线面垂直、面面垂直

1、线面垂直、面面垂直及其证明线面垂直的判定定理(1)线面垂直定义：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么这条直线和这个平面垂直.(2)判定定理：如果直线l和平面内的两条相交的直线m,n都垂直，那么直线l垂直于平面.(线面垂直线线垂直)(3)三垂线定理及其逆定理三垂线定理：如果平面内一条直线和穿过该平面的一条斜线垂直，那么这条直线也垂直于这条斜线在平面内的射影.三垂线逆定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在平面内的射影垂直.(4)线面垂直的证明例1已知正方体ABCDA1B1C1D1,求证：AC面ABR.例2如图1所示，ABCD为正方形，SAL平面

2、ABCD,过A且垂直于SC的平面分别交SBSC,SD于E,F,G.求证：AESB,AGSD.例3已知ABC中ACB90o,SA面ABC,ADSC,求证：AD面SBC.例4在正方体ABCDABCQi中，M为CG的中点，AC交BD于点O,求证:AO平面MBD.练习1在正方体ABCDABGDi中.(1)求证：AC平面BDiBD.(2)求证：BD1平面ACB1.练习2在三棱锥ABCD中，BCAC,ADBD,作BECD,E为垂足，作AHBE于H.求证：AH平面BCD.练习3在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD,ABAD,ACCD,ABC60,PAABBC,E是PC的中点.(1)求证：CDAE.h(2)

3、求证：PD面ABE.八、二面面垂直(1)二面角定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面，若棱为1,两个面分别为，,二面角记作为1.(2)二面角的平面角定义：在二面角1棱1上取一点。，在半平面和内，从点。分别作垂直于棱1的射线OA,OB,射线组成AOB.则AOB叫做二面角的平面角.二面角的取值范围为0,180.(3)面面垂直定义：若两个平面的二面角为直二面角(平面角是直角的二面角)，则这两个平面互相垂直.(4)面面判定定理：一个平面过另一个平面，则这两个面相互垂直(5)面面垂直的正面即：面面垂直线面垂直线线垂直.例1如图，在正方体A

4、BCDABiD中，E是AA的中点.(1)求证：AC平面BDE;(2)求证：平面A1AC平面BDE.例2如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱垂直于底面，ACB90AC BC1AA,D是棱AA1的中点，求证：平面BDG平面BDC.2练习如图，过S引三条长度相等但不共面的线段 SASB,SC,且ASB ASC 60 , BSC 90 ,求证：平面 ABC，平面 BSC.三立体几何高考证明例1 （2013江苏）如图，在三棱锥S AB BC , AS AB ,过 A 作 AF SA SC的中点.求证：ABC中，平面SAB 平面SBC ,SB,垂足为F ,点E, G分别是棱(1)平面EFG平面ABC;

5、(2) BCSA.例2（2012江苏）如图，在直三棱柱ABCABiCi中，ABiACi,D,E分别是棱BC，CC1上的点（点D不同于点Q,且ADDE,F为BQ的中点.求证：(1) 平面ADE平面BCC1B1;B(2) 直线AF平面ADE.DAB 60(2)设PD AD 1,求棱锥D PBC的高.例3如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四四边形,AB2AD,PD底面ABCD.(1)证明：PABD练习1如图，几何体EABCD是四棱锥，VABD为正三角形，CBCD,ECBD.(I)求证：BEDE;(II)若/BCD120,M为线段AE的中点，求证：DM/平面BEC.练习2(2011天津)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是平行四边形,ADC45,ADAC1,。