正态分布及其经典习题和答案汇总

1、专题：正态分布例：1随机变量 X服从二项分布，且 E X=2.4 , VX=1.44，那么二项分布的参数 n, p的值为答案：B。解析：E Xnp 2.4，V X np(1 p) 1.44。2正态曲线下、横轴上，从均数到的面积为。A 95% B . 50% C . 97.5% D .不能确定与标准差的大小有关80,标准差为10,理论上说在 80答案：B。解析：由正态曲线的特点知。分到90分的人数是A32B16C8D20答案：B。解析:数学成绩是X N(80,102),P(80X 90)p8080Z 90 80P(0 Z 1) 0.3413,48 0.3413 16。3某班有48名同学，一次考试

2、后的数学成绩服从正态分布，平均分为10 104从1, 2, 3, 4, 5这五个数中任取两个数，这两个数之积的数学期望为 答案：8.5。解析：设两数之积为 X,X23456810121520P4 E(X)=8.5.5如图，两个正态分布曲线图：1 为 1,1 x , 2 为 2 2x,那么1 2 ,1 2填大于，小于答案： <,>。解析：由正态密度曲线图象的特征知。 【课内练习】1.标准正态分布的均数与标准差分别为。A 0 与 1 B . 1 与 0 C . 0 与 0 D . 1 与 1答案：A。解析：由标准正态分布的定义知。2正态分布有两个参数与，相应的正态曲线的形状越扁平。A

3、越大B . 越小 C . 越大 D . 越小答案：C。解析：由正态密度曲线图象的特征知。1门_ 23 .已在n个数据X1,X2, ,Xn，那么Xi x是指n i 1A. B .C .D.4 .设 B(n, p) , E 12, D答案：C。解析：由方差的统计定义知。答案：4。解析：Enp12 ,Dnp(1 p)45对某个数学题，甲解出的概率为2乙解出的概率为3两人独立解题。记X为解出该题的人数，那么E34X=。答案：17。解析:12P(X 0)1 13 4丄122 1,P(X 1)3 41345,P(X 2)4122 3 J3 42。4，贝y n的值是1 51 17E(X)012 -2 122

4、 126设随机变量服从正态分布 N(0,1)，那么以下结论正确的选项是 (1)P(|1 a)P(l 1a)P(l1 a)(a 0)P(|1 a)2P(a)1(a0)P(|1 a)1 2P(a)(a0)P(|1 a)1 P(l1a)(a0)答案：(1),(2),(：4)。解析P(l 1a) 0。7抛掷一颗骰子，设所得点数为X，贝U DX=。答案：35。解析：p(x k) -,k 1,2,6，按定义计算得E(X) 7,V(X) 35 。12 6 212【作业本】A组1 袋中装有5只球，编号为1 , 2, 3, 4, 5,从中任取3球，以X表示取出球的最大号码，那么EX丨等于 答案：C。解析：X的分

5、布列为答案:f(x)丄 FV21 一f(X) 2.2 e 4X2B.f(x)Ze?2x2吉e2B。解析：选项 B是标准正态分布密度函数。D. f(x)3. 正态总体为0,1概率密度函数f(x)是A .奇函数B .偶函数C 非奇非偶函数D 既是奇函数又是偶函数答案：B。解析:f(x)2o4.正态总体落在区间0.2,的概率是0. 5,那么相应的正态曲线在x 时到达最咼点。X345p故 E X=3 0.1+4 0.3+5 0.6=4.5。2以下函数是正态分布密度函数的是答案：0.2。解析：正态曲线关于直线x 对称，由题意知 0.2。5次英语测验由40道选择题构成，每道有 4个选项，其中有且仅有一个是

6、正确的，每个选对得3分，选错或不选均不得分，总分值120分，某学生选对一道题的概率为0.7，求该生在这次测验中的成绩的期望为；方差为。答案：&解析：设X为该生选对试题个数，n为成绩，那么XB 50,0.7，n =3X /. E(X)=40 X 0.7=28 V(X)=40xx故 E( n )=E(3X)=3E(X)=84 V( n6某人进行一个试验，假设试验成功那么停止，假设实验失败，再重新试验一次，假设试验三次均失败，那么2放弃试验，假设此人每次试验成功的概率为，求此人试验次数 X的分布列及期望和方差。3解：X的分布列为故 E(X) 1 |7.甲、乙两名射击运发动，甲射击一次命中们独

7、立的射击两次，设乙命中10环的次数为2214939910环的概率为4EX= , Y3X，那么1238第)亦。0.5,乙射击一次命中10环的概率为s,假设他为甲与乙命中10环的差的绝对值求s的值及YX123P221399的分布列及期望答案：解：由可得 X B(2,s)，故EX2s4亍所以s有Y的取值可以是0, 1，2.甲、乙两人命中10环的次数都是0次的概率是甲、乙两人命中10环的次数都是1次的概率是(H 2甲、乙两人命中10环的次数都是2次的概率是136，|)1 12)23)9，所以P(Y 0)13613 ；36 ；甲命中10环的次数是2且乙命中10环的次数是0次的概率是甲命中10环的次数是0

8、且乙命中10环的次数是2次的概率是1 2G 3 (-丄)(222 3(2)136，21所以P(Y 2)36151 36，故P(Y 1) 1P(Y 0)P(Y 2)所以Y的分布列是Y123P131_536236所以Y的期望是EY=1.某产品的废品率为0.05，从中取出B组10个产品，其中的次品数X的方差是 V(X) 10 0.05 0.950.475。答案：B。解析：X B 10, 0.05,12假设正态分布密度函数f(x)e2X 1丁 ,(x R)，以下判断正确的选项是A .有最大值，也有最小值C .有最大值，但没最大值B .有最大值，但没最小值D .无最大值和最小值答案：B。3 在一次英语考

9、试中，考试的成绩服从正态分布(100,36)，那么考试成绩在区间88,112内的概率是A 0 6826 B 0 3174 C. 0 9544 D 0 9974答案：C。解析：由 X N 100, 36,故 P(88 X 112) P(88 ,00 Z112 100)6)P( 2 Z2) 2P(Z 2) 1 0.9544。4 袋中有4个黑球，3个白球，2个红球，从中任取 假设取到一个红球那么得 2分，用X表示得分数，那么2个球，每取到一个黑球得E X=; D(X)=0分，每取到一个白球得1分,X01234P111111633663614165答案：一 ;-65。解析：由题意知，X可取值是0, 1

10、 , 2, 3, 4。易得其概率分布如下:9 162E(X)=0X - + 1 X -+ 2X+ 3X+ 4X=63366369_ 2 1 .21c：2 1121 21142165V(X)=0 X+1X + 2X 一+ 3 X+ 4 X6336636916211111114注：要求次品数的数学期望与方差，应先列出次品数X的分布列。x 2 25 假设随机变量X的概率分布密度函数是(X)122 e8 ,(xR)，那么 E(2X 1)=答案：-5。解析:2,2, E(2X 1)2E(X)12 ( 2)16 一本书有500页，共有100个错字，随机分布在任意一页上，求一页上错字个数X的均值、标准差。1

11、 1解： X B(100,), E(X) 1000.2,V(X)500500100 1 (1 )5005000.1996X 的标准差V(X) 0.04468。&一批电池一节用于手电筒的寿命服从均值为 中任意取一节，问这节电池可持续使用不少于答案：解：电池的使用寿命那么 P(X 40) P(X 空4.4即这节电池可持续使用不少于35.6小时、标准差为4.4小时的正态分布，随机从这批电池 40小时的概率是多少？X I40 35.6、)P(Z 1) 1 P(Z 4.440小时的概率是 0.1587。正态分布1)0.1587双基自测1 设有一正态总体，它的概率密度曲线是函数f (x)的图象,1

12、f(x)卞e-x 丁 ，那么这个正态总体的平均数与标准差分别是()A.10 与 8 B 10 与 2 C 8 与 10 D2与10解析由-r=e- 8 nx - 1021-e8.'2 n d2-,可知d = 2, (1 = 10.答案 B2. (2022-湖北)随机变量 E服从正态分布N2 ,d )，且 P( Ev 4) = 0.8，贝U P(0 v E v 2)等于()A. 0.6 B0.4 C . 0.3解析 由 P( EP( E >4) = P( E v 0) = 0.2，故 P(0 v E v2) = 0.3.应选 C.答案 C3. (2022 广东)随机变量 X服从正态

13、分布 N(3,1)，且P(2 w Xw4) = 0.682 6，贝U P(X> 4)等于().A. 0.158 8 B . 0.158 7 C . 0.158 6 D . 0.158 5解析由正态曲线性质知，其图象关于直线x= 3对称， RX>4) = 0.5 如2 w Xw4) = 0.5 24. (2022 山东)随机变量 X服从正态分布 N(0 , (T2)，假设RX>2) = 0.023，贝U P( 2w Xw2)等于(A. 0.477 B . 0.628 C . 0.954解析 P 2w Xw 2) = 1 2P( X>2) = 0.954.答案 C5. 设随

14、机变量X服从正态分布 N(2,9)，假设P(X>c+ 1) = RX<c 1)，那么c等于().A . 1 B . 2 C . 3 D . 4口 = 2，由正态分布的定义知其函数图象关于x = 2对称，于是c+ 1 + c 12=2, c = 2.答案考向一正态曲线的性质【例1】？假设一个正态分布的概率密度函数是一个偶函数，且该函数的最大值为(1)求该正态分布的概率密度函数的解析式；(2)求正态总体在(一4,4的概率.解(1)由于该正态分布的概率密度函数是一个偶函数，所以其图象关于y轴对称，即1 1+ )，得d = 4,故该正态分布的概率密度函数的解析式是0卩,x ( 8, P(

15、4<Xw 4) = R0 4<Xw 0+ 4) = P( 口一 d <Xw 口+d ) = 0.682 6.【训练1】 设两个正态分布 N 口 1 , d 2)( d 1> 0)和N( 口 2, d 2)( d 2> 0)的密度函数图象如下列图，那么有().A. 口 1 V 12, d 1V d2B .1 1 V 12, d 1 > d2C. 1 1 > 12, d 1V d2D. 1 1 > 12, d 1 > d2解析 根据正态分布N( 1 , d 2)函数的性质：正态分布曲线是一条关于直线x = 1对称，在x = 1处取得最大值的连续

16、钟形曲线；d越大，曲线的最高点越低且较平缓；反过来，d越小，曲线的最高点越高且较陡峭，应选A.考向二服从正态分布的概率计算【例2】？设XN(1,2 2)，试求 (1) P( 1<Xw 3) ; (2) P(3<Xw 5) ; (3) P(X> 5).2解 XN1,2 ), 1= 1, d = 2. P( 1<Xw 3) = R1 2<Xw 1 + 2) = P( 口一 d <Xw 口) = 0.682 6.1 F(3<X<5) = R 3<XW 1) , P(3<XW5) = 0 R 3<X<5) P( 1<X<

17、;3)1 1=2【R1 4<XW 1 + 4) P(1 2<XW 1 + 2)=艮 R 口一 2 d <XW 口 + 2d ) P( 口一 cr <XW 口 + d )1=2 (0.954 4 0.682 6) = 0.135 9.1 1(3) T F(X> 5) = P(X< 3) , F(X> 5) = 1 F( 3<X< 5) = 01 R1 4<X< 1 + 4)1 1=2【1 P( 口 2d <X< 口+ 2 d ) = 2 X (1 0.954 4) = 0.022 8.【训练2】随机变量E服从正态分布N

18、(1,d2)，P(0) = 0.3，那么R Ev 2) =.解析由题意可知，正态分布的图象关于直线x= 1对称，所以P( E > 2) = P( E v 0) = 0.3 , R E考向三正态分布的应用【例3】?2022年中国汽车销售量到达1 700万辆，汽车耗油量对汽车的销售有着非常重要的影响，各个汽车制造企业积极采用新技术降低耗油量，某汽车制造公司为调查某种型号的汽车的耗油情况，共抽查了 1 200名车主，据统计该种型号的汽车的平均耗油为百公里8.0升，并且汽车的耗油量 E服从正态分布 N8 , d2),耗油量E 7,9的概率为0.7，那么耗油量大于 9升的汽车大约有 辆.解 由题意

19、可知EN(8 , d2)，故正态分布曲线以 口= 8为对称轴，又因为P(7 WEW 9) = 0.7，故R7 < E < 9) =2P(8 < E w 9) = 0.7，所以 P(8 < E < 9) = 0.35，而 R E > 8) = 0.5，所以 P( E > 9) = 0.15，故耗油量大于 9 升的汽车大约有 1 200 X 0.15 = 180辆.1【训练3】 工厂制造的某机械零件尺寸X服从正态分布N4, 9，问在一次正常的试验中，取1 000个零件时，不属于区间(3,5这个尺寸范围的零件大约有多少个？1 1解/XN4, 9 , 口= 4, d= 3. 不属于区间(3,5的概率为P(X< 3) + RX>5) = 1 P(3 vX< 5) = 1 R4 1v X<4+ 1) = 1 P( 口一3 d vX 口 + 3 d)=1 0.997 4 = 0.002 6 0.003 , 1 000 X 0.003 =3(个),即不属于区间(3,5这个尺寸范围的零件大约有3个.阅卷报告19正态分布中概率计算错误【问题诊断】正态分布是高中阶段唯一连续型随机变量的分布，这个考点虽然