第四章电磁波的传播（2）§4.2电磁波在介质界面上的反射和

1、第四章第四章 电磁波的传播（电磁波的传播（2 2）4.2 4.2 电磁波在介质界面上的反射和折射电磁波在介质界面上的反射和折射 教师姓名：教师姓名： 宗福建宗福建单位：单位： 山东大学物理学院山东大学物理学院20152015年年1111月月1717日日1. 1. 电磁场波动方程电磁场波动方程 ( (真空中真空中) )令得 山东大学物理学院 宗福建2002222222211010cctct EEBB此即为波动方程。此即为波动方程。由其解可知电磁场具有波动性，电磁场的能量可以从一点转移到另一点。即脱离电荷、电流而独立存在的自由电磁场总是以波动形式运动着。在真空中，一切电磁波（包括各种频率范围的电磁

2、波，如无线电波、光波、X射线和射线等）都以速度C传播，C就是最基本的物理常量之一，即光速。山东大学物理学院 宗福建3222222221010ctctEEBB一般情况下，电磁场的基本方程是麦克斯韦方程组： 0tt BEDEBHJEDB其中 DHJ4山东大学物理学院 宗福建在均匀绝缘介质中，在时谐条件下。2. 2. 时谐电磁波时谐电磁波 研究时谐情形下的麦氏方程组。在一定频率下，有 D D = E E , B B = H H , 消去共同因子 eit 后得 山东大学物理学院 宗福建500ii EHHEEH( , )( )( , )( )( , )( )( , )( )i ti ti ti tx t

3、x ex tx ex tx ex tx eEEBBDDHH2. 2. 时谐电磁波时谐电磁波 在 0 的时谐电磁波情形下这组方程不是独立的。取第一式的散度，由于 （ E E ） = 0 ，因而 H H = 0 ，即得第四式。同样，由的二式可导出第三式。因此，在一定频率下，只有第一、第二式是独立的，其他两式可由以上两式导出。 山东大学物理学院 宗福建62. 2. 时谐电磁波时谐电磁波 亥姆霍兹（亥姆霍兹（Helmholtz)Helmholtz)方程方程山东大学物理学院 宗福建7220()0kkiik EEEBEE2. 2. 时谐电磁波时谐电磁波 亥姆霍兹（亥姆霍兹（Helmholtz)Helmho

4、ltz)方程方程类似地，亦可以把麦氏方程组在一定频率下化为 山东大学物理学院 宗福建8220()0kkiik BBBEBB3. 3. 平面电磁波平面电磁波 任意传播方向的平面电磁波在一般坐标系下平面电磁波的表示式是 式中k k是沿电磁波传播方向的一个矢量，其量值为 | |k k| | = （）1/2 。在特殊坐标系下，当 k k 的方向取为x轴时，有 k k x x = k x 山东大学物理学院 宗福建9()0( , )itte k xEEx3. 3. 平面电磁波平面电磁波 E E、B B 和k k是三个各互相正交的矢量。E E 和B B 同相，振幅比为在真空中，平面电磁波的电场与磁场比值为

5、山东大学物理学院 宗福建101vEB001c EB3. 3. 平面电磁波平面电磁波 概括平面波的特性如下：（1）电磁波为横波，E E 和B B 都与传播方向垂直，TEM波；（2）E E 和B B 互相垂直，E EB B沿波矢k k方向；（3）E E 和B B 同相，振幅比为 。山东大学物理学院 宗福建114. 4. 电磁波的能量和能流电磁波的能量和能流w 和S S 都是随时间迅速脉动的量，实际上我们只需要用到它们的时间平均值。山东大学物理学院 宗福建12220020112211Re(*)22wEBEwcSEHn =n1. 1. 考虑两列振幅相同、偏振方向相同、频率分别为考虑两列振幅相同、偏振方

6、向相同、频率分别为+d+d和和-d-d的线偏振平面波，它们都沿的线偏振平面波，它们都沿z z 轴方向轴方向传播。传播。（1 1） 求合成波，证明波的振幅不是常数，而是一求合成波，证明波的振幅不是常数，而是一个波；个波；（2 2） 求合成波的相位传播速度和振幅传播速度。求合成波的相位传播速度和振幅传播速度。 山东大学物理学院 宗福建13解：由题意得解：由题意得 山东大学物理学院 宗福建141020,cos ()(),cos ()()Ez tEdtkdk zEz tEdtkdk z1200,cos ()()cos ()()2cos()cos()E z tEz tEz tEdtkdk zdtkdk

7、zEdtdk ztkz可以看出，合成波的振幅不是常数，而是波：位相传播速度：振幅传播速度： 山东大学物理学院 宗福建1502cos()Edtdk z振幅：0pztkzztvktk0gdzddtdk zztvdktdk0,2cos()cos()E z tEdtdk ztkz1、反射和折射定律 入射、反射和折射光的频率相等 反射定律：入射角等于反射角 折射定律：。2、振幅关系 菲涅耳公式 布儒斯特定律，布儒斯特角 反射过程中的半波损失3、全反射山东大学物理学院 宗福建16电磁波入射于介质界面时，发生反射和折射现象。关于反射和折射的规律包括两个方面：（1）入射角、反射角和折射角的关系；（2）入射波、

8、反射波和折射波的振幅比和相对相位。任何波动在两个不同界面上的反射和折射现象属于边值问题，它是由波动的基本物理量在边界上的行为确定的，对电磁波来说，是由E 和B 的边界关系确定的。因此，研究电磁波反射折射问题的基础是电磁场在两个不同介质界面上的边值关系。 山东大学物理学院 宗福建174.2 电磁波在介质界面上的反射和折射电磁波在介质界面上的反射和折射1. 1. 反射和折射定律反射和折射定律 一般情况下电磁场的边值关系 山东大学物理学院 宗福建1821212121()0()()()0nEEnHHnDDnBB4.2 电磁波在介质界面上的反射和折射电磁波在介质界面上的反射和折射1. 1. 反射和折射定

9、律反射和折射定律 这组边值关系是麦克斯韦方程组的积分形式应用到边界上的推论。在绝缘介质界面上， = 0 , = 0。 上节我们证明了在一定频率情形下，麦氏方程组不是完全独立的，由第一、二式可导出其他两式。与此相应，边值关系也不是完全独立的。因此，在讨论时谐电磁波时，介质界面上的边值关系只需考虑以下两式：山东大学物理学院 宗福建192121()0()0nEEnHH4.2 电磁波在介质界面上的反射和折射电磁波在介质界面上的反射和折射设介质1和介质2的分界面为无穷大平面，且平面电磁波从介质1入射于界面上，在该处产生反射波和折射波。设反射波和折射波也是平面波（由下面所得结果可知这假定是正确的）。设入射

10、波、反射波和折射波的电场强度分别为 E E、E E和 E E，波矢量分别为 k k、k k 和 k k。山东大学物理学院 宗福建204.2 电磁波在介质界面上的反射和折射电磁波在介质界面上的反射和折射山东大学物理学院 宗福建214.2 电磁波在介质界面上的反射和折射电磁波在介质界面上的反射和折射它们的平面波表示分别为 山东大学物理学院 宗福建22()0( )0( )0itititeee EEEEEEk xk xk x4.2 电磁波在介质界面上的反射和折射电磁波在介质界面上的反射和折射1. 1. 反射和折射定律反射和折射定律 现在先求波矢量方向之间的关系。应用边界条件时，注意介质1中的总场强为入

11、射波与反射波场强的叠加，而介质2中只有折射波，因此有边界条件 山东大学物理学院 宗福建23()( )00( )0()itititeeeEEEk x-k x-kx-nn() nEEn E21()0nEE4.2 电磁波在介质界面上的反射和折射电磁波在介质界面上的反射和折射1. 1. 反射和折射定律反射和折射定律两边同时进行频谱分析，必然有：即，入射、反射和折射光的频率相等入射、反射和折射光的频率相等。山东大学物理学院 宗福建24()( )00( )0()itititeeeEEEk x-k x-kx-nn4.2 电磁波在介质界面上的反射和折射电磁波在介质界面上的反射和折射1. 1. 反射和折射定律反

12、射和折射定律山东大学物理学院 宗福建25()( )00( )0()itititeeeEEEk x-k x-kx-nn000()iieeeEEEk xk xkxnn4.2 电磁波在介质界面上的反射和折射电磁波在介质界面上的反射和折射1. 1. 反射和折射定律反射和折射定律此式必须对整个界面成立。选界面为平面z = 0，则上式应对z = 0和任意x ，y成立。因此三个指数因子必须在此平面上完全相等，山东大学物理学院 宗福建26000()iiieeeEEEk xk xk xnnxyxyxyk xk y= kxky= k xk yk xk xkx4.2 电磁波在介质界面上的反射和折射电磁波在介质界面上

13、的反射和折射1. 1. 反射和折射定律反射和折射定律由于 x 和 y 是任意的，它们的系数应各自相等，取入射波矢在 xz 平面上，有 ky = 0，由上式 ky和 ky” 亦为零。因此，入射波矢、反射波矢和折射波矢都在同一平面上。入射波矢、反射波矢和折射波矢都在同一平面上。山东大学物理学院 宗福建27xxxyyykkkkkk4.2 电磁波在介质界面上的反射和折射电磁波在介质界面上的反射和折射1. 1. 反射和折射定律反射和折射定律以， 和” 分别代表入射角，反射角和折射角，有设 1 和 2 为电磁波在两介质中的相速度， 山东大学物理学院 宗福建28sinsinsinxxxkkkkkk12kkk

14、vv4.2 电磁波在介质界面上的反射和折射电磁波在介质界面上的反射和折射1. 1. 反射和折射定律反射和折射定律这就是我们熟知的反射定律和折射定律反射定律和折射定律 山东大学物理学院 宗福建29xxkk12sinsinxxvkkv4.2 电磁波在介质界面上的反射和折射电磁波在介质界面上的反射和折射1. 1. 反射和折射定律反射和折射定律对电磁波来说， = 1/()1/2，因此：n21为介质2相对与介质1的折射率。 山东大学物理学院 宗福建302212121 1sinsinvnv 4.2 电磁波在介质界面上的反射和折射电磁波在介质界面上的反射和折射2. 2. 振幅关系振幅关系 菲涅耳（菲涅耳（F

15、resnelFresnel）公式）公式应用边值关系求入射、反射和折射的振幅关系由于对每一波矢 k 由两个独立的偏振波，所以需要分别讨论 E 垂直于入射面和 E 平行于入射面两种情形。 山东大学物理学院 宗福建312121()0()0nEEnHH()()nEEn EnHHn H4.2 电磁波在介质界面上的反射和折射电磁波在介质界面上的反射和折射2. 2. 振幅关系振幅关系 菲涅耳（菲涅耳（FresnelFresnel）公式）公式（1）E E 垂直入射面山东大学物理学院 宗福建324.2 电磁波在介质界面上的反射和折射电磁波在介质界面上的反射和折射2. 2. 振幅关系振幅关系 菲涅耳（菲涅耳（Fr

16、esnelFresnel）公式）公式（1）E E 垂直入射面边值关系式为山东大学物理学院 宗福建330coscos cos1EEEHHHvHEEB4.2 电磁波在介质界面上的反射和折射电磁波在介质界面上的反射和折射2. 2. 振幅关系振幅关系 菲涅耳（菲涅耳（FresnelFresnel）公式）公式（1）E 垂直入射面H = (/)1/2 E，取=0 山东大学物理学院 宗福建3412()coscosEEEEEE4.2 电磁波在介质界面上的反射和折射电磁波在介质界面上的反射和折射2. 2. 振幅关系振幅关系 菲涅耳（菲涅耳（FresnelFresnel）公式）公式（1）E 垂直入射面利用反射定律

17、和折射定律得 山东大学物理学院 宗福建351212112coscossin()sin()coscos2cos2cos sinsin()coscosEEEE 4.2 电磁波在介质界面上的反射和折射电磁波在介质界面上的反射和折射2. 2. 振幅关系振幅关系 菲涅耳（菲涅耳（FresnelFresnel）公式）公式（2）E 平行入射面山东大学物理学院 宗福建364.2 电磁波在介质界面上的反射和折射电磁波在介质界面上的反射和折射2. 2. 振幅关系振幅关系 菲涅耳（菲涅耳（FresnelFresnel）公式）公式（2）E 平行入射面边值关系式为山东大学物理学院 宗福建370coscoscos1EEE

18、HHHvHEEB4.2 电磁波在介质界面上的反射和折射电磁波在介质界面上的反射和折射2. 2. 振幅关系振幅关系 菲涅耳（菲涅耳（FresnelFresnel）公式）公式（2）E 平行入射面H = (/)1/2 E，取=0山东大学物理学院 宗福建3812coscoscos()EEEEEE4.2 电磁波在介质界面上的反射和折射电磁波在介质界面上的反射和折射2. 2. 振幅关系振幅关系 菲涅耳（菲涅耳（FresnelFresnel）公式）公式（2）E 平行入射面利用反射定律和折射定律得山东大学物理学院 宗福建39()()2cossinsin()cos()EtgEtgEE4.2 电磁波在介质界面上的

19、反射和折射电磁波在介质界面上的反射和折射2. 2. 振幅关系振幅关系 菲涅耳（菲涅耳（FresnelFresnel）公式）公式表示反射波、折射波与入射波场强的比值。 山东大学物理学院 宗福建40()()2cossinsin()cos()EtgEtgEE1212112coscossin()sin()coscos2cos2cos sinsin()coscosEEEE 4.2 电磁波在介质界面上的反射和折射电磁波在介质界面上的反射和折射2. 2. 振幅关系振幅关系 菲涅耳（菲涅耳（FresnelFresnel）公式）公式在任意方向，可以分解为在任意方向，可以分解为由这些公式看出，垂直入射面偏振的波与

20、平行入射面偏振的波的反射和折射行为不同。如果入射波为自然光（即两种偏振光的等量混合），经过反射或折射后，由于两个偏振分量的反射和折射波强度不同，因而反射波和折射波都变为部分偏振光。山东大学物理学院 宗福建41EEE4.2 电磁波在介质界面上的反射和折射电磁波在介质界面上的反射和折射2. 2. 振幅关系振幅关系 菲涅耳（菲涅耳（FresnelFresnel）公式）公式在+=90的特殊情况下，E平行于入射面的分量没有反射波，因而反射光变为垂直入射面偏振的完全偏振光，这时光学中的布儒斯特（布儒斯特（Brewster）定律）定律，这情形下的入射角为布儒斯特角布儒斯特角。 山东大学物理学院 宗福建42(

21、)()2cossinsin()cos()EtgEtgEE4.2 电磁波在介质界面上的反射和折射电磁波在介质界面上的反射和折射2. 2. 振幅关系振幅关系 菲涅耳（菲涅耳（FresnelFresnel）公式）公式菲涅耳公式同时也给出入射波、反射波和折射波的相位关系。在E垂直入射的情形，因为当21时，因此E /E为负数，即反射波电场于入射波电场反相，这现象称为反反射过程中的半波损失射过程中的半波损失。 山东大学物理学院 宗福建431212112coscossin()sin()coscos2cos2cos sinsin()coscosEEEE 4.2 电磁波在介质界面上的反射和折射电磁波在介质界面上

22、的反射和折射2. 2. 振幅关系振幅关系 菲涅耳（菲涅耳（FresnelFresnel）公式）公式菲涅耳公式同时也给出入射波、反射波和折射波的相位关系。在E垂直入射的情形，因为当21时，因此E /E为负数，即反射波电场于入射波电场反相，这现象称为反反射过程中的半波损失射过程中的半波损失。 山东大学物理学院 宗福建441212112coscossin()sin()coscos2cos2cos sinsin()coscosEEEE 4.2 电磁波在介质界面上的反射和折射电磁波在介质界面上的反射和折射2. 2. 振幅关系振幅关系 菲涅耳（菲涅耳（FresnelFresnel）公式）公式菲涅耳公式同时

23、也给出入射波、反射波和折射波的相位关系。在E垂直入射的情形，因为当21时，因此E /E为负数，即反射波电场于入射波电场反相，这现象称为反反射过程中的半波损失射过程中的半波损失。 山东大学物理学院 宗福建45()()2cossinsin()cos()EtgEtgEE,2,2EEEE若与同相位；若与反相位。4.2 电磁波在介质界面上的反射和折射电磁波在介质界面上的反射和折射2. 2. 振幅关系振幅关系 菲涅耳（菲涅耳（FresnelFresnel）公式）公式上面的推导结果与光学实验事实完全符合，进一步验证了光的电磁理论的正确性。 山东大学物理学院 宗福建464.2 电磁波在介质界面上的反射和折射电

24、磁波在介质界面上的反射和折射相位关系分析相位关系分析 （1） ，从光疏媒质到光密媒质，从光疏媒质到光密媒质21000,2,2EEEEEEEEEEE，与相位相反与假定相同， 与同相位； 若（小角度入射）与同相位；若（大角度入射）与反相位。但是但是 与与 总是同相位。总是同相位。 E/E 12sinsin 0)sin( 0)sin( 0山东大学物理学院 宗福建47（2） ，从光密媒质到光疏媒质，从光密媒质到光疏媒质21 同相位。与若反相位，与若也总是同相位；与总是同相位，与EEEEEEEE,2,2但但 与与 相 位相 位总 是 相总 是 相同同/E/E 结论：结论：( (1)1)入射波与折射波相位

25、相同，没有相位突变；入射波与折射波相位相同，没有相位突变； (2)(2)入射波与反射波在一定条件下有相位突变。入射波与反射波在一定条件下有相位突变。 对于对于 垂直入射情况：由于按假定方向，垂直入射情况：由于按假定方向， 与与 同同方向，即同相位；若方向，即同相位；若 与假定反向，与假定反向， 与与 反方向，反方向，即相位差即相位差 ，这种现象称为半波损失。，这种现象称为半波损失。EEEEEE山东大学物理学院 宗福建48偏振问题偏振问题 这样，反射和折射波就被变为部分偏振光（各这样，反射和折射波就被变为部分偏振光（各个方向上个方向上 大小不完全相同）。大小不完全相同）。E（2 2）布儒斯特定律

26、：若）布儒斯特定律：若 则反射波则反射波 ，即反射波只有即反射波只有 分量；分量； 若自然光入射，则反射波为完全线偏振波。若自然光入射，则反射波为完全线偏振波。2 0EE（1）入射为自然光（两种偏振光的等量混合，在各）入射为自然光（两种偏振光的等量混合，在各 个方向上个方向上 均相同，均相同， ）EEE即即 EEEE 由菲涅尔公式由菲涅尔公式山东大学物理学院 宗福建49 正入射（正入射（ ）的菲涅尔公式）的菲涅尔公式000 ，其中其中 为相对折射率为相对折射率第二种情况就是半波损失第二种情况就是半波损失0, 0, 10, 0, 1EEnEEn21nnnnEE112121111212nnEEnE

27、E 122211122121 nEE山东大学物理学院 宗福建503. 3. 全反射全反射若1 2，则 n21 n21，这时不能定义实数的折射角，因而将出现不同于一般反射折射的物理现象。现在我们研究这情况下的电磁波解。 山东大学物理学院 宗福建514.2 电磁波在介质界面上的反射和折射电磁波在介质界面上的反射和折射3. 3. 全反射全反射假设在sinn21情形下两介质中的电场形式上仍然用下式表示，边值关系式形式上仍然成立 ：山东大学物理学院 宗福建52()0( )0()0itititeee EEEEEEk xk xk xxxxyyykkkkkk4.2 电磁波在介质界面上的反射和折射电磁波在介质界

28、面上的反射和折射3. 3. 全反射全反射即仍有在 sinn21 情形下有kxk，因而 山东大学物理学院 宗福建531212sinxxkkkvkkknv 222221sinzxkkkikn4.2 电磁波在介质界面上的反射和折射电磁波在介质界面上的反射和折射3. 3. 全反射全反射变为虚数。令 则折射波电场表示式变为仍然是亥姆霍兹方程的解，因此代表在介质2中传播的一种可能波模。 山东大学物理学院 宗福建54()0 xi k xtzee EE2221,sin,zkikn4.2 电磁波在介质界面上的反射和折射电磁波在介质界面上的反射和折射3. 3. 全反射全反射是沿x轴方向传播的电磁波，它的场强沿z轴方向指数衰减。因此，这种电磁波只存在于界面附近一薄层内，该层厚度 1。 1为介质1中的波长。一般来说，透入第二介质中的厚度与波长同数量级。 山东大学物理学院 宗福建5511222221211sin2sinknn4.2 电磁波在介质界面上