构件的承载能力分析轴向拉伸与压缩

1、直梁的弯曲7.1 梁的类型及计算简图7.1.1 直梁平面弯曲的概念Concepts弯曲变形：杆件在垂直于其轴线的载荷作用下，使原为直线的轴线变为曲线的变形。梁Beam以弯曲变形为主的直杆称为直梁，简称梁。弯曲 bending平面弯曲 plane bending所有外力部作用在纵向对称向内 梁轴线虫口线变为平面曲銭，发朱平血弯用I7.1.2 梁的计算简图载荷：1 集中力 concentrated loads2 集中力偶force-couple3 分布载荷distributed loadsf q M()-m In bFa-T7.1.3 梁的类型(1)简支梁 simple supported bea

2、m上图夕卜伸梁 overhanging beam和弯矩 bending moment7.2.1 梁弯曲时横截面上的内力剪力shearing force问题:任截面处有何内力?该内力正负如何规定?例7 - 1图示的悬臂梁 AB ,长为丨，受均布载荷 q的作用，求梁各横截面上的内力inkII1II1IlliBI 4求内力的方法一一截面法截面法的核心一一截开、代替、平衡内力与外力平衡解：为了显示任一横截面上的内力，假想在距梁的左端为x处沿m-m 截面将梁切开梁发生弯曲变形时，横截面上同时存在着两种内力 剪力一一作用线切于截面、通过截面形心并在纵向对称面内弯矩一一位于纵向对称面内。剪切弯曲一一横截面上

3、既有剪力又有弯矩的弯曲纯弯曲一一梁的横截面上只有弯矩而没有剪力。工程上一般梁跨度L与横截面高度 h之比L/h > 5，其剪力对强度和刚度的影响很小，可忽略不计,故只需考虑弯矩的影响而近似地作为纯弯曲处理。规定：使梁弯曲成上凹下凸的形状时，那么弯矩为正；反之使梁弯曲成下凹上凸形状时，弯矩为负7.2.2 弯矩图 bending moment diagrams弯矩图：以与梁轴线平行的坐标 x表示横截面位置，纵坐标 y按一定比例表示各截面上相应弯矩的大小。例7 2 试作出例7 - 1中悬臂梁的弯矩图。解(1)建立弯矩方程 由例7 1知弯矩方程为1 tM -qx0 < -v< /(2

4、)画弯矩图弯矩方程为一元二次方程，其图象为抛物线。求出其极值点相连便可近似作出其弯矩图。x = 0M = 01 2X = ZM ql二?1 ,x= -M = 一qt22尹例7 3 图示的简支梁 AB，在C点处受到集中力 F作用，尺寸a、b和丨均为，试作出梁的弯矩图LA/1 = 0F-F口 = QLA佥=0Fb-FA/ = 0(2 )建立弯矩方程上例中梁受连续均布载荷作用， 各横截面上的弯矩为 x的一个连续函数，故弯矩可用一个方程来表达，而本例在梁的 C点处有集中力F作用，所以梁应分成 AC和BC两段分别建立弯矩方程。0<Xj <a 皿=昭=珥a <X<1 M-巧勺 +

5、巩.勺一 口)二 0M - Fax> - F(x2 -a) = Fx2 - Fx: +aF = - Fx + aF例7 4 图示的简支梁 AB，在C点处受到集中力偶 M 0作用，尺寸 a、 b和丨均为，试作出梁的 弯矩图。解1求约束反力2 建立弯矩方程 由于梁在C点处有集中力偶 M作用，所以梁应分 AC和BC两段分别建立弯矩方程。ac段M -巧旺二西日匚段 M = Afg F2 策？0 << aa<x7<l3 画弯矩图两个弯矩方程均为直线方程= 0M = 0&= a= A/q兀2 = I2M = 00总结上面例题，可以得到作弯矩图的几点规律：1梁受集中力或

6、集中力偶作用时，弯矩图为直线，并且在集中力作用处，弯矩发生转折；在集中力偶作用处, 弯矩发生突变，突变量为集中力偶的大小。(2)梁受到均布载荷作用时，弯矩图为抛物线，且抛物线的开口方向与均布载荷的方向一致。(3 )梁的两端点假设无集中力偶作用，那么端点处的弯矩为0 ;假设有集中力偶作用时，那么弯矩为集中力偶的大小。7.3梁纯弯曲时的强度条件731 梁纯弯曲(pure bending )的概念 Concepts纯弯曲一一梁的横截面上只有弯矩而没有剪力。Q = 0 ，M =常数。7.3.2 梁纯弯曲时横截面上的正应力Normal Stresses in Beams1 .梁纯弯曲时的 变形特点 Ge

7、ometry of Deformation:平面假设:1变形前为平面变形后仍为平面2始终垂直与轴线中性层 Neutral Surface:既不缩短也不伸长不受压不受拉。中性层是梁上拉伸区与压缩区的分界面。中性轴Neutral Axis:中性层与横截面的交线。变形时横截面是绕中性轴旋转的。2梁纯弯曲时横截面上正应力的分布规律纯弯曲时梁横截面上只有正应力而无切应力由于梁横截面保持平面，所以沿横截面高度方向纵向纤维从缩短到伸长是线性变化的，因此横截面上的正应 力沿横截面高度方向也是线性分布的。以中性轴为界，凹边是压应力，使梁缩短，凸边是拉应力，使梁伸长，横截面上同一高度各点的正应力相等，距 中性轴最

8、远点有最大拉应力和最大压应力，中性轴上各点正应力为零。3 梁纯弯曲时正应力计算公式在弹性范围内，经推导可得梁纯弯曲时横截面上任意一点的正应力为式中，M 为作用在该截面上的弯矩Nmm ； y为计算点到中性轴的距离mm ； I z Moment of Areaabout Z-axis为横截面对中性轴 z的惯性矩mm 4 。在中性轴上 y = 0 ，所以 s = 0 ；当 y = y max 时，s = s max 。最大正应力产生在离中性轴最远的边缘处，Wz横截面对中性轴 z的抗弯截面模量mm 3 计算时，M和y均以绝对值代入，至于弯曲正应力是拉应力还是压应力，那么由欲求应力的点处于受拉侧还是 受

9、压侧来判断。受拉侧的弯曲正应力为正，受压侧的为负。弯曲正应力计算式虽然是在纯弯曲的情况下导出的，但对于剪切弯曲的梁，只要其跨度 L与横截面高度比L/h > 5，仍可运用这些公式计算弯曲正应力。7.3.3 惯性矩和抗弯截面模量简单截面的惯性矩和抗弯截面模量计算公式驾 0.05D1石)d a D眄二眄二亠(1z 32“uy【i/)(ia =D7. 3.4梁纯弯曲时的强度条件对于等截面梁，弯矩最大的截面就是危险截面，其上、下边缘各点的弯曲正应力即为最大工作应力，具有最大工 作应力的点一般称为危险点。梁的弯曲强度条件是：梁内危险点的工作应力不超过材料的许用应力运用梁的弯曲强度条件，可对梁进行强度

10、校核、设计截面和确定许可载荷。例7-6在例了一呂中的简支樂，假设选用C-"加和川的空心国死 截面钢制造*己.知梁的蹲展Un fl-JjWf戻2刖，臬中毂荷F-25iN许 州正应mpWMPe 不计梁的自重，试校核该梁的强險解1确定咼人弯矩据例T 捡钛旳最犬弯矩为1 1QJ 2xlO53価25 > 10V-/iw = 1.667xl0 mm确定抗驾裁闫理量3校核强度L667X1018 7a10j< rr | = 200A侃2所虬该毘强度足够7.4提高梁强度的主要措施提高梁强度的主要措施是:1 降低弯矩M的数值2增大抗弯截面模量W z的数值7.4.1 降低最大弯矩 M max数值的措施1 .合理安排梁的支承2 .合理布置载荷7.4.2合理选择梁的截面1 .形状和面积相同的截面，采用不同的放置方式，那么Wz值可能不相同2 .面积相等而形状不同的截面，其抗弯截面模量Wz值不相同3.截面形状应与材料特性相适应