与椭圆有关的最值问题

1、与椭圆有关的最值问题圆锥曲线在高考中占很重要的地位，每年必考。对椭圆、双曲线、抛物线的研究方法基本相同，椭圆为三曲线之首，对椭圆的学习就更为重要了。而椭圆中的最值问题是比较重要的课题，它主要体现了转化思想及数形结合的应用，涉及到的知识有椭圆定义、标准方程、参数方程、三角函数、二次函数、不等式等内容。能够考查学生的分析能力、理解能力、知识迁移能力、解决问题的能力等等。下面介绍几种常见的与椭圆有关的最值问题的解决方法。1.定义法22例 1。P(-2,3),F2为椭圆X+y=1的右焦点，点 M 在椭圆上移动，求|MP|+|ME|的最大值2516和最小值。M1分析：欲求IMP1+1MFI的最大值和最小

2、值可转化为距离差再求。由此想到椭圆第一定义(、tIMF|=2a-|MF|,F1为椭圆的左焦点。V/oF2/解：|MP|+|MF|=|MP|+2a-|MF|连接 PF1延长 PF1MT交椭圆于点 M1，延长 F1P 交椭圆于点 M2由三角形三边关系知-IPFIIMP|-|MH|=12,(IMP|+|MFI)m.=822，一Xy结论 1:设椭圆+.=1的左右焦点分别为 FF2,P(xo,yo)为椭圆内一点，M(x,y)为椭圆上任意ab一点，则IMP|+|MF|的最大值为 2a+|PFI,最小值为 2a-|PF|22xy例 2:P(-2,6),F2为椭圆十匚=1的右焦点，点 M 在椭圆上移动，求|M

3、P|+|MFI 的最大值和2516最小值。分析：点 P 在椭圆外，PF2 交椭圆于 M,此点使|MP|+|MFl 值最小，求最大值方法同例 1。解：IMP|+|ME|=|MP|+2a-|MF|连接 PF1并延长交椭圆于点 M1,则 M 在 M1处时|MP|-|MFI取最大值IPFi|0|MP|+|MFI最大值是 10+J37,最小值是 J 石。22，一xy结论 2:设椭圆=十*=1的左右焦点分别为、F2,P(xo,yo)为椭圆外一点，M(x,y)为椭圆上任意一点，ab贝 UIMPI+IMFI 的最大值为 2a+IPFI,最小值为 PF2。2.二次函数法22例 3.求定点 A(a,0)到椭圆+丫

4、丁=1 上的点之间的最短距离。a2b2分析：在椭圆上任取一点，由两点间距离公式表示 IPA|,转化为 x,y 的函数，求最小值。1,12解：设 P(x,y)为椭圆上任用一点，|PA|=(x-a)+y=(x-a)+1-x=(x-2a)+1-a 由椭圆方22程知 x 的取值范围是-W於(1)若Ia|t,则 x=22时IPAImin=Ia2I(3)若 a上，则|PA|min=Ia+氏|222xy结论 3：椭圆+彳=1 上的点 M(x,y)到定点 A(m,0)或 B(0,n)距离的最值问题，可以用两点间距离公式 a2b2表示 IMA|或|MB|,通过动点在椭圆上消去 y 或 x,转化为二次函数求最值，

5、注意自变量的取值范围。3.三角函数法2x例 4:椭圆+y2=1上的点 M(x,y)到直线 l:x+2y=4 的距离记为 d,求 d 的最值4222结论 4：若椭圆二十匕=1 上的点到非坐标轴上的定点的距离求最值时，可通过椭圆的参数方程，22ab统一变量转化为三角函数求最值。4.判别式法例 4 的解决还可以用下面方法把直线平移使其与椭圆相切，有两种状态，一种可求最小值，另一种求最大值。解。令直线 m：x+2y+c=0 将 x=-2y-c 代入椭圆方程整理得 8y2+4cy+c2-4=0,由=0 解彳导 c=+22,c=-2V2时直线 m：x+2y-2J2=0 与椭圆切于点 P 则 P 到直线 l

6、 的距离为最小值，且最小值就是两平行分析：若按例 3 那样d=x+2y-4转化为 x 或 y的函数就太麻烦了，为了统一变量，可以用椭圆的参数方程，即三角换元。解：d=x+2y2x2了y=14d=2cos日+2sin日-4|一2sin(v,)-54二、4.5210sin(6+)=1 时,dmin=45二4-5-2,10当 sin(1)=1 时,dmax=45c=2*2时直线 m：x+2y+2，？=0 与椭圆切于点 Q,则 Q 到直线 l 的距离为最大值，且最大值就是两平行结论 5：椭圆上的点到定直线 l 距离的最值问题，可转化为与 l 平行的直线 m 与椭圆相切的问题，利用判别式求出直线 m 方程，再利用平行线间的距离公式求出最值。说