新课标高中数学(理科)基础知识

1、新课标高中数学理科根底知识1. 注意区分集合中元素的形式.如：x|y Igx函数的定义域；y| y Igx函 数的值域；x, y | y Igx函数图象上的点集.2. 集合的性质：任何一个集合A是它本身的子集,记为A A. 空集是任何集合的子集，记为 A. 空集是任何非空集合的真子集；注意：条件为A B ,在讨论的时候不要遗忘 了 A 的情况女口： A x|ax2 2x 1 0,如果 AR ,求 a 的取值.答：a 0 CuA|B CuACuB , CuAUB CuAHB ； AiBC AB'iC;AUBUC A U BUC. AIB A A、JB B A BCu B Cu AACu

2、BCu AU B R. AUB 兀素的个数：cardAUB cardA cardB card A B. 含n个元素的集合的子集个数为2n ;真子集非空子集个数为2n 1 ；非空 真子集个数为2n 2.3. 补集思想常运用于解决否认型或正面较复杂的有关问题。女口：函数fx 4x2 2p 2x 2p2p 1在区间1,1上至少存在一个实数c,使fc 0,求实数p的取值范围.答：3,?24. 原命题:p q ；逆命题:q p ；否命题:p q ；逆否命题:q p ； 互为逆否的两个命题是等价的.如：“sin sin 是“ 的条件.答：充分非必要条件5. 假设p q且q p ,那么p是q的充分非必要条件

3、或q是p的必要非充分条 件.6. 注意命题pq的否认与它的否命题的区别：命题p q的否认是p q ;否 命题是p命题“ p或q 的否认是“ p且q ； “ p且q 的否认是“ p或q .如口：“假设a和b都是偶数，那么a b是偶数的否命题是“假设a和b不都是偶 数,那么a b是奇数否认是“假设a和b都是偶数,那么a b是奇数.7. 常见结论的否认形式原结论否认原结论否认是不是:至少有一个一个也没有:都是不都是至多有一个至少有两个大于不大于至少有n个至多有n 1 个小于不小于至多有n个至少有n 1 个对所有x,成立存在某x,不成、立p或qp且q对任何x ,不成、立存在某x,成立p且qp或q1.

4、映射f : A B是：“一对一或多对一的对应；集合 A中的元素必有象 且A中不同元素在B中可以有相同的象；集合B中的元素不一定有原象(即象集 B).2. 函数f : A B是特殊的映射.特殊在定义域A和值域B都是非空数集！据此 可知函数图像与x轴的垂线至多有一个公共点，但与y轴垂线的公共点可能没有，也可能有任意个.3. 函数的三要素：定义域，值域,对应法那么.研究函数的问题一定要注意定义域优 先的原那么.4. 求定义域：使函数解析式有意义(如:分母0 ；偶次根式被开方数非负；对数真 数0,底数0且1 ；零指数幕的底数0);实际问题有意义；假设f(x)定义域为a,b,复合函数fg(x)定义域由a

5、 g(x) b解出；假设fg(x)定义域为a,b,那么f (x)定义域相当于x a,b 时g(x)的值域.5. 求值域常用方法：配方法(二次函数类)：逆求法(反函数法)；换元法(特别注意新元的范围).三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数, 运用三角函数有界性来求值域；不等式法单调性法；数形结合：根据函数的几何意义，利用数形结合的方法来求值域；判别式法慎用：导数法(一般适用于高次多项式函数)6. 求函数解析式的常用方法：待定系数法(所求函数的类型)；代换(配 凑)法；方程的思想一 对等式进行赋值，从而得到关于 f(x)及另外一个 函数的方程组。7. 函数的奇偶性和单调性函数有奇偶性的必要条件是

6、其定义域是关于原点对称的，确定奇偶性方法有定义法、图像法等；假设f(x)是偶函数,那么f(x) f( x) f(|x|)；定义域含零的奇函数必过原点(f(0) 0)；判断函数奇偶性可用定义的等价形式：f(x) f( x) 0或1(f (x) 0) f (x)(4)奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性；偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性；确定函数单调性的方法有定义法、导数法、图像法和特值法(用于小题)复合函数单调性由“同增异减判定.提醒：求单调区间时注意定义域女口：函数y log« x2 2x)的单调递增区间是 .(答：(1,2)28. 函数图象的几种常见变换平移变换：左右平移

7、“左加右减注意是针对x而言；上下平移-“上加下减(注意是针对f(x)而言).翻折变换：f (x) |f(x)| ； f (x)f(|x|).对称变换： 证明函数图像的对称性，即证图像上任意点关于对称中心(轴)的对称点仍 在图像上 证明图像G与C2的对称性，即证G上任意点关于对称中心(轴)的对称点仍 在C2上,反之亦然 函数y f(x)与y f( x)的图像关于直线x 0( y轴)对称；函数y f (x)与函数y f( x)的图像关于直线y 0( x轴)对称； 假设函数y f(x)对x R时，f (a x) f (a x)或f (x) f (2a x)恒成立,那么y f (x)图像关于直线x a

8、对称； 假设y f(x)对x R时，f(a x) f (b x)恒成立,那么y f(x)图像关于直线x =2对称；2 函数y f (a x) , y f (b x)的图像关于直线x b a对称(由a x b x确2定)； 函数y f (x a)与y f(b x)的图像关于直线x - b对称；29. 函数的周期性：假设y f(x)对x R时f(x a) f(x a)恒成立，那么f (x)的周期为2|a| ；假设y f (x)是偶函数,其图像又关于直线x a对称,那么f (x)的周期为2|a| ；假设y f(x)奇函数,其图像又关于直线x a对称,那么f(x)的周期为4|a| ；假设y f(x)关

9、于点(a,O),(b,O)对称,那么f (x)的周期为2|a b| ；y f (x)的图象关于直线x a, x b(a b)对称，那么函数y f(x)的周期为2|a b| ；(6) y f (x)对 xR 时，f(x a)f(x)或 f (x a)1-,那么y f(x)的周期为 f (x)2|a| ；10.对数：logablogan bn (a 0,a1,b0,n R )；对数恒等式loga a 1,loga10, alogaNN(a0,a 1,N0)； loga(M N) logaMlogaN；logaM logaM logaN；logaMn n loga M ；N1loga M -loga

10、M ；n对数换底公式loga N 空亠(a 0,a 1,b 0,b 1)； logb a推论：logab logbc logca 1 log a? loga? a3 log% 1 a. logan.(以上 M 0, N 0,a0,a 1,b 0,b1,c 0,c 1耳忌,an 0且 a1,a2 "pan 均不等于1)11.方程k f(x)有解 k D(D为f (x)的值域)；a f(x)恒成立 a f(x) 最大值,a f (x)恒成立 a f (x)最小值.12. 恒成立问题的处理方法：别离参数法(最值法)；转化为一元二次方程根 的分布问题；13. 处理二次函数的问题勿忘数形结合；

11、二次函数在闭区间上必有最值，求最值 问题用“两看法：一看开口方向；二看对称轴与所给区间的相对位置关系；14. 二次函数解析式的三种形式： 一般式：f (x) axddSn An Bn (A, B a1)；22 bx c(a 0)；顶点式:f (x) a(x h)2 k(a 0)；零点式：f(x) a(x xj(x X2)(a 0).15. 一元二次方程实根分布：先画图再研究0、轴与区间关系、区间端点函数值符号；16. 复合函数：复合函数定义域求法：假设f(x)的定义域为a,b,其复合函数fg(x)的定义域可由不等式a g(x) b解出；假设fg(x)的定义域为a,b,求f (x)的定义域，相当

12、于x a,b时,求g(x)的值域；复合函数的单调性由“同增异减判定.17.函数y axb(ax0,b 0):增区间为(),减区间为如：函数f(x) 在区间(2,)上为增函数，那么实数x 2a的取值范围是).1.由 S 求 an , an3(n 1)Sn Sn 1(n2,nN*)注意验证a1是否包含在后面“的公式中'假设不符合要单独列出.女口：数列an满足印4,Sn Sn 13(昇 2)2.等差数列anan 1 d(d为常数)2an an 1 an 1( n 2,n N*)anan b(a d ,b q d)；特别地，当m n 2p时,t是非零常数是等差数列;3.等差数列的性质：an a

13、m (n m)d , d am an ；m nm n I kam a. alak 反之不一定成立有 am an 2ap ；假设an、bn是等差数列,那么kan tbn k、等差数列的“间隔相等的连续等长片断和序列即 Sm，SmSm，S3mS2m，仍是等差数列；等差数列an,当项数为2n时,S偶 S奇 nd , £S偶anan 1项数为2n1时,S2n 1(2n 1)anAan?fn-f2 n 1.n项和的最大或最小问Bnbn首项为正或为负的递减或递增的等差数列前 题,转化为解不等式an0 (或 anan 10an 100.也可用3 A' Bn的二次函数关系来分析.假设 an

14、m,am n(m n),贝U am n 0 ；假设S,m,Smn(m n),那么Sm n(m n)；假设 Sm Sn (m n),那么 Sm+n=0 ； Sm=3(S 2m Sm)；Snmnd .4.等比数列ana“ 14 q(q 0)an2ananQnd n 2,nN*)n 1ae5. 等比数列的性质n m anaq, q n 假设an、bn是等比数列, 那么kan、anbn等也是等比数列;g(q 1)n aq1)airq 1)nn a1(1 q ) a1 a.qa1 j-(q 1)-q1 q 1 q1 qm n I k aman aM反之不一定成立)；n 需qSnSnqSm'3m等

15、比数列中Sm,S2m Sm,S3m Em"注：各项均不为0仍是等比数列.6. 如果数列an是等差数列,那么数列Aan Aan总有意义是等比数列；如果数列an是等比数列,那么数列loga |an |a 0,a 1是等差数列; 假设an既是等差数列又是等比数列,那么an是非零常数数列； 如果两个等差数列有公共项，那么由他们的公共项顺次组成的数列也是等差 数列，且新数列的公差是原两个等差数列公差的最小公倍数；如果一个等差数列和一个等比数列有 公共项,那么由他们的公共项顺次组成的数列是等比数列，由特殊到一般的方法探求其通项； 三个数成等差的设法：a d,a,a d ；四个数成等差的设法：a

16、3d,a d,a d,a 3d ；三个数成等比的设法：a,a,aq ;四个数成等比的错误设法：号；,aq,aq3为qq q什么？7. 数列的通项的求法：公式法：等差数列通项公式；等比数列通项公式.Sn 即印a2an f n求an用作差法：a.S/n 1)SnSn 1 ,(n 2)ai a?an f n求a.用作商法：a.f (1),(n 1)f(n)f(n 1),(n2)'假设an ! anf n求用迭加法.色丄f n,求an用迭乘法.数列递推式求an,用构造法构造等差、等比数列：形如ankan 1 b, an ka. 1 bn , an ka. 1 an b k,b为常数的递推数列都

17、可以用待定系数法转化为公比为k的等比数列后，再求a.形如a. 的递推数列都可以用“取倒数法求通项kan 1 b8. 数列求和的方法: 公式法：等差数列，等比数列求和公式; 分组求和法； 倒序相加； 乘公比错位相减； 裂项相消法公式：113 2333n(n丄1 _n(n 2与；1)；1222321-n(n61)(2n 1);常见裂项公式n(n 1)11n(n 1)(n1)2n(n 1)n(n k)n； -(n 1)(n2) (n 1)!- 2(n 1)!21.n 1 n n n -/ n9.“分期付款、“森林木材型应用问题 这类应用题一般可转化为等差数列或等比数列问题“卡手指，细心计算“年限.对

18、于“森林木材既增长又砍伐的问题 一到“最后解决.常见放缩公式：2( n 1.n)2( nn 1).但在求解过程中，务必,那么常选用“统一法统利率问题：单利问题：如零存整取储蓄 (单利)本利和计算模型：假设每 期存入本金p元，每期利率为r ,那么n期后£p(1 r) p(1 2r)p(1 nr) p(n 巴 卫 r)(等差数列问题2P元,采用分期等按揭贷款的分期等额还款(复利)模型：假设贷款(向银行借款) 额还款方式，从借款日算起，一期(如一年)后为第一次还款日，如此下去，分n期 还清如果每期利率为r按复利，那么每期等额还款x元应满足：p(1 r)n x(1 r)n 终边与终边相同2k

19、 (k Z)； 终边与终边共线k (k Z)；2. 弧长公式：I | |r ;扇形面积公式：s扇形li ir2 ； 1弧度(1rad )57.3 ."2 23. 三角函数符号(“正号)规律记忆口诀：“一全二正弦，三切四余弦.4. 三角函数同角关系中(八块图)：注意“正、余弦三兄妹sin x cosx、sin x cosx 的关系 .如(sin x cosx)2 1 2sin xcosx 等.5. 对于诱导公式，可用“奇变偶不变，符号看象限概括；(注意：公式中始终视为锐角) x(1 r)n 2x(1 r) x (等比数列问题).6. 角的变换：角与特殊角、角与目标角、角与其倍角或半角、

20、两角 与其和差角等变换.如:()7.重要结论： a sin x等；“ 1 的变换:bcosxa2b sin(xsin 2x其中2cos x 2sin30tantan45 ;重要公式sin2严；cos21 cos28.正弦型y Asin( x的对称轴-一k Z； 对称中心k(,0)( kZ)；余弦型y Acos( x的对称轴kx k Z； 对称中心正弦定理：2R ；sin A sin B sin C2 2(b c) a.ABC中，易得：A BCJ sin Asin(B C),cosAcos(BC) , tanAtan(B C) siB CAB Ccos,cos-sin,2222a bA Bsin

21、 Asin B锐角ABC 中，A B,si nAcosB,cos A2cos B , a2bc2bc210b2ABC结论. tan A tan B tan C tan A tan B tan C .2 2 2 b c a余弦定理：a2 b2 c2 2bccosA,cos Ac2 ,类比得钝角k(2,0)(k Z)；9. 熟知正弦、余弦、正切的和、差、倍公式，正、余弦定理，处理三角形内的三 角函数问题勿忘三内角和等于180 , 一般用正、余弦定理实施边角互化；a b c面角和两向量11. 角的范围：异面直线所成角0,-；直线与平面所成角0,-；2 2的夹角0,;直线的倾斜角0, ； h与12的夹

22、角0,-.注意术语：坡度、仰角、2俯角、方位角等. 设a 论，,13亿2.(1) a/b x1y2 x2y10 ; (2) a b a b 0 x1x2 y1y20.2. 平面向量根本定理：如果el和e2是同一平面内的两个不共线的向量，那么对该 平面内的任一向量a,有且只有一对实数,、2,使a 肩2e2.3. 设a (Xi,yj,b (x?)，那么a b |a|b|cosy2 ；其几何意义是a b等于a的长度与b在a的方向上的投影的乘积；a在b的方向上的投影| a|cosa b X1X2 y2|b|y24. 三点A、B、C共线 AB与AC共线；与AB共线的单位向量 -AB .|ab |5. 平

23、面向量数量积性质：设a (心力),b区,y?),那么cosa b|a|b|xj yi2X1X2yiy2；注意：a,b为锐角a b 0, a,b不同向；a,b为直角a,b为钝角a,b不反向.6. ab同向或有0 |a b| |a|b| |a|b| |a b| ；t ta b反向或有0|a b| |a|b| |a| |b| |a b| ； ab不共线7.平面向量数量积的坐标表示：假设 a (Xi,yi) , bTrT1|a| |b| |a b|a| |b|.(X2, y2),那么 a bX1X2yiy2 ；2a8.三角形中向量性质：AB AC过BC边的中点:AB(I AB|AC)I AC |AB

24、AC . ( )；I AB| | AC | PG (PA PB3PC)GA GBGC 0 G 为ABC的重心; PA PB PB PCPAPC P为ABC的垂心;|BC|PA |CA|PB|AB|PC 0 P为ABC的内心;AB AC(一 一)(0)所在 I AB| |AC |直线过ABC内心.1. 掌握课本上的几个不等式性质，注意使用条件，另外需要特别注意： 假设ab 0, b a,那么1丄.即不等式两边同号时,不等式两边取倒数,不等a b号方向要改变 如果对不等式两边同时乘以一个代数式，要注意它的正负号，如果正负号未定,要注意分类讨论2. 掌握几类不等式一元一次、二次、绝对值不等式、简单的

25、指数、对数不等式的解法,尤其注意用分类讨论的思想解含参数的不等式3. 掌握重要不等式，1均值不等式：假设a,b 0,那么店冷丄 莎 _2_当且仅当a b时a b取等号使用条件：“一正二定三相等常用的方法为：拆、凑、平方等；a,b,c R， a2 b2 c2 ab bc ca当且仅当a b c时，取等号；2 2公式注意变形如： -b2 , ab J2 ；2 2 2假设a b 0,m 0,那么b丄真分数的性质；a a m4. 含绝对值不等式：a, b同号或有0 |a b| |a| |b| |a| |b| |a b| ； a,b异号或有 0 |a b| |a| |b| |a| |b| |a b|.5

26、. 证明不等式常用方法：比拟法：作差比拟：A B 0 A B.注意：假设两个正数作差比拟有困难，可以通过它们的平方差来比拟大小；综合法：由因导果；分析法：执果索因根本步骤：要证需证，只需证；反证法：正难那么反；放缩法：将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的.放缩法的方法有：添加或舍去一些项，如：厂 |a| ； . nn 1 n.将分子或分母放大或缩小利用根本不等式，如：n(n1)口卫.利用常用结论：102012 k ；1 12(k 1)k k1(k 1)k 程度大)；3°1k2 11 12(k 11k2换元法：换元的目的就是减少不等式中变量 常用的换元有三角换元丄程度小；k 1,以

27、使问题化难为易,化繁为简,代数换元.如：知x2 y2 a2 ,可设x a cos,y asin ；知 x2y2 1 ,可设x r cos , y r sin (0 r 1)最值法,如：a f (x)最大值,那么a f (x)恒成立.af(x)最小值,那么a f (x)恒成立.1. 直线的倾斜角 的范围是0,)；2. 直线的倾斜角与斜率的变化关系k tan ()(如右图):23. 直线方程五种形式：点斜式：直线过点(心力)斜率为k，那么直线 方程为y y° k(x x°),它不包括垂直于x轴的直线.斜截式：直线在y轴上的截距为b和斜率k，那么直线方程为y kx b ,它不包括

28、垂直于x轴的直线.两点式：直线经过P»(x1,y1)、巳(°2)两点,那么直线方程为 丄上 丄上， 目2 比 x2 人 它不包括垂直于坐标轴的直线.截距式：直线在x轴和y轴上的截距为a,b,那么直线方程为-丄1,它不a b包括垂直于坐标轴的直线和过原点的直线.一般式：任何直线均可写成Ax By C 0( A,B不同时为0)的形式.提醒：直线方程的各种形式都有局限性.(如点斜式不适用于斜率不存在的直 线,还有截距式呢？)直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为 0.直线两截距相等 直线的 斜率为1或直线过原点；直线两截距互为相反数直线的斜率为1或直线过原点；直线两截距绝对值相等

29、 直线的斜率为1或直线过原点.截距不是距离，截距相等时不要忘了过原点的特殊情形.4.直线h ： AxB1y C1 0 与直线 l2 : A2x B2yC20的位置关系：平行A1 B2A2B10(斜率)且bg 1B2 C10(在y轴上截距)；相交A1 B2A2B10 ；(3)重合A1 B2AB0 且 b1c2B2G 05.直线系方程:过两直线h:Ax B1y C10,l2 :A?xB.yC2 0 .交点的直线系方程可设为 A1x B1y C1(A2x B2y C2) 0 ； 与直线l : AxByC0平行的直线系方程可设为Ax By m 0(mc)； 与直线l : AxByC0垂直的直线系方程可

30、设为Bx Ay n 0.6. 点PS)到直线Ax By C 0的距离公式dJBJ两条平行线Ax By Ci 0与Ax By C2 0的距离是d 巴C2|VA2B7.设二角形 ABC 二顶点 A(Xi,yJ , B(X2,y2), Cgy),那么重心G(XiX2X3yiy23y3-)8. 有关对称的一些结论：点(a,b)关于x轴、y轴、原点、直线y X的对称点分别是(a, b), ( a,b) , ( a, b), (b, a).9.圆的标准方程：(x a)2 (y b)2 r2.圆的一般方程：x2 y2 Dx Ey F 0(D2 E2 4F 0).特别提醒：只有当D2 E2 4F 0时，方程x

31、2 y2 Dx Ey F 0才表示圆心为 (D,-),半径为】D2 E2 4F的圆(二元二次方程2 2 2Ax2 Bxy Cy2 Dx Ey F 0 表示圆 A C 0,且 B 0,D2 E2 4AF 0).圆的参数方程：X a rCOS (为参数),其中圆心为(a,b),半径为r .圆的参y b r si n数方程主要应用是三角换元：x2 y2 r2 x r cos , y rsin ； x2 y2 t2 x r cos , y r sin (0 r t).以 AXyJ、B(X2,y2)为直径的圆的方程(x xj(x x?) (y %)(y y?) 0 ；10.点和圆的位置关系的判断通常用几

32、何法(计算圆心到直线距离).点P(x°,y°)及圆的方程(X a)2 (y b)2 r2.(x° a)2 (y°b)22 r点P在圆外；(X0a)2 (y° b)2 r2点P在圆内；(X0a)2(y° b)2 r2 点P在圆上.11.圆上点的切线方程：点P(x°,y°)在圆 x22yr2上,那么过点P的切线方程为：X0X y°y r2 ；过圆(x a)2 (y b)2 r2 上一点 P(X0,y°)切线方程为2(X0 a)(x a) (y°b)(y b) r .12. 过圆外一点作圆的

33、切线，一定有两条，如果只求出了一条，那么另外一条就是 与x轴垂直的直线.13. 直线与圆的位置关系，通常转化为圆心距与半径的关系，或者利用垂径定理， 构造直角三角形解决弦长问题.d r 相离 d r 相切 d r 相交14. 圆与圆的位置关系，d,两圆的半径分别为 r,R : d R r两圆相离；d R r 两圆相外切；|R r| d R r两圆相交；d |R r|两圆相内切；d |R r |两圆内含；d0两圆同心.15.过圆 G : x2 y2 D1xEF10 , C2 :2 2x y D2XE?yF20交点的圆相交弦系方程为x2y2D1xE1 yF1)22(x yD2xE?yF2)0 .1

34、时为两圆相交弦所在直线方程16. 解决直线与圆的关系问题时，要充分发挥圆的平面几何性质的作用如半径、 半弦长、弦心距构成直角三角形，切线长定理、割线定理、弦切角定理等等.17. 求解线性规划问题的步骤是：1根据实际问题的约束条件列出不等式； 作出可行域，写出目标函数判断几何意义；3确定目标函数的最优位置，从而 获得最优解1. 圆锥曲线的定义：定义中要重视“括号内的限制条件：椭圆中，与两个定点F1,F2的距离的和等于常数加，且此常数加一定要大于冈血I，当常数等于必巧I时，轨迹是线段F1F2, 当常数小于二时，无轨迹；双曲线中，与两定点 F，F的距离的差的绝对值 等于常数知，且此常数如一定要小于闻

35、巴I，定义中的“绝对值与加 J耳骂 加二冈砌，贝y轨迹是以p，产为端点的两条射线，假设加 忸砌，那么轨迹不 存在.假设去掉定义中的绝对值那么轨迹仅表示双曲线的一支.Attention : 1在求解椭圆、双曲线问题时，首先要判断焦点位置，焦点F1, F2 的位置，是椭圆、双曲线的定位条件，它决定椭圆、双曲线标准方程的类型，而 方程中的两个参数 l，确定椭圆、双曲线的形状和大小，是椭圆、双曲线的定 形条件；在求解抛物线问题时，首先要判断开口方向；2在椭圆中，最大, /二护十在双曲线中，亡最大，宀/十护.2. 椭圆以厂1 ：丨为例： 范围：二二二二f =二；焦点：两个焦点二丄；对称性：两条对称轴一

36、一一，一个对称中心o,o，四个顶点丄-一 ，其中长轴长为c-，椭圆，越小，椭圆越圆;2-；，短轴长为2：;离心率： 越大，椭圆越扁.疋-兰二3. 双曲线以 J - j为例：范围：“ 或 焦点：两个焦点 一二* :对称性：两条对称轴"一'-，一个对称中心0,0，两个顶点=：,其中实轴长为2，虚轴长为2匚，特别地，当实轴:，双曲线=J ，等轴双曲线=- -1'-，越小，开口越小，越大，开和虚轴的长相等时，称为等轴双曲线，其方程可设为;-1-一；离心率:八±5口越大；两条渐近线：4.抛物线以为例：范围：a;焦点：一个焦点门点一n2丿与乜仇、3丿占叫航、o在椭圆上-

37、'-14+4>!在椭圆外：；=1；0其中戸的几何意义是：焦点到准线的距离；对称性：一条对称轴r = °，没有对称中心，只有一个顶点0,0丨；准线：一条准线；离心率:+ X_ = |恥和椭圆/酣说沁汕的关系:耳十尊小在椭圆内=16.直线与圆锥曲线的位置关系：相交：直线与椭圆相交；1 直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有 f "，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点， 故丄、】是直 线与双曲线相交的充分不必要条件；- 1 直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有 u J，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交

38、点， 故二、-也仅 是直线与抛物线相交的充分不必要条件7. 直线与圆锥曲线相交的弦长公式 AB .(x1x2)2(y1y2)2或AB 7'1 kT |xi X21 J(i k2)(xX2p2】、：i 右丨比y?l (弦端点y kxc bA(Xi,yi),B(X2,y2),由方程消去 y得到 ax2 bx c 0,0, k 为斜率).F(x,y) 0这里表达了解几中“设而不求的思想；8. 中心在原点,坐标轴为对称轴的椭圆,双曲线方程可设为Ax2 By2 i(对于椭BX22,圆 A 0,B0；9. 抛物线y2 2px(p 0)的焦点弦过焦点的弦为 AB , A(Xi,yJ1丄| AF|BF

39、 | p2那么有如下结论： | AB| Xi X2 p ；2 XiX2 - , yy4210.对于y2 2px(p 0)抛物线上的点的坐标可设为(丛，y。)，以简化计算2pii.圆锥曲线中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理或“点差法求解.b2x丁0 ;在双曲线a y2 2在椭圆予話i中,以p(X0,y0)为中点的弦所在直线斜率k22 .2令占i中，以P(X0,y°)为中点的弦所在直线斜率k 警;在抛物线 aba y0y2 2px(p 0)中，以P(x°,y°)为中点的弦所在直线的斜率k -.y°i3.求轨迹方程的常用方法：直接法：直接通过建立x、y之

40、间的关系，构成F (x, y) 0,是求轨迹的最基 本的方法待定系数法：可先根据条件设所求曲线的方程 ，再由条件确定其待定系数， 代回所列的方程即可代入法相关点法或转移法.定义法：如果能够确定动点的轨迹满足某曲线的定义 ，那么可由曲线的定 义直接写出方程交轨法参数法：当动点Px,y坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关 动点可用时，可考虑将x、y均用一中间变量参数表示,得参数方程，再消去参 数得普通方程13.解析几何与向量综合的有关结论：1给出直线的方向向量u 1, k或u m,n；2给出OA OB与AB相交，等于OA OB过AB的中点；3给出PM PN 0，等于P是MN的中点；4给出AP A

41、Q BP BQ，等于P，Q与AB的中点三点共线；5给出以下情形之一： AB/AC ;存在实数 ，使AB AC ;假设 存在实数 ，且1，使OC OA OB，等于A，B，C三点共线.6给出0P 少 OB，等于 P是AB的定比分点，为定比，即1AP PB ;7给出MA MB 0，等于MA MB，即 AMB是直角，给出MA MB m 0,等于 AMB是钝角，给出MA MB m 0,等于 AMB 是锐角；8给出卫A 型» MP，等于MP是 AMB的平分线；|MA| |MB|9在平行四边形ABCD中，给出AB ADAB AD 0，等于ABCD是 菱形；10在平行四边形ABCD中，给出AD| |

42、AB AD |，等于ABCD是 矩形；2 2 211在 ABC中，给出OA OB OC，等于O是 ABC的外心三角形外接圆的圆心，三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点；12在 ABC中，给出OA OB OC 0，等于O是 ABC的重心三角形的重心是三角形三条中线的交点；13在 ABC中，给出OAOB OB OC OC OA，等于O是 ABC的垂心三角形的垂心是三角形三条高的交点；14在 ABC中，给出 OP OA 上B ZCR等于 AP通过|AB| |AC|ABC的内心；15在 ABC中，给出a OA b OB c OC 0等于O是 ABC的内心三角形内切圆的圆心，三角形的内心是三角形三条

43、角平分线的交点；1 16在 ABC中，给出AD丄AB AC，等于AD是 ABC中BC边的 2中线.九.直线、平面、简单几何体1. 异面直线所成角的求法：平移法：在异面直线中的一条直线中选择一特殊 点,作另一条的平行线.补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体 ，如正方体、平行六面体、 长方体等，其目的在于容易发现两条异面直线间的关系；2. 直线与平面所成角：过斜线上某个特殊点作出平面的垂线段，是产生线面角的 关键.3. 二面角的求法：定义法；三垂线法；垂面法；射影法：利用面积射 影公式S射 S斜 cos其中 为平面角的大小，此方法不必在图形中画出平面角；4. 空间距离的求法：两异面直线间的距

44、离，高考要求是给出公垂线，所以一般 先利用垂直作出公垂线，然后再进行计算.求点到直线的距离，一般用三垂线定 理作出垂线再求解.求点到平面的距离，一是用垂面法，借助面面垂直的性质来作.因此，确定已 知面的垂面是关键；二是不作出公垂线，转化为求三棱锥的高，利用等体积法列方 程求解.5. 用向量方法求空间角：1.向量的数量积和坐标运算a,b是两个非零向量，它们的夹角为 ，那么数|a| |b| cos叫做a与b的数量积或内积，记作a b，即a b |a| |b| cos .其几何意义是a的长度与b在a的方向上的投影的乘积.其坐标运算是:假设 a (x1,y1,z1),b (x2,y2,z2)，那么2

45、2 ' yizi ,|b|2y2 ab x1x2 y1y2 z1z2 =0 a bcosa,bX1X2yi y2 Z1Z22 2yizi(2) 异面直线m,n所成的角分别在直线m, n上取定向量a,b那么异面直线m, n所成的角 等于向量a,b所成的角或其补角，那么cosa迥|a| |b| AB n I|AB| |n|(3) 直线I与平面所成的角在I上取定AB，求平面 的法向量n如图2所示，再求cos那么sin cosn为所求的角的正弦值|AB| |n |(4) 二面角方法一：构造二面角l的两个半平面的法向量n1、n2都取向上的方向，丨，那么方法二：在二面角的棱I上确定两个点A、B，过

46、A、B分别在平面内求出假设二1面角I是“钝角型的,那么其大小等于两法向量补角，即cosnin2|ni |n2 I假设二1面角I是“锐角型的,那么其大小等于两法向量即cosnin2|ni | “2 |ni、n2的夹角的ni、n的夹角,与I垂直的向量ni、n2，那么二面角I的大小等于向量ni、g的夹角，即cos6. 球的体积公式V 4 R3,外表积公式S 4 R2 ;掌握球面上两点A、B间的距3离求法：计算线段AB的长；计算球心角 AOB的弧度数；用弧长公式计算劣弧 AB的长.1. 排列数公式：A1 n(n 1)(n m 1) 一 (m n,m, n N*),当m n时为全m!( n m)!排列A

47、 n!.2. 组合数公式：d A n (n 1) (n m 1) (m n),C0 Cnn 1.n m! m (m 1) (m 2)3 2Vn n3. 组合数性质：cm c； m ； cn cn1 cn.4. 排列组合主要解题方法：优先法：特殊元素优先或特殊位置优先；捆绑法 (相邻问题)；插空法不相邻问题：间接扣除法；(对有限制条件的问题，先从总体考 虑，再把不符合条件的所有情况去掉 多排问题单排法；相同元素分组可采 用隔板法适用与指标分配，每局部至少有一个；先选后排,先分再排(注意 等分分组问题)；涂色问题(先分步考虑至某一步时再分类).5.常用性质：n n! (n 1)! n!;即 nA1

48、 A； A； ; C： C： 1 C： C： 1(1 r n)；6.二项式定理：掌握二项展开式的通项：T： 1 cnan :b：(r 0,1,2,., n)；注意第r + 1项二项式系数与第r + 1项系数的区别.7. 二项式系数具有以下性质： 与首末两端等距离的二项式系数相等；假设n为偶数,中间一项(第n 1项)的二项式系数最大；假设n为奇数,中间两21项)的二项式系数最大. c0 c1c2Cnn02n 2； Cn Cncn c：2n 1 .8. 二项式定理应用：近似计算、整除问题、结合放缩法证明与指数有关的不等式、用赋值法求展开式的某些项的系数的和如f(x) (ax b)n展开式的各项系数

49、和为f (1),奇数项系数和为丄戸(1) f ( 1),偶数项的系数和为-f (1) f ( 1).229. 等可能事件的概率公式：P(A)-;互斥事件有一个发生的概率公式为：P(A B) P(A) P(B);m相互独立事件同时发生的概率公式为P(AB) P(A)P(B);独立重复试验概率公式R(k) C：pk(1 p)n k ； 如果事件A与B互斥，那么事件A与B、A与B及事件A与B也都是互斥事件;如果事件 A、B相互独立，那么事件A、B至少有一个不发生的概率是1 P(AB) 1 P(A)P(B)；7如果事件A与B相互独立，那么事件 A与B至少有 一个发生的概率是1 P(A B) 1 P(A

50、)P(B).1. 理解随机变量，离散型随机变量的定义，能够写出离散型随机变量的分布列，由 概率的性质可知，任意离散型随机变量的分布列都具有下述两个性质：P 0,i 1,2,；(2) P P2 1.2.二项分布记作 B(n, p) (n, p为参数),P( k) C：pkqn k ,记C：pkqnk b(k;n, p) 3. 记住以下重要公式和结论：期望值E 为口 X2p2 Xnpn.方差 D(X1 E )2P1 (X2 E )2P2(Xn E )2pn.标准差 D ; E(a b) aEb;D(ab)a2D .假设 B( n,p)(二项分布),那么 Enp,Dn pq(q1 p).假设 g(k

51、,p)(几何分布),那么e !, d 目.pp4. 掌握抽样的三种方法：简单随机抽样(包括抽签法和随机数表法)；系统抽样，也叫等距抽样；分层抽样(按比例抽样),常用于某个总体由差异明 显的几局部组成的情形.它们的共同点，“每次抽取时的各个个体被抽到的概率相 等.如从含有N个个体的总体中，采用随机抽样法，抽取n个个体,那么每个个体第 一次被抽到的概率为 丄，第二次被抽到的概率为 丄，,故每个个体被抽到的概NN率为n ,即每个个体入样的概率为-.NN5. 总体分布的估计：用样本估计总体，是研究统计问题的一个根本思想方法，一般地,样本容量越大，这种估计就越精确，要求能画出频率分布表和频率分布直方图;学会用样本平均数 X1-(X1 X2n1Xn )nn Xi去估计总体平均数；i