有理系数多项式

1、§ 9有理系数多项式作为因式分解定理的一个特殊情形，有每个次数?1的有理系数多项式都能分解成不可约的有理系数多项式的乘积.但是对于任何一个给定的多项式，要具体地作出它的 分解式却是一个很复杂的问题，即使要判别一个有理系数多项式是否可约也不是一个 容易解决的问题，这一点是有理数域与复数域、实数域不同的.在这一节主要是指出有理系数多项式的两个重要事实：第一，有理系数多项式的因式分解的问题，可以归结为整(数)系数多项式的因式分解问题，并进而解决求有理系数多项式的有理根的问题第二，在有理系数多项式环中有任意次数的不可约多项式.一、有理系数多项式的有理根1.有理系数多项式与整系数多项式设f(x

2、) =anXn - anxna。是一个有理系数多项式.选取适当的整数c乘f(x)，总可以使cf(x)是一个整系数多项式.如果cf(x)的各项系数有公因子，就可以提出来，得到cf(X)二 dg(x),也就是df (x) g(x)c其中g(x)是整系数多项式，且各项系数没有异于土1的公因子2 整系数多项式如果一个非零的整系数多项式g(x)二bnxn'bn4xn4-b0的系数bn,bn亠，b0没有异于土 1的公因子,也就是说它们是互素的，它就称为一个本原多项式.上面的分析说明，任何一个非零的有理系数多项式f(x)都可以表示成一个有理数r与一个本原多项式g(x)的乘积，即f (x)二 rg(x

3、).可以证明，这种表示法除了差一个正负号是唯一的.亦即，如果f(x) =rg(x) =Agi(x),其中g(x), gi(x)都是本原多项式，那么必有r = A,g(x)= g'x)因为f (x)与g(x)只差一个常数倍，所以f (x)的因式分解问题，可以归结为本原多项式g(x)的因式分解问题.3.本原多项式g(x)的因式分解问题.下面进一步指出，一个本原多项式能否分解成两个次数较低的有理系数多项式的乘积 与它能否分解成两个次数较低的整系数多项式的乘积的问题是一致的定理10(Gauss引理)两个本原多项式的乘积还是本原多项式.证明：定理11如果一非零的整系数多项式能够分解成两个次数较低

4、的有理系数多项式的乘积， 那么它一定可以分解两个次数较低的整系数多项式的乘积.证明：以上定理把有理系数多项式在有理数域上是否可约的问题归结到整系数多项式能否分解 成次数较低的整系数多项式的乘积的问题.推论 设f(x),g(x)是整系数多项式，且g(x)是本原多项式，如果f (x)二g(x)h(x)，其中h(x)是有理系数多项式，那么h(x) 一定是整系数多项式.证明：对于有理系数多项式h(x)来讲,h(x)二rhi(x),其中r是有理数,h1(x)是本原多项式所以g(x)hi(x)也是本原多项式.而f(x)是整系数多项式,我们推出r整数.从而h(x) 一定是整系数多项式.4 求整系数多项式的全

5、部有理根的方法.定理12设f(X)二a“xn anjXn a。是一个整系数多项式.而r是它的一个有理根，其中r,s互素,那么s(1) s|an, r|a。；特别如果f(x)的首项系数an =1，那么f(x)的有理根都是整根, 而且是ao的因子.(2) f (x) = (x 一 L)q (x),s其中q(x)是一个整系数多项式.给了一个整系数多项式f(x),设它的最高次项系数的因数是vV2,，Vk,常数项的 因数是uU2,，Ui.那么根据定理12,欲求f (x)的有理根，只需对有限个有理数 竺V j用综合除法来进行试验当有理数 竺 的个数很多时，对它们逐个进行试验还是比拟麻烦的.下面的讨论能够v

6、 j简化计算.首先,1和-1永远在有理数 H中出现,而计算f (1)与f(-1)并不困难.另一方面，v j假设有理数a(= -1)是f (x)的根，那么由定理12,f(x) = (x- ： )q(x)而q(x)也是一个整系数多项式.因此商f(1)1 -a二q(1),f(T)1 a一 q(T)都应该是整数.这样只需对那些使商S 与丄都是整数的 虹 来进行试验.(我们可以1a 1 aV：假定f(1)与f(-1)都不等于零.否那么可以用x-1或x 1除f(x)而考虑所得的商.)例1求多项式的有理根.432f (x) =3x 5x x 5x - 2例2证明f (x) = x -5x 1在有理数域上不可

7、约.证明：如果f(x)可约，那么它至少有一个一次因子，也就是有一个有理根.但是f (x)的有理根只能是 _1.直接验算可知 _1全不是根,因而f (x)在有理数域上 不可约.注意：这种证法只限f(x)的次数乞3.对于?f(x) 3的不行为什么？例如：四次多项式可约，但不一定有一次因式练习P46: 27例1:问是否存在整系数多项式，满足f(17)=10, f(11) = 5二、有理数域上多项式的可约性定理13 (艾森斯坦(Eisenstein)判别法)设f(xanxn anJxnJ- a。是一个整系数多项式假设有一个素数p,使得1. p | an；2 P | 3n 4,3n J2 , 3o ；3. P2 | a°.那么多项式f(x)在有理数域上不可约.由艾森斯坦判断法得到：有理数域上存在任意次的不可约多项式例如f (xxn 2 .,其中n是任意正整数.艾森斯坦判别法的条件只是一个充分条件有时对于某一个多项式f(x),艾森斯坦判断法不能直接应用，但把f (x)适当变形后,就可以应用这个判断法例3设p是一个素数，多项式f (x)二 xpJxp，X 1叫做一个分圆多项式,证明f(x)在QX中不可约证明：令y 1，那么由于(x -1)f (x) =xp