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1、主成分分析 数学知识 线性无关线性无关EAAT 1(2),TAA正交(3)ABBA与正交1. 正交向量组正交向量组1 AATA为正交阵为正交阵 其行其行( (列列) )向量组为单位正交组向量组为单位正交组()YAXA阵是正交正交变换正交变换不改变内积和长度不改变内积和长度2. 正交矩阵正交矩阵必可逆必可逆,0ij (1)1,AA 正交,协方差与相关系数的定义 协方差的定义协方差的定义 EX-E(X)Y-E(Y)称为随机变量X与Y的协方差，记为Cov(X，Y)，即Cov(X，Y)= EX-E(X)Y-E(Y).而当D(X)0, D(Y)0时，称为随机变量X与Y的相关系数。)()(),(YDXDY

2、XCovXY 1、若X与Y相互独立，则：EX-E(X)Y-E(Y)=0.说明EX-E(X)Y-E(Y)的大小反映了X、Y间关联的程度。2、若X、Y的方差是1，则协方差Cov(X，Y)就是相关系数。3、 E(XY)-E(X)E(Y) Cov(X，Y)随机向量的数字特征随机向量的数字特征12121221121(,)1E()E() (),(),()(,)2()()()()EE()() cov(,)= TnTTnnijiijjTijn nnXXXXXXXE XE XE XEXE XXE XXD XD XXXXE XXX 设是一个n维随机向量，、定义随机变量 的均值向量为、设（i,j=1,2, ,n）定

3、义随机协变量 的为方差矩阵22122212E()0,E()E() ()nnnnTTij n nXXXX E X，记为 。3、若则协方差矩阵协方差矩阵1212(,)E()0,E()E() ()0TnTTij n nniiXXXXXXXX E Xnn设是一个n维随机向量，3、若则是一实对称非负定的 阶协方差矩阵。可以证明 具有 个大于零的特征根，记为,所对应的特征向量记为 。1、若A是n阶实对称阵，则一定可以找到正交阵U，使12000000(1,2, )nn niAinA1UU其中，是 的特征根。两个线性代数的结论两个线性代数的结论 2、若上述矩阵的特征根所对应的单位特征向量为 ppppppuuuuuuuuu212222111211),(p1uuU 则实对称阵 属于不同特征根所对应的特征向量是正交的，即有p1uu,令AIUUUU线性代数知识线性代数知识vA是n阶满秩方阵，由Ax=x,|A-I|=0,求出各特征根。由特征根i，求出对应特征向量，所有特征向量构成的矩阵P是正交阵，且满足12000000(1,2, )nn niP APinA1其中，是 的特征根。 v定理：设E(X)=0，E(X

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