线性代数第二章矩阵试题及答案

1、第二章矩阵一、知识点复习1、矩阵的定义由mn个数排列成的一个m行n列的表格，两边界以圆括号或方括号，就成为一个mn型矩阵。例如,2-1011-11102254-29<333-18)是一一个45矩阵.一个矩阵中的数称为它的元素，位于第i行第j列的数称为(i,j)位元素。元素全为0的矩阵称为零矩阵，通常就记作0。两个矩阵A和B相等(记作A=B),是指它的行数相等，列数也相等(即它们的类型相同)，并且对应的元素都相等。2、n阶矩阵与几个特殊矩阵行数和列数相等的矩阵称为方阵，行列数都为n的矩阵也常常叫做n阶矩阵。n阶矩阵的从左上角到右下角的对角线称为主对角线。下面列出几类常用的n阶矩阵，它们都是

2、考试大纲中要求掌握的.对角矢I阵：对角线外的的元素都为0的n阶矩阵.单位矩阵：对角线上的的元素都为1的对角矩阵，记作E(或I).数量矢I阵：对角线上的的元素都等于一个常数c的对角矩阵，它就是cE.上三角矩阵：对角线下的的元素都为0的n阶矩阵.下三角矩阵：对角线上的的元素都为0的n阶矩阵.对称矢I阵：满足AT=A矩阵，也就是对任何i,j,(i,j)位的元素和(j,i)位的元素总是相等的n阶矩阵.反对称矩阵：满足AT=-A矩阵.也就是对任何i,j,(i,j)位的元素和(j,i)位的元素之和总等于0的n阶矩阵.反对称矩阵对角线上的元素一定都是0.)正交矩阵：若AAt=AtA=E,则称矩阵A是正交矩阵

3、。(1) A是正交矩阵At=A-1(2)A是正交矩阵A2=1阶梯形矩阵：一个矩阵称为阶梯形矩阵，如果满足：如果它有零行，则都出现在下面。如果它有非零行，则每个非零行的第一个非0元素所在的列号自上而下严格单调递增。把阶梯形矩阵的每个非零行的第一个非0元素所在的位置称为台角。每个矩阵都可以用初等行变换化为阶梯形矩阵，这种运算是在线性代数的各类计算题中频繁运用的基本运算，必须十分熟练。请注意：一个矩阵用初等行变换化得的阶梯形矩阵并不是唯一的，但是其非零行数和台角位置是确定的。3、矩阵的线形运算(1)力口(减)法:两个mn的矩阵A和B可以相加(减)，得到的和(差)仍是mn矩阵，记作A+B(A-B),运

4、算法则为对应元素相加(减).(2)数乘：一个mn的矩阵A与一个数c可以相乘，乘积仍为mn的矩阵，记作cA,运算法则为A的每个元素乘c.这两种运算统称为线性运算，它们满足以下规律：加法交换律：A+B=B+A.2加法结合律：(A+B)+C=A+(B+C).加乘分配律：c(A+B)=cA+cB.(c+d)A=cA+dA.数乘结合律：c(d)A=(cd)A.cA=0c=0或A=0.4、矩阵乘法的定义和性质(1)当矩阵A的列数和B的行数相等时，则A和B可以相乘，乘积记作ABAB的行数和A相等，列数和B相等.AB的(i,j)位元素等于A的第i个行向量和B的第j个列向量(维数相同)对应分量乘积之和.即：Am

5、sBsn矩阵的乘法在规则上与数的乘法有不同：矩阵乘法有条件.矩阵乘法无交换律.即ABBA矩阵乘法无消去律：即一般地由AB=0推不出A=0或B=0.由AB=AC和A0推不出B=C.(无左消去律)由BA=CA和A0推不出B=C.(无右消去律)请注意不要犯一种常见的错误：把数的乘法的性质简单地搬用到矩阵乘法中来.矩阵乘法适合以下法则：加乘分配律A(B+C尸AB+AC,(A+B)C=AC+BC.数乘性质(cA)B=c(AB).结合律(AB)C=A(BC)(2) n阶矩阵的方幕和多项式任何两个n阶矩阵A和B都可以相乘，乘积AB仍是n阶矩阵.并且有行列式性质：|AB|=|A|B|.如果AB=BA，则说A和

6、B可交换.方哥设k是正整数，n阶矩阵A的k次方哥Ak即k个A的连乘积.规定A0=E.显然A的任何两个方哥都是可交换的，并且方哥运算符合指数法则 AkAh=Ak+h.(Ak)h=Akh.但是一般地(AB)k和AkBk不一定相等n阶矩阵的多项式:设f(x)=amxm+am-ixm-1+aix+ao,对n阶矩阵A规定f(A)=amAm+am-iAm-1+aiA+aoE.乘法公式一般地，由于交换性的障碍，小代数中的数的因式分解和乘法公式对于n阶矩阵的不再成立.但是如果公式中所出现的n阶矩阵互相都是互相可交换的，则乘法公式成立.例如当A和B可交换时，有：(AB)2=A22AB+B2;A2-B2=(A+B

7、)(A-B)=(A+B)(A-B).邛,二项展开式成立：(AB门C需A峭'B?等等.i前面两式成立还是A和B可交换的充分必要条件.乘积矩阵的列向量组和行向量组设A是mn矩阵B是ns矩阵，A的列向量组为1,2,，n,B的列向量组为1,2,，s,AB的列向量组为1,2,，s,则根据矩阵乘法的定义容易看出(也是分块法则的特殊情形)：AB的每个列向量为：i=Ai,i=1,2,s.即A(1,2,，s)=(A1,A2,，As). =(b1,b2,bn)T,则A=b11+b22+bnn.应用这两个性质可以得到：如果i=(b1i,b2i,bni)t,则i=AI=b1i1+b2i2+bnin.即:乘积矢

8、B阵AB的第i个列向量i是A的列向量组1,2,，n的线性组合，组合系数就是B的第i个列向量i的各分量。类似地，乘积矩阵AB的第i个行向量是B的行向量组的线性组合，组合系数就是A的第i个行向量的各分量。以上规律在一般教材都没有强调，但只要对矩阵乘法稍加分析就不难得出.它称为A的一个多项式.请特别注意在常数项上加单位矩阵利用以上规律容易得到下面几个简单推论： 用对角矩阵从左侧乘一个矩阵，相当于用的对角线上的各元素依次乘此们无论在理论上和计算中都是很有用的.矩阵的各行向量，用对角矩阵素依次乘此矩阵的各列向量。1mAmn从右侧乘一个矩阵，相当于用的对角线上的各元11 a1222a233a3m 44 a

9、4maa2a3a412iai2a23a34a4m数量矢I阵kE乘一个矩阵相当于用k乘此矩阵；单位矩阵乘一个矩阵仍等于该矩阵。两个同阶对角矩阵的相乘只用把对角线上的对应元素相乘。求对角矩阵的方哥只需把对角线上的每个元素作同次方哥。5、矩阵的行列式A为n阶方阵，由A的元素所构成的行列式称为A的行列式，表示为|A|。若A的行列式|A|0,称A为非奇异方阵，|A|=0,称A为奇异方阵|AB|二|A|B|cA|二Cn|A|.6、矩阵的转置把一个mn的矩阵A行和列互换，得到的nm的矩阵称为A的转置，记作AT(或A)。有以下规律：(AT)T=a.(A+B)T=AT+BT.(cA)T=cAT(AB)T=BTA

10、T|AT|=|A|7、矩阵的等价定义：两个矩阵如果可以用初等变换互相转化，就称它们等价.矩阵的等价的充分必要条件为它们类型相同，秩相等.命题：两个m*n矩阵A与B等价的充要条件是存在m阶满秩矩阵P及n阶满秩矩阵Q,使得A=PBQ8、矩阵方程和可逆矩阵(伴随矩阵)(1)矩阵方程矩阵不能规定除法，乘法的逆运算是解下面两种基本形式的矩阵方程：(1) AX=B.(II)XA=B.这里假定A是行列式不为0的n阶矩阵，在此条件下，这两个方程的解都是存在并且唯一的(否则解的情况比较复杂.)。当B只有一列时，(I)就是一个线性方程组.由克莱姆法则知它有唯一解.如果B有s列,设B=(1,2,，s),则X也应t有

11、s列，记X=(Xi,X2，Xs),则有AX=i,i=1,2,s,这是s个线性方程组，由克莱姆法则，它们都有唯一解，从而AX=B有唯一解。这些方程组系数矩阵都是A,可同时求解，即得(I)的解法：将A和B并列作矩阵(A|B)：对它作初等行变换：使得A变为单位矩阵，此时B变为解X(A|B)(E|X)。(II)的解法：对两边转置化为(I)的形式：ATXT=BT,再用解(I)的方法求出XT,转置彳XX.:(AT|BT)(E|XT)矩阵方程是历年考题中常见的题型，但是考试真题往往并不直接写成(I)或(II)的形式，要用恒等变形简化为以上基本形式再求解。(2)可逆矩阵的定义与意义定义：设A是n阶矩阵，如果存

12、在n阶矩阵B,使得AB=E,BA=E，则称A为可逆矩阵，此时B是唯一的，称为A的逆矩阵，通常记作A-1。如果A可逆，则A在乘法中有消去律：AB=0B=0;AB=ACB=C.(左消去律)；BA=0B=0;BA=CAB=C.(右消去律)如果A可逆，则A在乘法中可移动(化为逆矩阵移到等号另一边)：AB=CB=A-1C,BA=CB=CA-1由此得到基本矩阵方程的逆矩阵解法：(1) AX=B的解X=A-1B(II)XA=B的解X=BA-1.这种解法想法自然，好记忆，但是计算量比初等变换法大(多了一次矩阵乘积运算).(3)矩阵可逆性的判别与性质定理n阶矩阵A可逆|A|0.证明充分性：对AA-1=E两边取行

13、列式得|A|A-1|=1,从而冏0.(并且|A-1|=|A|-1.)必要性：因为|A|0,矩阵方程AX=E和XA=E都有唯一解.设B,C分别是它们的解，即AB=E,CA=E.事实上B=C(B=EB=CAB=CE=C),于是从定义得至ijA可逆.推论如果A和B都是n阶矩阵，则AB=EBA=E.于是只要AB=E(或BA=E)一式成立，则A和B都可逆并且互为逆矩阵.可逆矩阵有以下性质：如果A可逆，则A-1也可逆，并且(A-1)-1=A.AT也可逆，并且(AT)-1=(A-1)T. 当c0时，cA也可逆，并且(cA)-1=c-1A-1. 对任何正整数k,Ak也可逆，并且(Ak)-1=(A-1)k.(规

14、定可逆矩阵A的负整数次方哥A-k=(Ak)-1=(A-1)k.) 如果A和B都可逆，则AB也可逆，并且(AB)-1=B-1A-1.(请自己推广到多个可逆矩阵乘积的情形.)初等矩阵都是可逆矩阵，并且E(i,j)-1=E(i,j),E(i(c)-1=E(i(c-1),E(i,j(c)-1=E(i,j(-c).(4)逆矩阵的计算和伴随矩阵计算逆矩阵的初等变换法当A可逆时，A-1是矩阵方程AX=E的解，于是可用初等行变换或列变换求A-1：初等行变换：A|EE|A1.AE初等列变换：-ETEA1这个方法称为求逆矩阵的初等变换法.它比下面介绍的伴随矩阵法简单得多.伴随矩阵若A是n阶矩阵，记Aj是|A|的(

15、i,j)位元素的代数余子式，规定A的伴随矩阵A11A21AnA*=A12A22An2=(Aij)T.(A1nA2nAjmn请注意，规定n阶矩阵A的伴随矩阵并没有要求A可逆，但是在A可逆时，A*和A-1有密切关系。基本公式：AA*=A*A=|A|E.A-1=A*/|A|,即A*=|A|A-1.因此可通过求A*来计算A1.这就是求逆矩阵的伴随矩阵法.和初等变换法比较，伴随矩阵法的计算量要大得多，除非n=2,一般不用它来求逆矩阵.对于2阶矩阵r.>*r.、ab*d-bcd=-caI，1 d b ad bc c a因此当ad-bc0时，ac例题5.设矩阵A、填空题A23A2E,贝IB1.设1,2

16、,3,均为4维向量，A=1,2,3,B=1,2,3,且|A|二2,|B|解:A2=3,则|A3B|=解：|A3B|)8(|A|3|B|)56A23A2E=2,设Aan，则AATB|B|或者:解：AATa2a1,a2an2a12a22anAAta2anan解：假设AXj01an6.设n阶矩阵一一2A满足A2A3E0,则Aa1a22a2aaa?anada?an2annx1矩阵X,土匀有AX=0,0T(j=1,2,，m).,4.设n维向量m,i是A的列向量。对于,第j个元素不为0,所以j=1,2,，m,010T,2解：由A22A3EQ是A可逆.由7.设8.若得A(AA22A3e2E)3E.所以|A|

17、A10,得A2E3A0,A12E|3E|0,19A2E)A=0。11(-,0,0-),矩阵A22其中E为n阶单位矩阵，则AB=解：ABEaTaE2aTaEaTa2aTaaTa10，则(A3E)11(A29E)一.答案:A3EA2-2A+E=0,则(A-2E)解：A22A二、单项选择题1.设n阶矩阵-1EAA2EA与B等价,当A0时，B0则必有2E2E1A0时，B0时,解：AP1P2BQ1Q22 .下列命题正确的是()，并说明理由.A若A是n阶方阵且AWO,则A可逆B若A,B都是n阶可逆方阵，则A+B可逆C若AB=O,且AWO,则必有B=OD设A是n阶方阵，则A可逆AT必可逆.3 .设A、B都是

18、n阶方阵,下面结论正确的是所以7.1已知20PaAQaPbBQb.一一_1_1于7PbPAAQaQBPB1PA,1QQaQb.(D)是答案.38等价，则6A若A、B均可逆，则A+B可逆.B若A、B均可逆，则AB可逆.C若A+B可逆，则AB可逆.D若A+B可逆，则A,B均可逆.解：若A、B均可逆，则(AB)1B1A18.1D2D3B4C5C6D7a=4以下命题是正确的是()，且说明理由:对任何矩阵A,均有IAATAT解：只有当A是方阵时,(2)A,B,C,D均为n(n>1)阶方阵，若A|DB|C.解：分块矩阵不满足这样的公式。则在B,C,D中与A等价的矩阵为,5.下述命题正确的是()A若A

19、与B等价，则A=B.B若方阵A与方阵B等价，则|AB.A,B,CD均为n阶方阵，若M则MT解:MTATCTBTDT(4)题答案:2ABC若A与可逆矩阵B等价，则A也是可逆矩阵.D若A,B,C,D均为n阶方阵，若A与B等价，C与D等价，则A+C与B+D等价.6.设A、B为同阶可逆矩阵，则1AAB=BAB存在可逆矩阵P,使PAPBC存在可逆矩阵C,使CTACBD存在可逆矩阵P和Q,使PAQB解：因为A可逆，存在可逆Pa,Qa使PaAQaE.(4)A1(6)2MB为n(n>1)阶方阵则AIB.B为可逆矩阵，则AXBC有惟一解X1_11CB1.因为B可逆，存在可逆PB,Qb使PbBQb三、计算题

20、1等价于0M000M000M0nn1.求：i.ABBAii.A2B2iii.BTAT2.3.4.146171739181694615159326135617513511225.计算下列矩阵的值122729993032210529"9933212222999336361k取什么值时，ao1100解：|A10k0k111解下列矩阵方程：00kn可逆，并求其逆。k01110010'A01.k011k1(1)(2)设解:,求An使用数学归纳法1235解：02461011024610110123A2A33(12)22(2)X2212(3)X11140假设Ak=已知三阶矩阵A满足Aii(

21、i123),其中1(1,2,2)T,则Ak(11)2(2,2,1)T,3(2,1,2)T,试求矩阵A.(11)斛：Aa1a,Aa22a2,Aa33a3Aa1，a2,a3(k(11)k)(k1)所以：An=（11)n1nn(n1)2|A|1233<3211,所以A1*A|A|1万一/3<321A111£3212222221-8.已知A、B为3阶矩阵，且满足2ABB4E,其中E是3阶单位矩阵An 2 A201 0 00A32 0 11 1 06.设矩阵A（1）证明：n3时，An（E为三阶单位矩阵）（2）求A100.10解：因为a2110(1)证明：矩阵A-2E可逆。,120,

22、(2)若RI,。，求矩阵ABI20002解：2AA1BAB4A2BAB4AA2EB4A2E8EAA2A3A2E4E8EA2E8B4E所以A3A3A2假设AkAk2A2-1-2则AkAk1A3Ak1A2A=A(k1)2A2所以AnAn2A29.设A,P均为3阶矩阵，PT为P的转置矩阵，且TPAPii.A100A98A2A962A22E50A249E49Pa1，a2,a3,Qaa2,a2,a3，则QTAQ为507.解:5050因为50504949时，a6=E.5050求A11.解:-LP1!001flA611A12A11E,AAAEA:1二0',0O'"101八00(2二

23、10O'0a11a12a131.仅Aa21a22a23a31a32a33设有P2P1A=B,则P2=a21a22a23010Ba11a12a13,P100a31a21a32a22a33a23001此例说明结论：乘积矩阵AB的第i个列向量i是A的列向量组1,2,，n的线性组合，组合系数就是B的第i个列向量i的各分量。类似地，乘积矩阵AB的第i个行向量是B的行向量组的线性组合，组合系数就是A的第i个行向量的各分量。四、关于矩阵的初等变化和初等矩阵知识点矩阵有以下三种初等行变换：交换任意两行的位置。用一个非0的常数乘某一行的各元素。把某一行的倍数加到另一行上。类似地，矩阵还有三种初等列变换，

24、初等行变换与初等列变换统称初等变换。对单位矩阵E作一次初等(行或列)变换，所得到的矩阵称为初等矩阵。有三类初等矩阵：E(i,j):交换E的i,j两行(或列)所得到的矩阵。E(i(c):用非0数c乘E的第i行(或列)所得到的矩阵，也就是把E的对角线上的第i个元素改为c。解：P1A表示互换A的第一、二行.B表示A先互换第一、二行，然后将互换后的矩100阵的第一行乘以(一1)加到第三行.所以P2=010。1012.设A是3阶方阵，将A的第1列与第2列交换得B,再把B的第2列加到第3列得C,则满足AQ=C的可逆矩阵Q为010100010100011A100BB011C，A100011A100C0010

25、01001001001式113fllS%rtLJ0001设a2*,BM白事门Xail02l.丐-0100anai3口"anayi0010-门41门。_1+1431000共中 < 可递,JUrt等舞(A).4T耳6(B)IAlP213月鸟E(i,j(c)(ij)：把E的第j行的c倍加到第i行上(或把第i列的c倍加到第j列上)所得到的矩阵，也就是把E的(i,j)位的元素改为co初等矩阵都是可逆矩阵，并且E(i,j)-1=E(i,j),E(i(c)-1=E(i(c-1),E(i,j(c)-1=E(i,j(-c).解：BAp1P21BP1P2AP2P1AP2P1A111111BAP2P

26、1BP2P1AP1P2AP1P2A4.若可逆矩阵A作下列变化，则A1相应地有怎样的变化？命题：对矩阵作一次初等行(歹U)变换相当于用一个相应的初等矩阵从左(右)乘它.(1)a中i行与j行互换；(2)A中i行乘上非零数k；i<j时，A中第j行乘上数k加到第i行.A1A11解：（1）BEi,jAB1Ei,jAA1Ei,j1A1Ei,jA2OA21O的i列与j列互换。AsA1A2LA(2)BA1E（主对角分块）（副对角分块）(3)BEi,jkAB1A1Ei,j1A1Ei,jkCB1（拉普拉斯）A1的i列乘以k加到第j列上。1B1CA（拉普拉斯）5.已知3阶矩阵A可逆，将A的第2列与第3列交换得

27、到B,再把B的第1列-2倍加到第3列得C,则满足PA-1=C-1的矩阵P为。解：BAE2,3AE2,3E1,32_1_11C1E2,3E1,32A1若A与B都是方阵（不必同阶），则C1PA11AE2,3E1,321A1AE1,32E2,3(1)mnAB若A,B都是n阶方阵,E1,3200E1,32E2,300|ABE|1.求下列矩阵的逆矩阵6.设A是n阶可逆方阵，将A的第i行和第j行对换后得到的矩阵为B,(1)证明B可逆,(2)求AB-1i.解:Ei,jAA,所以B可逆。2111112100210053cossin0sinacos0001ii.iii.10001001001001000iv.5

28、200210000110021Ei,jA1A1Ei,j1A1Ei,j,AB1Ei,ji.解：根据分块矩阵:五、关于分块矩阵的重要结论，其中均B可逆:B1CA1119712301100310052i根据分块矩阵cossincossinsincossincoscossin0sincos0A1(5)A.EnEnAEnEnAEn0iii.1iv.2.设A、B都是n阶可逆矩阵解:AT203.设A为n阶可逆矩阵,计算:(1)A1AEn(2)(4)AEnAEnT解：(1)A,En(2)EnAAEnA(3)A,EnA,En(4)A,EnA,EnT4.设A为n阶非奇异矩阵,a为n维列向量,b为常数，记分块矩阵2

29、)2nEn1A,AT|A|B|(3)EnTAEn(5)EnEnA-EEnATEnEnATAATEnEnEnAATEnEPT*aTA解：PQ因为A?AA(2)证明：矩阵解：PQ5.6.Pq设f(x)x2xx3x4xAEaTAAba(1)计算并化简PQ。bQ可逆的充要条件是x22x23x34x1113设A、B为a(ax2x3x4x11230027阶矩阵,则C的伴随矩阵为:O国力解：因为CCx2x4x5x1123A,B(B2257ETAAbaTAAaTA1aETA1Abx2x3x4xx22x23x34xb)1113则方程0027f(x)=0有几个根。005xx116分别为A、B对应的伴随矩阵,分块矩

30、阵I®0(DiQABXcAbc'=|c|c-：=BA07.设A、B均为2阶矩阵,A,B分别为A、B对应的伴随矩阵，若A2,|B3A(3B)12(1)n22nb1*3A则分块矩阵的伴随矩阵为六、关于伴随矩阵的知识点若A是n阶矩阵，记02A3B003A2B002B3A00D3B2A0AAjT，因此有解:利用AAAE1)n2(2B)1|_2_(1)n6nan*3A1b1Aj是|A|的(i,j)位元素的代数余子式，规定A的伴随矩阵AA*=A*A=|A|E.若A可逆：A*=|A|A-1,即A-1=A*/|A|伴随矩阵的其它性质：如果A可逆，则A*也可逆,并且(A*)-1=A/|A|=(

31、A-1)*0BAAABB10(AT)*=(A*)TAT(Ak)*=(A*)k(Ak)-1=(A-1)k0BAAB003A2B0|A*|=|A|n-1(AB)*=B*A*(cA)*=cn-1A*(AB)T=BTAT(AB)-1=B-1A-18.设A,B均是n阶矩阵,a,Bb,C解：直接利用上述公式简化行列式运算。A11(2B)3A1)nn(1B)13A2*3A当n>2时,(A*)*=|A|n-2A；n=2时,(A*)*=A.证明以上性质:(3)A?AAA?AA1AA1AA1而(2B)12B2nb1*3A3nA3nA3nan1(4)A?AAATATATA?AA1AA1再证明：ATA-A,所以

32、AATTATAA所以AT1 TA 1所以ATAk16.设a(5)AkAkk1AkAkA1kAA1k22，则A13*1(A)_*1一(2A)(6)AA1IIAA1AA1CACACA1CnAA1"解：Ai(8)ABAB同类型公式:(9)Cn1AA1Cn1A.*|A|=1,(A)A|A|AB1ABT2.设A为n阶可逆矩阵*(A)-A3.设n阶矩阵*(A)(A)*(C)(A)4.设A是任kA解：因为AABB1A1B_TT_1BTAT,AB1An1AAn,则（一A）*等于*(B)AA非奇异(n(C)(1)nA*2),|A|n|A|n3阶方阵,An",B1A1(D)(1)n1A*A*是

33、A的伴随矩阵，则*n1(B)(A)|A|An2(D)(A)|A|n2AA?是其伴随矩阵，又k为常数，且k0,1,则kA5.设A、B均为n阶矩阵，|A2解：2nAB2nA*=|A|A-1,*2A)I2A|(2A)32)|A|(2)-*1(2A)(4A7.已知A为3阶方阵,(1)A解：（1）(3)1(5)-A32A4A11)1且A=3,求(3)23AA12A(4)3A1A34A1(6)244A1An1329(4)3A3A19(6)3481kAn2(kA)k2n1An2A8.设矩阵A的伴随矩阵AB3,则2A?B10100103001000,且08ABA-1=BA-1+3E,其中4阶单位矩阵，求矩阵B

34、.122n13解：因为ABA-1=BA-1+3EAB3AAABAB3AA一.n13_BAAB3A,因为AAA8A2解：AA?xAA12AxAxE2Ax,因为A4BAAB3A2BAB6E2EAB6E1B62EA4E2AxEx4E2A1010010300I0000-66060006012.设A为n(n2)阶可逆矩阵，交换.、.*.A的第1行与第2行得矩阵B,A,B分别为A,B的伴随矩阵，则9.设矩阵A0*0,矩阵B满足ABA1._*2BAE,其中A为A的伴随矩A交换A的第1列与第2列得*B交换A.*的第1行与第2行彳导B.C交换A的第1列与第2列得、-*D父换A的第1行与第2行得B.阵，E是单位矩

35、阵，则B解：E12AB(E12A)*12AE121*lE12AE12解：ABA*A2BA*AA,而A3,3AB6BA,(3A6E)BA,13A6E|BA3,3A6E27,B-.10.设矩阵A、B满足ABA2BA8E,其中a0020,E为单位矩阵，001A为A的伴随矩阵，则B=解：AA?BA2ABA8A,因为AA?A2,所以2B2AB8E一一一12ABB4AEB4EB4AE4213.设矩阵置矩阵，若AA11.设矩阵A111111,矩阵X满足AX1111A2X,其中A是a的伴随矩AT,其中A是A的伴随矩阵，AT为A的转a11,a12,a13为3个相等的正数，则即为二二A=ari：+%4+/&

36、;=q+*+如=间。AEAAT|AE|AAT|A3|A2A3|A©A1七、关于矩阵的秩(1)定义：一个矩阵A的行向量组的秩和列向量组的秩相等，称此数为矩阵的秩，记作r(A)。是r(A)=0A=0。如果A是mn矩阵，则r(A)Minm,n。当r(A)=m时，称A为行满秩的；当r(A)=n时，称A为列满秩的。阵，求矩阵X。对于n阶矩阵A,则行满秩和列满秩是一样的，此时就称A满秩。于是:命题：任何满秩矩阵都可以用初等变换化为单位阵。命题：任何满秩矩阵都可以表示成一组同阶初等矩阵的乘积。因此n阶矩阵A满秩有以下性质：n阶矩阵A满秩r(A)=n|A|0A可逆与单位矩阵等价矩阵的秩还可以用它的非

37、0子式来看：A的r阶子式：任取A的行和列，在它们的交叉位置上的元素所构成的行列式，如果它的值不为0,就称为非0子式。关于A矩阵秩的描述：r(A)n,a中有n阶子式不为0,n1阶子式全部为0;(两句话)r(A)n,a中有n阶子式全部为0。r(A)n,A中有n阶子式不为0。(2)计算命题初等变换保持矩阵的秩不变.阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数矩阵秩的计算：用初等变换将其化为阶梯形矩阵，则此阶梯形矩阵的非零行数就是原矩阵的秩。(3)在矩阵运算中，矩阵的秩有性质：若A 0,则r(A)n1(A) r(AT) r(ATA)S) r(kA)r(A)若k 00若k 0r(A) r(B)A是mn矩阵，B是n

38、s矩阵，r(A)r(B)nr(AB)<mjn(a),(B)r(AB)<r(A)r(B)若Am例s，且r(AB)0,则r(A)r(B)<n若A列满秩，则r(AB)r(B),若B行满秩，r(AB)r(A)若P、Q可逆，则r(A)r(PA)r(AQ)r(PAQ);(可逆矩阵不影响矩阵的秩)n若(A)nA是n阶矩阵，«A)1若(A)n10若(A)n1证明：(A)r(At)r(ATA)解：设A为mn矩阵，x为n维列向量。若x满足Ax0,则有人TAx0,则A'Ax0。若x满足ATAx0,则有xTATAx0AxTAx0Ax0即Ax0和AtAx0同解，因此r(A)r(AT)

39、r(ATA)证明：r(AB)<minr(A),r(B)解：设ABC,即矩阵方程AxC有解xB,则满足rArA.C又因为rCrA,CrArABrA设ABC,BtAtCT,rCTrBTrCrB所以：r(AB)<mjnr(A),r(B)证明：rABrArB解：设A、B为n阶矩阵，ABBAB因为rABrAB,BrA,BrA证明：若Amn，Bns，且r(AB)0,则r(A)r(B)<n素的n-1阶子式不为0,rA1解：设矩阵B的列向量B1,B2Bs，则由分块矩阵的乘法可知,AB1,B2BsAB1,AB2ABs0,00ABj0AX0B的列向量是齐次方程组AX0的解，AX0所含解向量的个数

40、为nrA,所以rBnrArBrAn证明：若P,Q可逆，则r(PA)r(AQ)r(A)解：因为P,Q可逆，所以P,Q是方阵，同理A也是方阵。设P,Q,A都是n阶方阵，rprQn又因为rABminA,B,rPArAQrA利用性质：rArBnrAB所以：rPrAnrArPArA所以rPArA,rPArAQrAAAA0rArAnrA1,所以rA1若rAn1A0A的所有n-1阶子式全为0,所以A0求解下列问题：1 .已知A是mn矩阵，B是ns矩阵，r(B)=n,AB=0,证明A=0.解：因为AB0rArBn,又因为rBn,所以rA0,已知A是mn矩阵，所以rA0,所以rA0,所以A=0或者：因为AB0B

41、的列向量是Ax0的解，又因为rBn,所以Ax0至少有n个线性无关的解，至多有nrA个线性无关的解，所以nnrArA0,rA0,所以rA0,所以a=02 .设A是nm矩阵，b是mn矩阵，满足aB=I,试证明A的行向量组线性无关，B的列向量组线性无关。证明：若nm,则rAmn,rBmn。r(B),若 B 行满秩，r(AB) r(A)若 r(A) n若r(A) n 1若 r(A) n 1解：若 rA n A 0 A 0 r A n若r A n 1 A 0 至少存在一个n-1阶子式不为0,至少存在一个元同理证明：若A列满秩，则r(AB)n证明：A是n阶矩阵，r(A)10又因rABnminrA,rB,和假设矛盾，只能nm所以rAn,rBn,又因为rArBnrABnrArB2nrAn,rBn所以A的行向量组线性无关，B的列向量组线性无关。2272.设,B是秩为1的3x5矩阵，问矩阵AEB的秩为多少？A036000127解：因为127,rAE3,rB1AE026001根据：rPArAQrA,所以矩阵AEB的秩为1.3 .设A