湖南省2019届高三六校联考试题4月数学理Word版含解斩

1、绝密启用前省2021届高三六校联考试题数学(理科)常德市一中 师 大附中 湘潭市一中 由联合命题长沙市一中 岳阳市一中 株洲市二中炎德文化审校、制作考生注意：1. 本试卷分第I卷(选择题)和第n卷(非选择题)两局部。时量120分钟，总分值150分。 答题前，考生务必将自己的号、填写在答题卡上。考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“号、考试科目与考生本人号、是否一致。2作答选择题，选出每题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。作答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.考试结束时，监考员将题卷、答题卡一并收回。第I卷一、选择题

2、：本大题共 12小题，每题5分，共60分。在每题给出的四个选项中 ， 只有一项为哪一项符合题目要求的。1. 复数z满足(1 + i)z = I-4i|, 那么z =A . 2 + 2iB . 1 + 2i C. 1-2i D . 2 2ix + 32. 集合A = x| > 0 ,那么？RA =1 xA . 3,1)B.( a , 3)U 1 ,+s)C.( 3,1)D.( a , 3 U (1,+a)3. 对某两名高三学生在连续9次数学测试中的成绩(单位：分)进行统计得到如下折线图， F面是关于这两位同学的数学成绩分析. 甲同学的成绩折线图具有较好的对称性，故平均成绩为130分； 根据

3、甲同学成绩折线图提供的数据进行统计，估计该同学平均成绩在区间110，120； 乙同学的数学成绩与测试次号具有比拟明显的线性相关性，且为正相关； 乙同学连续九次测验成绩每一次均有明显进步.其中正确的个数为A . 1 B. 2 C. 3D. 44. 如图是一个几何体的三视图，且这个几何体的体积为8,那么俯视图中三角形的高x等于A . 2 B. 3 C. 4 D. 1X5. f(x)是奇函数，当x>0时，f(x)=-,那么函数在x = - 1处的切线方程是x 2A . 2x y 1 = 0 B . x 2y + 2= 0C . 2x y+ 1 = 0 D . x+ 2y 2= 0n6. 如图，

4、在矩形OABC中的曲线分别是 y= sin x , y = cos x的一局部，A孑，0 ，C(0,1),在矩形OABC随机取一点，假设此点取自阴影局部的概率为P1,取自非阴影局部的概率为P2,那么A . Pl>P2 B . Pl<P2C . P1= P2 D .大小关系不能确定7. ABC 中，AB = 2, AC = 3, / A = 60° , AD 丄 BC 于 D , AD =+A . 6 B. 3 2 C. 3 D. 2 3x2 v28. 双曲线 C: 2-2= 1(a>0, b>0),以点P(b, 0)为圆心，a为半径作圆P,圆P与a b双曲线C

5、的一条渐近线交于 M , N两点，假设/ MPN = 90° ,那么C的离心率为A" ¥ B." C.知2 D- .39. 假设m, n均为非负整数，在做m + n的加法时各位均不进位 (例如：2021+ 100= 2119, 那么称(m, n)为“简单的有序对，而m+ n称为有序对(m, n)的值，那么值为2021的"简单 的有序对的个数是A. 30 B. 60 C. 96 D. 10010. 假设X1是方程xex= 1的解，X2是方程xln x = 1的解，那么X1X2等于1A . e B. 1 C二 D . - 1en11. 函数f(x)

6、 = sin( 3X+妨3 >0, n的局部图象如下图,且f(x)在0, 2n 上恰有一个最大值和一个最小值(其中最大值为1 ,最小值为1),那么3的取值围是12 .函数f(x) = ex- ax 1在区间(一1， 1)存在极值点，且f(x)<0恰好有唯一整数解 那么a的取值围是(其中e为自然对数的底数，e= 2.71828)e2 1e2 1e2 1A.苕，e B.右，1 u e-X 二 e2 1 e 1 ,D. (e 1, e)第n卷二、填空题：本大题共 4小题，每题5分，共20分。1 613.二项式axx的展开式中的常数项为一160,那么a=.x + y 4< 0,14

7、.假设实数 x , y满足不等式组 2x 3y 8< 0,那么目标函数 z= 3x y的最大值为x > 1,15. 在?九章算术?中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马.如图，假设四棱锥P ABCD为阳马，侧棱PA丄底面ABCD ,且PA = 3, BC = AB = 4,设该阳马 的外接球半径为 R,切球半径为r,那么R =.16. 在厶ABC中，a, b, c分别为角 A , B , C所对的边，假设c= 2b, ABC的面积为1,那么a的最小值为.三、解答题：共 70分，解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

8、第22、23题为选考题，考生根据要求作答。(一)必考题，共60分。17. (本小题总分值12分)Srr 2数列an中，a1= 1, Sn是数列an的前n项和，且对任意的r、t N*,都有S =(I)判断an是否为等差数列，并证明你的结论；(n )假设数列bn满足bn= 2n_ 1(n N*),设Tn是数列bn的前n项和，证明：Tn<6.18. (本小题总分值12分)1在 Rt ABC 中，/ABC = 90° ,ta n/ACB = ? E, F 分别是 BC ,AC 的中点.将厶 CEF 沿EF折起，使C到C'的位置且二面角 C' EF B的大小是60

9、6; .连接C'B, C' A ,如图：(I )求证：平面 C FA平面 ABC'(n )求平面AFC'与平面BEC所成二面角的大小.19. 本小题总分值12分平面上一动点 P到定点F 3, 0的距离与它到直线 x = 竽的距离之比为-,记动 点P的轨迹为曲线C.I 求曲线C的方程；n 设直线I： y = kx + m与曲线C交于M , N两点，点M在x轴上的射影为 G, O为坐 标原点，假设4oM On = 9<5g on ,求厶mon面积的最大值.20. 本小题总分值12分随着食品平安问题逐渐引起人们的重视，有机、健康的高端绿色蔬菜越来越受到消费者的欢

10、送，同时生产-运输-销售一体化的直销供给模式，不仅减少了本钱，而且减去了蔬菜的二次污染等问题.I 在有机蔬菜的种植过程中，有机肥料使用是必不可少的.根据统计某种有机蔬菜的 产量与有机肥料的用量有关系，每个有机蔬菜大棚产量的增加量y百斤与使用堆沤肥料x千克之间对应数据如下表：使用堆沤肥料x 千克24568产量增加量y百斤34445依据表中的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程y=bx+a；并根据所求线 性回归方程，估计如果每个有机蔬菜大棚使用堆沤肥料10千克，那么每个有机蔬菜大棚产量增加量y是多少百斤？n某大棚蔬菜种植基地将采摘的有机蔬菜以每份三斤称重并保鲜分装，以每份10元的价格销售到

11、生鲜超市. “乐购生鲜超市以每份 15元的价格卖给顾客，如果当天前8小时卖 不完，那么超市通过促销以每份 5元的价格卖给顾客根据经验，当天能够把剩余的有机蔬菜都假设以100天记录的频率作为每日前8小时销售量发生的概率，该生鲜超市当天销售有机蔬菜利润的期望值为决策依据，当购进17份比购进18份的利润的期望值大时，求x的取值围.附：回归方程系数公式 b=错误!,错误！=错误！错误！错误!.21. (本小题总分值12分)k f(x 1) = 2ln(x 1) - + k(x>1).x(I )判断当一K kw 0时f(x)的单调性；(n )假设 X1 , X2(X1M X2)为 f(x)两个极值

12、点,求证：xf(x 1)+ f(x 2) > (x + 1)f(x) + 2 2x.(二)选考题：共10分。请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，那么按所做的第 一题记分。22. (本小题总分值10分)选修4 4:坐标系与参数方程x = m + 2t,在平面直角坐标系 xOy中，直线I的参数方程为(t为参数),以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为 p=4祢.1 + sin20(I )求直线I的普通方程和曲线 C的直角坐标方程；(n )设P为曲线C上的点，PQ丄I,垂足为Q,假设|PQ|的最小值为2,求m的值.23. (本小题总分值10分)选修4

13、5 :不等式选讲函数 f(x) = |x 2a| |x a|, a R.(I)假设f(1)>1 ,求a的取值围；(n )假设 a<0,对退x, y ( , a,都有不等式 f(x) < |y+ 2021| + |y a|恒成立，求 a 的 取值围.省2021届高三六校联考试题数学(理科)参考答案命题学校：师大附中、市一中、选择题题号1234567891011 12答案DBBCCAACBBDC2.B【解析】/ (x + 3)(x 1)< 0 且 xm 1, /-A = x| 3< x<l,/-7RA = (83) U 1 ,+ 8 ).B【解析】3.于130分

14、，错误；区间110, 120,正确；乙同学的数学成绩与测试次号具有比拟明显的线性相关性 为正相关，正确；乙同学在这连续九次测验中第四次、 故不正确.应选 B. 甲同学的成绩折线图具有较好的对称性， 根据甲同学成绩折线图提供的数据进行统计最高130分，平均成绩为低,估计该同学平均成绩在,且第七次成绩较上一次成绩有退步，4. C 【解析】该几何体为四棱锥12 (2+ 4) X 2V = -3x = 4.x= 8,5. C 【解析】,X_X当 x<0 时，一x>0 , - -f( x) = , - f(x) =(x<0),x+ 2x+ 2切点为(一1, 1), 切线方程为y+ 1

15、= 2(x + 1).k = f ( 1) = 2,切线方程为2x y+ 1 = 0.6. A【解析】根据题意，阴影局部的面积的一半为n/4o(cos x sin x)dx = 2 1,于是此点取自阴影局部的概率为P1 = 2Xn22 14 ( .'2 1)4 (1.4 1)= >713.212.41.D【解析】(1 + i)z = 4, z= 2 2i.1 + i1又 P2= 1 P1<2,故 P1>P2.7. A 【解析】BC = AC AB , AD 丄 BC ,( ；AB + 応)(一 AB + AC)= 0,/ ?AB 2 + pAC2 + (入p)AB A

16、C = 0, /入=6&C【解析】不妨设双曲线C的一条渐近线b2=90°所以圆心P到bx ay= 0的距离为= 6.pbx ay= 0与圆P交于M , N ,因为/ MPN =b =7Ta,即 2c2 2a2=. 2ac,解得 e= 2 C 2.2.应选C.9. B【解析】 值为2021的“简单的有序对的个数是 3X 1X2X 10= 60.应选B.110. B【解析】考虑到X1, X2是函数y= ex、函数y= In x与函数y= 一的图象的公共点一 1 1A , B的横坐标，而AX1,x；, BX2,x2两点关于y = x对称，因此X1X2 = 1.I2、J3n2 n11

17、. D2 n2 n2 n 5 n2 n 7 n2 冗W co x HW 2 nwd-,W 2 nwd-3332317【解析】由题意知，f(x) = sin(3x+ 0),十(0)= 2 ，, n，'OX 0,1)上单''1212.12. C【解析】由题意得，f'(x) = ex a= 0在(一1, 1)上有解，十仪)在(一1, 1调递增,-<a<e,又/ f(x)<0恰好有唯一整数解，即ex<ax + 1有唯一整数解.设g(x) = ex, h(x) = ax+ 1，结合两函数的图象可知： 假设1<a<e,那么唯一整数解为1,

18、故应满足g (1) <h (1) ,e2 1°.e 1<aw z ,g (2) > h (2) ,2故 e 1<a<e;1 假设e<a<1 ,那么唯一整数解为1,故应满足g (- 1) <h (- 1),e2 1 e 1g ( 2) > h ( 2),e2 1e 1故 2w a< 故 2e2e ，2e2由得a的取值围为e2 12e2，e 1U (e 1, e).二、填空题1 613. 2【解析】 二项式ax-的展开式的通项是Tr +1= C6 (ax)6-rx1 61)rx6 2令6 2r = 0，得r = 3,因此二项式a

19、x-的展开式中的常数项是xc3 a6-3 1)3 =160,故 a= 2.14. 12【解析】 作出可行域如图，目标函数y= 3x-乙 当y= 3x- z过点(4, 0)时，z有最大值,且最大值为12.,所以(2R)15. 号【解析】易知该阳马补形所得到的长方体的对角线为外接球的直径 =AB2+ AD2 + AP2= 42+ 42 + 32 = 41, R =号.因为侧棱PA丄底面ABCD，且底面为正方形，所以切球01在侧面PAD的正视图是 PAD 的切圆，那么切球半径为1,故R =.16. 3【解析】设角A为a2= b2 + c2 2bccos 0又 Szabc =1 2b b sin 0=

20、b2sin 0=1, /-b2=,2sin 0=b2+ 4b2 4b2cos 0=b2(5 4cos10).5 4cos 05 4cos 0a2=,设 y=sin 0sin 04 5cos 0sin2 04sin2 0cos 0(5 4cos 0)sin2 0当4 5cos 0=0,即cos 0=5时，y有最小值为3,故a的最小值为，空5三、解答题17.【解析】I a n是等差数列.证明如下：因为对任意的Sr 2r、t N 1 n 1n N, /-Tn= 6 (2n + 3) 2<6.12 分,都有 g=-,所以对任意的n N*,有|n= n2,即 Sn= n2.2 分从而n?2时，an

21、= Sn Sn-1= 2n 1,且n= 1时此式也成立. 所以 an+1 an= 2(n N*),即an是以1为首项，2为公差的等差数列.5分2n 1(n )£= 2n 1,得 bn =1 .6分2“ 10 11 11 n 1Tn= 1 三 + 3 三 + - + (2n 1) ,1 21 1 11 n 11 n2Tn= 1 - 2 + 3 -2 + (2n 3) 2+ (2n 1) 2 .8 分两式相减得:111 1 21 n11 n2 1 n =1 + 22+ 2 -2 + + 2'2(2n -1) 211n2 21 n111 n1 n=1 +21(2n 1)2 =1 +

22、 42 -歹-(2n 1) ?=3 (2n + 3) 2 ,1 n 1Tn= 6 (2n + 3) 2.10 分设AC'的中点为G ,连接FG.设BC'的中点为H ,连接GH , EH.易证：C' JE EF, BE丄EF, /./BEC '即为二面角C' EF-B的平面角. ZBEC ' =60° 而 E 为 BC 的中点.易知BE = EC； ZBEC '为等边三角形，/-EH丄BC '.EF丄 C'E, EF丄 BE, C'EQBE = E,.EF 丄平面 BEC '.而 EF/ AB ,

23、/-AB 丄平面 BEC ； AB 丄 EH ,即 EH 丄 AB. 由，BC ' AB = B , /-EH丄平面 ABC '.G, H分别为AC', BC '的中点.1GH綊2AB綊FE, /四边形EHGF为平行四边形.FG /EH , FG 丄平面 ABC ',又 FG 橋平面 AFC '.平面AFC '丄平面 ABC ' 分解法二：如图,那么 A(0, 0, 2), B(0, 0, 0), F(0, 2, 1), E(0, 2, 0), C'(,3, 1 , 0).设平面 ABC '的法向量为a= (xi,

24、 yi, zi),bA = (0, 0, 2), BC，= ( ,3, 1, 0),zi = 0, -令 xi= 1,那么 a= (1, 3, 0),3xi + yi= 0,设平面 AFC'的法向量为b= (X2 , y2, z2),AF = (0 , 2, 1), AC=(V3, 1 , 2),2y2 z2= 0 , 令 X2= 3 ,那么 b = ( .3 , 1 , 2).3x2 + y2 2z2= 0 ,tab = 0, 平面AFC'丄平面ABC ' 分(n )如图，建立空间直角坐标系，设AB = 2.那么 A(0 , 0, 2), B(0, 0, 0), F(

25、0, 2, 1), E(0 , 2 , 0) , C'C.3, 1 , 0).显然平面 BEC '的法向量 m= (0 , 0 , 1) , 8分设平面 AFC '的法向量为 n= (x , y , z) , AC，=仁 3 , 1, 2) , AF = (0 , 2, 1),2y z = 0 , n = (.3 , 1 , 2).9 分育 3x+ y 2z= 0 ,m -n"42 一八cos m, n=7- , 10 分| mll nl 2由图形观察可知，平面AFC '与平面BEC '所成的二面角的平面角为锐角.平面AFC与平面BEC 所成二

26、面角大小为 45°12分2 ,化简得¥+ y2= 1.4分19. 【解析】(I )设P(x , y),那么寸(X-"4) 亚y= kx + m ,x + y2=xx 3(n)设 M(xi , y1) , n(x2 , y2) , G(xi , 0),联立得(4k2+ 1 )x2+ 8kmx + 4m2 4= 0 ,2依题意，A=(8km) 4(4k2+ i)(4m2 4)>0 ,化简得m2<4k2+ 1,28km4m 4xi + X2= -2，X1X2= -2,4k2+ 14k2 + 1y1y2= (kx1 + m)(kx2+ m)= k2x1X2 +

27、 km (x1+ x2)+ m2,假设 4OM ON= 9OG ON ,那么 4x1x2+ 4y1y2= 9x1x2,即 4y2= 5x1x2, 6 分 /4k2X1X2+ 4km(x1 + x2)+ 4m2= 5x1x2,4(m2 1)8km4k2+ 1/(4k2- 5)+ 4km 玮 + 4m2= 0)-8k2m2+ m2(4k2 +1)= 0,即(4k2 5)(m2 1 化简得m2+ k2= 4,8分|MN|=- 1 + k2|x1 - X2| = 1 + k64k2m24m2- 44 (4k2 + 1) 24k2 + 1-16m2+ 64k2+ 16=Z1 + k原点0到直线I的距离(

28、4k2+ 1) 2|m|:1+ k2'.1 + k4 (20k2- 1)(4k2+ 1) 2 '(5-4k2)( 20k2 1)1 1.Szmion = JMN | = 2设4k2+ 1 = t,由得(4k2 + 1) 20Wm2<|,.10分丄冬2三总20<k 4,611 5所以 6<t三6, 6<6,1叫S/MION = 2 '1 1所以当-=2时，即k=(6 t)( 5t- 6)1t236 + 36t 5t211 2 1=珂72 + 斎1,t2 MON面积最大为1.12分2 + 4 + 5+ 6 + 83+ 4 + 4+ 4+ 55错误!错

29、误! = 22 + 42 + 52 + 62 + 82= 145,20. 【解析】(I )x = 5, y= 4.2 分a 106 5 X 5 X 4人 人b= 0.3, a= y b x = 4 0.3 X 5 = 2.5,145- 5X 52所以y关于x的线性回归方程为：y = 0.3x + 分当 x= 10 时，y = 0.3X 10+ 2.5= 5.5 百斤，所以如果每个有机蔬菜大棚使用堆沤肥料10千克，估计每个有机蔬菜大棚产量的增加量y是5.5百斤.5分(n)假设该超市一天购进17份这种有机蔬菜，丫1表示当天的利润(单位：元),那么丫1的分布列为丫1657585D10X90 xP10

30、010010010x90 x 8300 10xY1的数学期望是 EY1 = 65 X + 75X 云+ 8500 =而 ；8分假设该超市一天购进 18份这种有机蔬菜，丫2表示当天的利润(单位：元),那么丫2的分布列为丫260708090P10X1674 x10010010010010x1674 x 8540 20xY2的数学期望是EY2= 60X而+ 70X而+ 80X帀o+ 90 X帀厂=而 ；11分830010x 854020x又购进17份比购进18份的利润的期望值大100100求得x>24,故求得x的取值围是(24, 30), x N*.12分k (x 1)21. 【解析】(I )

31、因为 f(x 1) = 2ln(x 1) + x (x>1),kx所以 f(x) = 2ln x +(x>0).x + 1, 2f'(x) = J +2x2 +( 4 + k) x+ 2 x (x+1) 2，当一1< k w 0 时,A=(4 + k)2 16= k(k + 8)< 0, 2x2+ (4 + k)x + 2>0 恒成立.于是，f(x)在定义域上为单调增函数.5分(n)证明:2 f(x)= 2+2x2+( 4+ k) x + 2(x+ 1)由题设知，f '(X) = 0有两个不相等的正实数根 X1, X2,那么4 + kX1 + X2= 一>0,X1X2 = 1>0,k< 8, 7 分A=(4+ k) 2 16>0,十kx1kx2而 f(x 1) + f(x2) = 2ln X1+ 2ln X2 +X1+ 1X2 + 1X1X2=2ln (X1X2) + kx1+ 1 + X2 + 12X1X2+ X1+ X2=2ln(x 1x2) + k = k, 9 分X1X2 + X1 + X2 + 1(x+ 1) f (x) 2ln xx=k,故欲证原不等式等价于证明不等式:(x + 1) f (x) 2ln x x+ 1 X?f(x) 2(X