经典求极限方法

1、求极限的各种方法1.约去零因子求极限例1:求极限limLx 1 x 11表明x与1无限接近，但x1,所以x1这一零因子可以约去。【解】皿，1)(x1)( x21)x 1lim(x 1)(x2 1) 6=4 x 12.分子分母同除求极限32例2:求极限limx3x3x1【说明】一型且分子分母都以多项式给出的极限，可通过分子分母同除来求。321【解】limxxx173lim-3x31x3Wx【注】（1）一般分子分母同除x的最高次方;limxnanxn 1an 1xbmxmm 11xa。boanbn3 .分子（母）有理化求极限例3:求极限lim（v,x求极限lim 33Jx21）x【说明】分子或分母

2、有理化求极限，是通过有理化化去无理式。一/202八(x23x21)(.x23.x21)lim(.x3.x1)limxx.x23、x21lim例4:x【解】limx 01 tanx 1 sin xlimX 0x3 1tanx sinxtanx . 1 sinxlimx 0 . 1 tan x1 sin xtanx sin x lim zx 0x31 tan x sin x 1lim z-2x 0x34【注】本题除了使用分子有理化方法外,及时分离极限式中的非零因子是解题的关键4 .应用两个重要极限求极限两个重要极限是皿要一1 .1c1 和 lim (1 一) lim (1 一)一个重要极限过于简单

3、且可通过等价无穷小来实现。主要考第二个重要极限。例5:求极限lim-xx1【说明】第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤:再凑数部分。【解】lim Jx x 1xlimxlim 1 x例 6: (1) lim 1xx12，x(2)已知Jimx 2a8,5 .用等价无穷小量代换求极限(1)常见等价无穷小有:当 x 0 时，x sin x tan x arcsin x arctan x ln(1x) ex1cosx1x2,1axb1abx；2(2)等价无穷小量代换，只能代换极限式中的因式;(3)此方法在各种求极限的方法中应作为首选例7:求极限lim*.1x)x01cosxxxln(1x)解】limx01

4、cosx例8:求极限limx0sinxtan3xxxlimx012x2x2.sinxx斛lim3limx0tanxx0sinxxcosx1lim-zx03x2Jm3x26.用罗必塔法则求极限clt7rz口lncos2x例9:求极限limx0ln(12-xsin2x)【说明】或0型的极限，可通过罗必塔法则来求。0【解】lxm。2、lncos2xln(1sinx)2sin2xsin2x2limcos2x1sinxx02xsin2xlimx02x2cos2x1sinx【注】许多变动上显的积分表示的极限，常用罗必塔法则求解x例10:设函数f(x)(xt)f(t)dt连续，且f(0)0,求极限limx0

5、xx0f(xt)dtx【解】由于o f(xt)dt0f(u)(du)xx0f(u)du,于limx0x0(xt)f(t)dtxx0f(xt)dtlimx0f(t)dtxf(x)xx0f(t)dtxf(x)x0f(u)duxf(x)xf(t)dt0xf(u)dux0tf(t)dtf(u)du=f(0)x0f(t)dtx0f(u)duxf(x)f(0)f(0)2f(x)7.用对数恒等式求limf(x)g(x)极限2例11:极限lim1ln(1x)”x0【解】221n1ln(1x)lim21n1叭1x)lim1ln(1x)x=limex=ex0xx0x0limx(e2ln(1x)0x-【注】对于1型

6、未定式limf(x)g(x)的极限，也可用公式limf(x)g(x)(1_lim(f(x)1)g(x)=e因为g(x)limf(x)limg(x)ln(f(x)elimeg(x)ln(1f(x)1)lim(f(x)e1)g(x)例12:1求极限limx0x32cosx解1xln原式lime【解2】2cosx-3-ln2cosxlimIn(21lim-2x02cosx)2x1cosxIn32cosx2x(sinx)sinxxln原式limex02cosx-3-,2cosxln32xln(llimx0cosx1)limcosx13x28.利用Taylor公式求极限例13求极限limx0xaa2x0

7、).【解】axexlnaxlna2xIln(x2),22xlnaln2a(x2);22ln2a(x2).limX0ax2""2XW/2xlna(x)12clim2-lna.x0x2例14cotx).【解】.1,1,、lim-(cotx)X0XX1sinxxcosxlimx0xxsinxXlim一X032X/3X/2一(X)x1(X)3!2!(x3)9.数列极限转化成函数极限求解n21例15:极限limnsin【说明】这是1形式的的数列极限,由于数列极限不能使用罗必塔法则，若直接求有一定难度，若转化成函数极限,可通过7提供的方法结合罗必塔法则求解。【解】考虑辅助极限limX1

8、XSin一XX2xsin11limexXsiny1y2ylimey0(2)利用两边夹法则求极限.11例16:极限lim_n2.22c212- .nn1,n2【说明】用定积分的定义把极限转化为定积分计算，是把f(x)看成0,1定积10 f(x)dx分。lim-nn1【斛】原式=lim 211n0.1x1-dx1ln2121例17:极限limn1.n22【说明】(1)该题遇上一题类似，但是不能凑成lim1nn的形式，因而用两边夹法则求解;(2)两边火法则需要放大不等式，常用的方法是都换成最大的或最小的。limn_1_n22因为nn2limnlimnn一n2所以limn1TFT=112.单调有界数列

9、的极限问题例18:设数列xn满足0x1sinxn(n1,2,|)(i)证明limxn存在，并求该极限;n1_x尸(n)计算lim勺nxn般利用单调增加有上界或单调减少有下界数列必有极限的准则来证明数列极限的存在.【详解】(I)因为0x1，贝U0x2sinx1可推得xn1sinxn1,n1,2,|“，则数列Xn有界.日xn1xnsinxnn1,(因当xnx0时，sinxx)则有xn1xn,可见数列xn单调减少，故由单调减少有下界数列必有极限知极限limxn存在.n设limxnln在xn1sinxn两边令nlsinl0,即limxn0.n(n)limnxn1xnlimnsinxn(I)知该极限为1型,xnlimx0一-sinxx1x2l