三棱锥的一个体积公式及其两条推论

1、三棱锥的一个体积公式及其两条推论( 李明 中国医科大学数学教研室110001)摘 要 :本文利用空间向量这个强有力的数学工具推导出了三棱锥的一个体积公式V1abc 12coscos coscos2cos2cos2 （其中 a、 b、 c 为三条侧楞的6长度，、 、为它们的相互夹角，即三个侧面顶角) ，并由该公式推演出了两条推论 .关键词 :三棱锥 体积公式 等夹角三棱锥最大体积0 引言我 们 知 道 , 如 果 O A B的 两 条 边 OA a、 OBb , 其 夹 角 A O B( 显 然( 0 ,), 则OAB 的面积 S1 ab sin( 如图1). 将此结论类比到空间( 如图2),

2、我们2便有如下问题: 如果三棱锥 OABC 的三条侧棱 OAa、 OB b、 OC c , 其 夹 角AOB、BOC、 COA( 显然、 、(0, ),), 则(0,2 )三棱锥 OABC 的体积 V 如何用这些已知的棱长a、 b、 c 及已知的夹角、来表示呢 ?即体积 V 的公式是什么呢 ?1 推导体积 V 的公式首先 , 在图 2 的基础上 , 以三棱锥 O ABC 的顶点 O 为坐标原点 , 以 OA 为 x 轴正向 , 以垂直于 OAB 所在的平面的方向为 z 轴建立右手空间直角坐标系 Oxyz ( 如图 3).zyCcBbOOAxa图 3在图3 中 ,OA(a,0,0), OB(b

3、cos,b sin,0), OC(x, y, z) ( 其中x、 y、 z 为未知数 ),将这些向量带入如下向量方程组:OCcOB OCOB OC cosOA OCOA OC cos我们便得到如下关于x、 y、 z 的代数方程组 :x2y2z2c2x cosy sinccosxc cos由此方程组我们可以求得:c 12coscoscoscos2cos2cos2zsin于是三棱锥的体积为V111ab sinS AOBzz3321abc 12coscoscoscos2cos2cos2(1)62 两条推论由体积公式 (1), 我们可以推演出如下两条推论. 其中推论 2的证明略微复杂 , 下文将详细给

4、出证明步骤 , 而推论 1 的证明显而易见, 不予赘述 .推论 1( 等夹角三棱锥体积公式)如图 4,在三棱锥OABC 中, 如果三条侧棱OA a、 OB b、 OCc ,其夹角 AOBBOCCOA( 显然(0, 2 ), 则3三棱锥 OABC 的体积为V1 abc(1 cos )12cos(2)6OCabBccbABaOAC图 5图 4推论 2(三棱锥最大体积公式)如图 2,三棱锥OABC的三条侧棱O A 、aO B 、 bOC,其夹角AOB 、BOC、CO(显然、 、(0, ),),则当且仅当时 , 即OA、 OB、OC( 02两两垂直时 ( 如图 5), 其体积最大 , 为Vmax1 a

5、bc(3)6证明 :由公式 (1),再结合三个数的均值不等式, 我们有V1 abc 12coscos coscos2cos2cos261 abc12coscoscos33cos2cos2cos261 abc12t33t 2(其中 t3coscoscos )61 abc(1t )2 (1 2t )61 abc31 abc(1 t)(1t)(12t)636上述放大过程 , 第一个 “”中的“ =”成立 , 当且仅当 cos2cos2cos2成立 ;第二个“”中的“ =”成立 , 当且仅当 1t 12t , 即 coscoscos0 .因此 , 两个“”中的“ = ”成立 , 即体积取到最大值Vma

6、x1 abc ,当且仅当6222与coscoscos0同时成立,即coscoscoscoscoscos0 亦即成立 , 也就是 OA、 OB、 OC 两两垂直 ,2证毕 .出师表两汉：诸葛亮先帝创业未半而中道崩殂，今天下三分，益州疲弊，此诚危急存亡之秋也。然侍卫之臣不懈于内，忠志之士忘身于外者，盖追先帝之殊遇，欲报之于陛下也。诚宜开张圣听，以光先帝遗德，恢弘志士之气，不宜妄自菲薄，引喻失义，以塞忠谏之路也。宫中府中，俱为一体；陟罚臧否，不宜异同。若有作奸犯科及为忠善者，宜付有司论其刑赏，以昭陛下平明之理；不宜偏私，使内外异法也。侍中、侍郎郭攸之、费祎、董允等，此皆良实，志虑忠纯，是以先帝简拔以

7、遗陛下：愚以为宫中之事，事无大小，悉以咨之，然后施行，必能裨补阙漏，有所广益。将军向宠，性行淑均，晓畅军事，试用于昔日，先帝称之曰愚以为营中之事，悉以咨之，必能使行阵和睦，优劣得所。“能 ”，是以众议举宠为督：亲贤臣， 远小人， 此先汉所以兴隆也； 亲小人， 远贤臣， 此后汉所以倾颓也。 先帝在时，每与臣论此事， 未尝不叹息痛恨于桓、 灵也。 侍中、尚书、 长史、 参军，此悉贞良死节之臣，愿陛下亲之、信之，则汉室之隆，可计日而待也。臣本布衣，躬耕于南阳，苟全性命于乱世，不求闻达于诸侯。先帝不以臣卑鄙，猥自枉屈，三顾臣于草庐之中，咨臣以当世之事，由是感激，遂许先帝以驱驰。后值倾覆，受任于败军之际，奉命于危难之间，尔来二十有一年矣。先帝知臣谨慎，故临崩寄臣以大事也。受命以来，夙夜忧叹，恐托付不效，以伤先帝之明；故五月渡泸，深入不毛。今南方已定，兵甲已足，当奖率三军，北定中原，庶竭驽钝，攘除奸凶，兴复汉室，还于旧都。此臣所以报先帝而忠陛下之职分也。至于斟酌损益，