苏科版八年级上册数学 第二章 等边三角形 知识点与同步训练（解析版）

1、.等边三角形知识精讲一等边三角形的概念等边三角形：三条边都相等的三角形叫做等边三角形等边三角形是一种特殊的等腰三角形二等边三角形的性质等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于三等边三角形的断定断定1：三个角都相等的三角形是等边三角形断定2：有一个角是的等腰三角形是等边三角形四直角三角形性质定理在直角三角形中，假如一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半证明：，延长至使，那么有垂直平分，所以，因为，所以是等边三角形，所以，即五等边三角形与全等三角形综合等边三角形与全等三角形综合问题主要分两种类型：一是以等边三角形为载体来考察全等三角形的综合问题；二是利用全等三角形的性质和断定证明三角

2、形是等边三角形不管是哪种类型都要注意60°角和边的等量关系的应用，尤其是后面学习旋转之后，会出现一些比较难的等边三角形和全等三角形结合的问题三点剖析一考点：1等边三角形的性质与断定；2直角三角形性质定理；3等边三角形与全等三角形综合二重难点：1等边三角形是特殊的等腰三角形，具有等腰三角形的所有性质做题时常作为隐藏条件考察2等边三角形的断定用定义判断的不多，一般都是利用有一个角是的等腰三角形是等边三角形来断定，所以在构造全等是要注意同时兼顾边相等，并且可以推导出有一个角为60°3等边三角形的性质非常特殊，在证明或计算中要注意边角之间的转化，尤其是含30°角的直角三角

3、形中边的关系4在解决建立在等边三角形根底上的全等综合问题时，关键是抓住边相等，角度都是特殊角三易错点：在利用直角三角形性质定理的过程中，需要注意两点：一是必须在直角三角形中才能运用，锐角三角形和钝角三角形均不存在上述关系；二是一定要注意是所对的直角边等于斜边的一半题模精讲题模一：等边三角形的性质例1.1.1 三个等边三角形的位置如下图，假设3=50°，那么1+2=_°【答案】 130【解析】 图中是三个等边三角形，3=50°，ABC=180°-60°-50°=70°，ACB=180°-60°-2=120&

4、#176;-2，BAC=180°-60°-1=120°-1，ABC+ACB+BAC=180°，70°+120°-2+120°-1=180°，1+2=130°故答案为：130例1.1.2 如图，等边ABC的周长是9，D是AC边上的中点，E在BC的延长线上假设DE=DB，那么CE的长为_【答案】 【解析】 该题考察的是ABC为等边三角形，D为AC边上的中点，BD为的平分线，又，即，等边ABC的周长为9，即例1.1.3 在等边ABC中，D是边AC上一点，连接BD，将BCD绕点B逆时针旋转60°，得到B

5、AE，连接ED，假设BC=5，BD=4那么以下结论错误的选项是A AEBCB ADE=BDCC BDE是等边三角形D ADE的周长是9【答案】B【解析】 此题考察的是图形旋转的性质及等边三角形的断定与性质，平行线的断定，熟知旋转前、后的图形全等是解答此题的关键首先由旋转的性质可知AED=ABC=60°，所以看得AEBC，先由ABC是等边三角形得出AC=AB=BC=5，根据图形旋转的性质得出AE=CD，BD=BE，故可得出AE+AD=AD+CD=AC=5，由EBD=60°，BE=BD即可判断出BDE是等边三角形，故DE=BD=4，故AED的周长=AE+AD+DE=AC+BD=

6、9，问题得解ABC是等边三角形，ABC=C=60°，将BCD绕点B逆时针旋转60°，得到BAE，EAB=C=ABC=60°，AEBC，应选项A正确；ABC是等边三角形，AC=AB=BC=5，BAEBCD逆时针旋旋转60°得出，AE=CD，BD=BE，EBD=60°，AE+AD=AD+CD=AC=5，EBD=60°，BE=BD，BDE是等边三角形，应选项C正确；DE=BD=4，AED的周长=AE+AD+DE=AC+BD=9，应选项D正确；而选项B没有条件证明ADE=BDC，结论错误的选项是B，应选：B题模二：等边的断定例1.2.1 如下

7、图，AD是的中线，把沿直线AD折叠后，点C落在位置，那么的长为_.ACDB【答案】 4【解析】 此题考察的是等边三角形由题意， ，有一个角为的等腰三角形为等边三角形， 故此题的答案是4例1.2.2 ：如图，点为线段上一点，都是等边三角形，交于点，交于点1求证：；2求证：为等边三角形【答案】 见解析【解析】 1，是等边三角形，即在和中，2，又，在和中，为等腰三角形，又，为等边三角形例1.2.3 如图，六边形ABCDEF的六个内角都相等，假设AB=1，BC=CD=3，DE=2，那么这个六边形的周长等于_【答案】 15 【解析】 如图，分别作直线AB、CD、EF的延长线和反向延长线使它们交于点G、H

8、、P六边形ABCDEF的六个角都是120°，六边形ABCDEF的每一个外角的度数都是60°AHF、BGC、DPE、GHP都是等边三角形GC=BC=3，DP=DE=2GH=GP=GC+CD+DP=3+3+2=8，FA=HA=GH-AB-BG=8-1-3=4，EF=PH-HF-EP=8-4-2=2六边形的周长为1+3+3+2+4+2=15故答案为：15题模三：30°的角直角三角形等于斜边的一边例1.3.1 如图，中，那么以下关系式正确的为 A B C D 【答案】B【解析】 该题考察的是特殊的直角三角形为等腰三角形，在中，应选B例1.3.2 如图，OP平分，于D，交O

9、A于C.假设，那么_， _.【答案】【解析】 该题考察的是角平分线的性质定理和含30°直角三角形的性质OP平分，过P作于点E，ODBPCAE，OP平分，在中，例1.3.3 如图，在ABC中，AB=AC，D、E是ABC内两点，AD平分BAC，EBC=E=60°，假设BE=6cm，DE=2cm，那么BC=_【答案】 8cm【解析】 延长ED交BC于M，延长AD交BC于N，作DFBC，AB=AC，AD平分BAC，ANBC，BN=CN，EBC=E=60°，BEM为等边三角形，EFD为等边三角形，BE=6cm，DE=2cm，DM=4cm，BEM为等边三角形，EMB=60&#

10、176;，ANBC，DNM=90°，NDM=30°，NM=2cm，BN=4cm，BC=2BN=8cm故答案为：8cm题模四：等边三角形与全等三角形综合例1.4.1 ：如图，等边三角形ABD与等边三角形ACE具有公共顶点A，连接CD，BE，交于点P1观察度量，的度数为_直接写出结果2假设绕点A将ACE旋转，使得，请你画出变化后的图形示意图3在2的条件下，求出的度数【答案】 1120°2见解析3120°【解析】 此题考察等边三角形及全等三角形的性质与断定1的度数为120°，理由为：证明：ABD与ACE都是等边三角形，即，在DAC与BAE中，DACB

11、AESAS，2作出相应的图形，如下图；3ABD与ACE都是等边三角形，即，在DAC与BAE中，DACBAESAS，例1.4.2 如图，是边长为的等边三角形，是等腰三角形，且以为顶点作一个角，使其两边分别交于点，交于点，连接，那么的周长为_【答案】 6【解析】 延长到，连接，使，连接为等边三角形，为等腰三角形，且，又，在和中，例1.4.3 如图ABC为等边三角形，直线aAB，D为直线BC上任一动点，将一60°角的顶点置于点D处，它的一边始终经过点A，另一边与直线a交于点E1假设D恰好在BC的中点上如图1求证：ADE是等边三角形；2假设D为直线BC上任一点如图2，其他条件不变，上述1的结

12、论是否成立？假设成立，请给予证明；假设不成立，请说明理由【答案】 见解析【解析】 1证明：aAB，且ABC为等边三角形，ADBCABDACE，且，ADE是等边三角形；2在AC上取点F，使，连结DF，DCF是等边三角形，ADFEDCAAS，又，ADE是等边三角形自我总结 课后作业作业1 如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DEAB，过点E作EFDE，交BC的延长线于点F1求F的度数； 2假设CD=2，求DF的长【答案】 130°24【解析】 1ABC是等边三角形，B=60°，DEAB，EDC=B=60°，EFDE，DEF=90°，F

13、=90°EDC=30°；2ACB=60°，EDC=60°，EDC是等边三角形ED=DC=2，DEF=90°，F=30°，DF=2DE=4作业2 如下图，、与都是等边三角形，和分别为和的中点，假设时，那么图形外围的周长是_【答案】 15【解析】 、与都是等边三角形，和分别为和的中点，,图形外围的周长是作业3 如图1，两个等边ABD，CBD的边长均为1，将ABD沿AC方向向右平移到ABD的位置，得到图2，那么阴影部分的周长为_【答案】 2 【解析】 两个等边ABD，CBD的边长均为1，将ABD沿AC方向向右平移到ABD的位置，AM=AN=

14、MN，MO=DM=DO，OD=DE=OE，EG=EC=GC，BG=RG=RB，OM+MN+NR+GR+EG+OE=AD+CD=1+1=2；故答案为：2作业4 如下图，等边ABC的边长为a，P是ABC内一点，PDAB，PEBC，PFAC，点D、E、F分别在BC、AC、AB上，猜测：_，并证明你的猜测【答案】 见解析【解析】 理由如下：如图，延长EP交AB于G，延长FP交BC于H，PEBC，PFAC，ABC是等边三角形，PFG是等边三角形，同理可得PDH是等边三角形，又PDAB，PEBC，四边形BDPG是平行四边形，故答案为a作业5 ：如图，是等边三角形D、E是外两点，连结BE交AC于M，连结AD

15、交CE于N，AD交BE于F，当度数多少时，是等边三角形？并证明你的结论ACMFENDB【答案】 【解析】 该题考察的是全等三角形的断定和性质理由如下：ABC是等边三角形，且，又，在BCE和ACD中，BCEACDSAS即，ECD是等边三角形作业6 在ABC中，将线段BC绕点B逆时针旋转得到线段BD1如图1，直接写出的大小用含的式子表示；2如图2，判断ABE的形状并加以证明；3在2的条件下，连结DE，假设，求的值ADBCADBCE【答案】 12见解析3【解析】 该题考察的是三角形综合1，1分2ABE是等边三角形， 2分 连结AD，CD BDC是等边三角形， 3分又， ABDACD 4分又， ABD

16、EBC ABE是等边三角形 5分3BDC是等边三角形，又，6分 7分作业7 将一张矩形纸片ABCD如下图折叠，使顶点C落在点，那么折痕DE的长为 ABECDA 2B C 4D 1【答案】C【解析】 该题考察的是图形的翻折因为四边形ABCD是矩形，所以，由题意可知，所以所以，此题的正确答案是C作业8 如图，在等边ABC中，点P是AB边上任意一点点P可以与点A重合，过点P作PEBC，垂足为E，过点E作EFAC，垂足为F，过点F作FQAB，垂足为Q，求当BP的长等于多少时，点P与点Q重合？【答案】 【解析】 设，在直角三角形PBE中，那么在直角EFC中，同理：当点P与点Q重合时，即，解得故当时，点P与点Q重合作业9 如图，为等边三角形，AD平分,是等边三角形，以下结论中，, ,.正确的个数为 A 1B 2C 3D 4【答案】D【解析】 该题考察的是三角形的性质ABC为等边三角形，AD为角平分线，ADE是等边三角形，在AEF和ADF中，AEFADFSAS，同理，AEBADB，故正确的个