离散模型（课堂PPT）

1、主讲人：孙云龙主讲人：孙云龙数学建模课件数学建模课件Module 00-1离散模型离散模型v离散数：可数个有限数、自然数v概率统计：离散型、连续型v模型：差分方程、整数规划、图论、 v知识：离散数学集合、代数、图论、逻辑主讲人：孙云龙主讲人：孙云龙数学建模课件数学建模课件Module 00-2一、层次分析法一、层次分析法v日常工作、生活中的决策问题：多种方案进行选择v多个旅游点的选择；毕业生工作选择；产品发展方向的选择；选择科研课题v比较判断时：人的主观选择起相当大的作用v各因素的重要性难以量化v美国数学家T.L.Saaty 于1970年代提出层次分析法 AHP (Analytic Hiera

2、rchy Process)定性与定量相结合的、系统化、层次化的分析方法背景背景主讲人：孙云龙主讲人：孙云龙数学建模课件数学建模课件Module 00-31、模型一：旅游地选择、模型一：旅游地选择v“五一”出游：三个旅游点的资料P1 景色优美；但：旅游热点，住宿条件较差, 费用高P2 交通方便，住宿条件好，价钱不贵；但景点一般P3 景点不错，住宿、花费都挺好，但：交通不方便v选择哪一个方案?景点旅游吃住费用交通P1P2P3拉萨、九寨、海南、澳洲目标旅游地选择标准景点、交通、费用、条件方案分析主讲人：孙云龙主讲人：孙云龙数学建模课件数学建模课件Module 00-42、基本原理、基本原理v将决策问

3、题分为3个层次：目标层O，准则层C，方案层P；每层有若干元素， 各层元素用直线相连v重要性：用权重表示两两比较确定各准则对目标的权重重要性百分比各方案对每一准则的权重v综合各组权重：确定各方案对目标的权重旅游地选择旅游地选择景点景点旅游旅游吃住吃住费用费用交通交通P1P1P2P2P3P3目标层目标层准则层准则层方案层方案层主讲人：孙云龙主讲人：孙云龙数学建模课件数学建模课件Module 00-5基本步骤基本步骤v 递节层次结构 最上层 目标层 中间层 准则层 最下层 方案层v例：景点旅游吃住费用交通P1P2P3（1）确定层次）确定层次准则1决策目标准则2子准则层方案1方案2主讲人：孙云龙主讲人

4、：孙云龙数学建模课件数学建模课件Module 00-6（2）构造两两比较矩阵）构造两两比较矩阵v定性 量化: 两两比较C1OCiCjCn某层 n 个元素上层元素取元素 Ci, Cj 比较 量化 aij Ci, Cj 对 O 的权重 比较下层元素对上层元素的影响比较尺度比较尺度: aij 1 同等 3 稍强 5 强 7 很强 9 绝对强 中间值 2 4 6 8 且 aji=1/aji 主讲人：孙云龙主讲人：孙云龙数学建模课件数学建模课件Module 00-7两两比较矩阵两两比较矩阵 A=(aij)nn也称为也称为正互反矩阵。正互反矩阵。v如模型如模型1 建立层次分析模型：建立层次分析模型：第二层

5、对第一层进行第二层对第一层进行 C52=10 次比较次比较例例: P1:P2=3 P2:P4=2另另: 可推得可推得: P1:P4=6 但但: P1:P4=5 说明什么说明什么?景点景点旅游旅游吃住吃住费用费用交通交通P1P2P3112/15/1113/12/12313/15231A这一点称为比较判断矩阵的这一点称为比较判断矩阵的不一致性不一致性主讲人：孙云龙主讲人：孙云龙数学建模课件数学建模课件Module 00-8理论分析理论分析vi与与j比较比较 nj j与与k k比较比较 ni i与与j j比较比较 A=(aij)nn : :a aij ij a ajk jk = a= aikik 一

6、致性矩阵一致性矩阵一致性指标一致性指标 -允许范围允许范围否否112/15/1113/12/12313/15231Aa aij ij a ajk jk a aikik主讲人：孙云龙主讲人：孙云龙数学建模课件数学建模课件Module 00-9（3）计算权重向量）计算权重向量v若元素 C1, C2, Cn对 O 的重要性量化比较权重v令其为 ( w1, w2, , wn ) v则: 比较矩阵为C1OCiCjCnA=(aij)n: :a aijija ajkjka aikik12121121211wwnwwnwnwwwwnwwwA反过来？反过来？v由判断矩阵计算被比较元素对于该准则的相对权重进行判断

7、矩阵的一致性检验( w1, w2, , wn )主讲人：孙云龙主讲人：孙云龙数学建模课件数学建模课件Module 00-10v当A=(aij)n ：一致权重向量： W=( w1, w2, , wn )T则：近似有 v于是得: 计算权向量方法12121121211wwnwwnwnwwwwnwwwA11wwv特点:1、R(A) = 1 , = n12wwwn2、AW特征值、向量定义= n W主讲人：孙云龙主讲人：孙云龙数学建模课件数学建模课件Module 00-11计算权向量方法计算权向量方法v特征根法求 A 的最大正特征根 求 A 的对应于 的特征向量 ( w1, w2, , wn )Matla

8、b命令:V,D=eig（A） sumv模型一112/15/1113/12/12313/15231Al01.mMatlab得: =4.2137W=0.4969 0.2513 0.1386 0.1132 景色 吃住 费用 交通主讲人：孙云龙主讲人：孙云龙数学建模课件数学建模课件Module 00-12另有另有v近似算法：和法将 A 的每一列向量归一化 c aa b1ijij ijni将 bij 按行求和得 b c1ij inj将 ci 归一化得W = ( w1, w2, , wn ) cc w1ii ini最大特征值 niiiwAw1)( 主讲人：孙云龙主讲人：孙云龙数学建模课件数学建模课件Mod

9、ule 00-13v当 A 不一致时, nv记 A=A + ,则由 AW = W 或 AW + W = nW+( -n)Wv即: 当( -n)很小时, A与A 的不一致误差很小v于是有:（4）一致性检验）一致性检验N3 4 5 6 7 8 9RI0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45n当 CR 0.1 时, 通过一致性检验一致性指标 CI= ( -n)/(n-1)随机一致性指标 RI 表一致性比率 CR=CI/RI主讲人：孙云龙主讲人：孙云龙数学建模课件数学建模课件Module 00-14模型一模型一v一致性检验 CIA= ( -n)/(n-1) =0.0712；

10、 RIA = 0.9 CRA= CI/RI = 0.07910.1 通过一致性检验v即: 此家庭对 景景 吃吃 费费 行行 的权重为 0.4969 0.2513 0.1386 0.1132=4.2137W=0.4969 0.2513 0.1386 0.1132T112/15/1113/12/12313/15231A景点旅游吃住费用交通P1P2P3主讲人：孙云龙主讲人：孙云龙数学建模课件数学建模课件Module 00-15（5）组合权向量及一致性检验）组合权向量及一致性检验计算各层元素对于系统目标的总排序权重,并进行排序组合权向量: 底层 顶层权权准则1决策目标准则2子准则层方案1方案2W(2)

11、W1(3), W2(3) Wn(3)W(3)方案对决策的权重方案对决策的权重主讲人：孙云龙主讲人：孙云龙数学建模课件数学建模课件Module 00-16求组合权向量方法求组合权向量方法v用第i层权重向量准则1决策准则2方案1方案2准则s方案nii-1i+1第i+1层对i1层的组合权向量W(2)W1(3), W2(3) Wn(3)W(3)对下层权重向量加权平均主讲人：孙云龙主讲人：孙云龙数学建模课件数学建模课件Module 00-17求组合权向量方法求组合权向量方法准则1决策准则2方案1方案2准则s方案n3232321112111212222212www mwwwwwmwww nw nw nmw

12、 nw m（）（）（）（）（）（）2层对1层: W(2) 归一化归一化3层对2层: W1(3), W2(3) Wn(3) 矩阵矩阵 X(3)则: 3层对1层组合权向量组合权向量为 W(3) = X(3) W(2)准则方案准则对决策方案对决策主讲人：孙云龙主讲人：孙云龙数学建模课件数学建模课件Module 00-18组合一致性检验组合一致性检验v下层一致性指标一致性指标 CI= ( -n)/(n-1)随机一致性指标 RI 表一致性比率 CR=CI/RI2层对1层: CR(2) = CI(2) /RI(2) 3层对2层: CI1(3),CI2(3),CIn(3); RI1(3),RI2(3),RI

13、n(3)令: CI (3)= (CI1(3),CI2(3),CIn(3) W(2) RI (3)= (RI1(3),RI2(3),RIn(3) W(2)一致性比率 CR (3) = CR(2)+(CI (3)/ RI (3)一致性检验 CR (3) 0.1第i层权重向量：加权平均v组合一致性比率：CR i+1两层相加v第i+1层对i1层的一致指标CI i+1和RI i+1主讲人：孙云龙主讲人：孙云龙数学建模课件数学建模课件Module 00-19模型一模型一 景点旅游吃住 费用 交通P1P2P3142/ 14/ 117/ 1271B11262/ 1176/ 17/ 112B1242/ 1154

14、/ 15/ 113B17/ 15/ 171353/ 11B4112/15/1113/12/12313/15231Av两两比较矩阵主讲人：孙云龙主讲人：孙云龙数学建模课件数学建模课件Module 00-20v特征值特征向量=3.002，W1=0.6026 0.0823 0.3150=3.080，W2=0.0702 0.3707 0.5590=3.094，W3=0.0989 0.3643 0.5368=3.065，W4=0.2790 0.6491 0.0719=4.2137, WA=0.4969 0.2513 0.1386 0.1132v组合权向量：W (3) = (W1, W2，W3，W4)W=

15、 W(3) W(2)W= 0.3624 0.2580 0.3796Tl02.mvMatlab计算主讲人：孙云龙主讲人：孙云龙数学建模课件数学建模课件Module 00-21v一致性检验：vCI1=0.002/2=0.001; CI2=0.04; CI3=0.047; CI4=0.0325 CR1=0.001/0.58=0.0017; CR2=0.069; CR3=0.081; CR4=0.056; CIA=0.0155/3=0.0712；CRA= 0.0712 /0.9=0.0792未通过一致性检验相对一致性指标均0.1v另：A=1 2 3 4;1/2 1 2 2;1/3 1/2 1 1;1/

16、4 1/2 1 1;主讲人：孙云龙主讲人：孙云龙数学建模课件数学建模课件Module 00-22答案答案v组合权向量vW (3) = .3617, .2538, .3845TvA、B、C三个旅游点相对旅游目标来说v综合打分结果是： P3 点为首选，P1 次之，P2 点应予以淘汰。Mathematic Modeling主讲人：孙云龙主讲人：孙云龙数学建模课件数学建模课件Module 00-23小结小结:v建立层次结构v用比例尺度构造对比矩阵 A=(aij)nnv计算权向量(特征向量法), , ( w1, w2, , wn ) 并做一致性检验 CI= ( -n)/(n-1), RI, CR=CI/

17、RI p2/n2 代表指数v则 p1/(n1 +1)p2/n2 -A p1/(n1 +1)p2/(n2 +1) 对A 不公平值(相对) rA(n1,n2 +1)= -1主讲人：孙云龙主讲人：孙云龙数学建模课件数学建模课件Module 00-35 v比较不公平值(相对)对B rB(n1 +1,n2)= -1对A rA(n1,n2 +1)= -12112) 1(npnp1221) 1(npnp?小n判别法：Q 值法) 1(2222nnp)1(1121nnp?小)1(2iiiinnpQ条件1与此式等价推广公平席位分配?大主讲人：孙云龙主讲人：孙云龙数学建模课件数学建模课件Module 00-36模型

18、求解：模型求解：v各系人数：甲 103、乙 63、丙 34分3席： n1=1 n2=1 n3=1应用 Q 值法分4、5、18席 19席： n1=10 n2=6 n3=3v第20席： Q1=1032/(1011)=96.4 Q2=632/(67)=94.5 Q3=342/(34)=96.3则分配： n1=11 n2=6 n3=3v第21席： Q1=80.4 Q2=94.5 Q3=96.3则分配： n1=11 n2=6 n3=4应用 Q 值法)1(2iiiinnpQ?公平n1=10n2=6n3=4公平席位分配主讲人：孙云龙主讲人：孙云龙数学建模课件数学建模课件Module 00-37进一步的讨论进一步的讨论vQ值方法比“比例加惯例”方法更公平吗？席位分配的理想化准则已知: m方人数分别为 p1, p2,