4+=）8展开式中系数最大的项;24x解得 3EkE4,系数最大的项为第 3 项 T3=7x2和第 4 项 T4=7x。（3） 系数绝对值最大的项例 10 在（x-y）7的展开式中，系数绝对值最大项是解：求系数绝对最大问题都可以将“（a-b）

10、n型转化为（a+b）n型来处理,故此答案为第 4 项C；x3y4,和第 5 项_C：x2y5。9、利用“赋值法”及二项式性质 3 求部分项系数，二项式系数和例 11.若(2x+*,r3)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a,x4,则(a。+a2+a4)2-+as)2的值为解：(2x3)4=a()aiXa?x283x3a4x4令 x=1,有(2+V3)4=a0+a1+a2+a3+a4,令 x=1,有(-2+内)4=(a0+a2+a4)(a1+a3)解：丫千=C10a反）10汽宁）；:展开式的中间项为Cl0(X)(3x)5即： 一252x玉。当n为奇数时,（a+b）n的展开式的中间项是n1n.

11、1nJ_n1n工p2ab和p2abV/nn10的展开式中有理项共有项;，要使项的系数最小，则rr必为奇数，且使C11为取大，由此得r=5,从而可知最小项的系数解：记第r项系数为Tr,设第k项系数最大，则有_Tkj_Tk1又Tr=C；2工,那么有Ck1k28-2毛8一24即k1：2-1k.2-8C88!8!2-1)!.(9-K)!一(K-2)!.(10-K)!8!8!2(K-1)!.(9-K)!-K!(8-K)!1K-122-K-21-9K-K故原式=(a。aia2a3a4).(aoa?a,)一(aas)=(2-,3)4.(-23)4=(-1)4=1【练习】若(1_2x)2004=a。+a1x+

12、a2x2+.+2004x2。4,则(a0+&)+(a+az)+.+(a+a2004)=j解：:(1-2x)2004=a0+a1x+a2x2+2004x2004,令x=1,有(1-2)2004=a0+a1+a2+a2004=1令x=0,有(1-0)2004=a0=1故原式=(a0+a+a2+.+2004)+2003a0=1+2003=2004【练习 2】设(2x1)6=a6x6+a5x5+.+a1x+a,则 a0+a+忖2+.+a6=;r6.1r解：,Tr1=C6(2x)(一1).a0|一同一同|”.一 N=a-a1,a2-a3a4-a5-a6=(aa2a4a6)-a3as)=110 利用二项式定理求近似值例 15.求0.9986的近似值，使误差小于0.001；分析：因为0.9986=(1-0.002)6,故可以用二项式定理展开计算。解：0.9986=(1-0.002)6=16.(-0.002)115.(-0.002)2.(-0.002)6_2_222-T3=C6.(-0.002)2=15(-0.0022=0.000060.001,且第 3 项以后的绝对值都小于0.001,二从第 3 项起，以后的项都可以忽略不计。.0.9986=(1-0.002)616(-0.002)=1-0.012=0.988小结：由(1+x)n=1+c：x+C：x2+.+C：