经济数学基础课后答案(概率统计第三分册)综述

1、70写出下列事件的样本空间：（1）把一枚硬币抛掷一次；（2）把一枚硬币连续抛掷两次；（3）掷一枚硬币，直到首次出现正面为止；（4）一个库房在某一个时刻的库存量（假定最大容量为M）.解（1）Q=正面，反面正，反（2） =（正、正），（正、反），（反、正），（反、反）（3） =（正）,（反,正），（反,反，正），（4） q=x；0x0.P(B)HP(A18 .已知RA)=a,P(B)=b,ab#O(b0.3a),RAB=0.7a,求P(B+A),P(B-A),P(B+A).解由于AB与AB互不相容，且A=(ABl+AB因此有RA6=RAl-P(A-B)=0.3aRA+B=RA)+P(B)P(AB=

2、0.7a+bRBA)=P(B)-RAB=b-0.3aP(b+A)=1-P(AB=1-0.3a19 .50个产品中有46个合格品与4个废品，从中一次抽取三个，计算取到废品的概率.解设事件A表示“取到废品”，则A表示没有取到废品，有利于事件入的样本=1- P( A) = 1-点数目为#A=C：6,因止匕RA)=0.225520 .已知事件BnA,P(A)=lnb丰0,P(B)=lna,求a的取值范围.解因B=A故RBARA),即lnanlnb,=anb,又因RA)0,P(B)W1,可得b1,awe,综上分析a的取值范围是：1bae21 .设事件A与B的概率都大于0,比较概率RA),RAB,RA+B

3、),P(A)+RB)的大小(用不等号把它们连接起来).解由于对任何事件A,B,均右ABAA+B且RA+B=RA)+RB)-P(AB,RABA0,因此有RABP(A)P；A+B)=0.93，RB|a)=0.85_P(A+B)=P(A+P(AB)=P(A)+P(a)P(B|a)_=0.92+0.08X0.85=0.988P(Ab)=RA+B)-P(B)=0.988-0.93=0.05825 .分析学生们的数学与外语两科考试成绩，抽查一名学生，记事件A表示数学成绩优秀，B表示外语成绩优秀，若RA)=RB)=0.4,RAB=0.28,求P(A1B),RBA),P(A+B).解RA|均=迪=空8=0.7

4、P(B)0.4RB1 A)=P:0.7P(A)26.RA+B=RA)+P(B)-P(AB=0.52设AB是两个随机事件.0RA)1,0RB)0,故A与B不可能互不相容.29 .某种电子元件的寿命在1000小时以上的概率为0.8,求3个这种元件使用1000小时后，最多只坏了一个的概率.解设事件Ai表示“使用1000小时后第i个元件没有坏”，i=1,2,3,显然A,A,A相互独立，事件A表示“三个元件中最多只坏了一个，则A=AAA+A1AA+AA2A+A1AA3,上面等式右边是四个两两互不相容事件的和，且RA)=RA)=RA)=0.8PA)=P(A1)3+3t(A1)2P(A1)=0.83+3X0

5、.82X0.2=0.89630 .加工某种零件，需经过三道工序，假定第一、二、三道工序的废品率分别为0.3,0.2,0.2,并且任何一道工序是否出现废品与其他各道工序无关，求零件的合格率.解设事件A表示“任取一个零件为合格品”，依题意A表示三道工序都合格.RA)=(10.3)(10.2)(10.2)=0.44831 .某单位电话总机的占线率为0.4,其中某车间分机的占线率为0.3,假定二者独立，现在从外部打电话给该车间，求一次能打通的概率；第二次才能打通的概率以及第m次才能打通的概率(m为任何正整数).解设事件A表示“第i次能打通”，i=1,2,，m,则RA)=(10.4)(1-0.3)=0.

6、42RA)=0.58X0.42=0.2436RAn)=0.58-1X0.4232 .一间宿舍中有4位同学的眼镜都放在书架上，去上课时，每人任取一副眼镜，求每个人都没有拿到自己眼镜的概率.解设A表示“第i人拿到自己眼镜”，i=1,2,3,4.P(A)=,设事件B4表示“每个人都没有拿到自己的眼镜”.显然B则表示“至少有一人拿到自己的眼镜”.且b=A1+A2+A3+A.Rb)=RA+A+A+A)4=p(A)-P(AA)、P(AAjAk)-P(AA2A3A4)i31玉:j岂19jkRAA)=P(A)RA1A)_ 1 1一一一4 31=12(1 ij4)RAAA尸RA)RAIA)P(A|AA)=1x1

7、x1=(1ijk0.5,RA)0,又设一个虫卵能孵化为昆虫的概率等于p(0p n0 _k _nn * (n k)! P(Bk)”n-k z0 (n -k)!-e_e q ( p) e_pk=0,1,2,k其中q=1p.应用全概率公式有P(Bk)八P(An)P(Bk|An)八P(A)P(Bk|An)n3n*二二nx-,n!kn_k二一epqn土n!k!(n-k)!(p)ke-=(q)nik!n+(n-k)!由于克(Zq严q)i=e用，所以有习题二1 .已知随机变量X服从01分布，并且RXW0=0.2,求X的概率分布.解X只取0与1两个值，RX=0=PX0-PX0.所以它可以是一个离散型概率分布.

8、11 .随机变量X只取1,2,3共三个值，其取各个值的概率均大于零且不相等并又组成等差数列，求X的概率分布.解设RX=2=a,KX=1=ad,RX=3=a+d.由概率函数的和为1,可知a=l,但是ad与a+d均需大于零，3因此1d|1,X的概率分布为3X123P1-d11+d333其中d应满足条件：a0,求常数c.,m解1=p；X=m=-e，m1m.1m!-.m-m由于生=1+fL=e%所以有m卫m!m4m!.二C.m、e-=c(e“-1)e-=c(1-e-)=1m4m!1解得c二1-e-13 .甲、乙二人轮流投篮，甲先开始，直到有一人投中为止，假定甲、乙二人投篮的命中率分别为0.4及0.5,

9、求：(1)二人投篮总次数Z的概率分布；(2)甲投篮次数X的概率分布；(3)乙投篮次数Y的概率分布.解设事件A表示在第i次投篮中甲投中，j表示在第j次投篮中乙投中，i=1,3,5,，j=2,4,6,，且A,B2,A,B4,相互独立.PZ2k-1二pA1B1A2k2B2k_2A2kJ.=(0.6X0.5)J0.4=0.4(0.3)k=1,2,PZ=2k)=p(A1B1A2kaB2k2A2kB2k)=0.5x0.6x(0.6X0.5)J=0.3k_k=1,2,(2) p收=n.=pA1B1A2njB2n2A2n1,PA1B1A2n与B2nNA2n/B2nK0.60.5)n1(0.40.60.5)n1

10、一=0.70.3n=1,2,(3) P；Y=04=P(A)=0.4PlYn,=P.A1B1A2n-B2n.P.A1B1A2n1B2nA2n1J=(0.60.5)n10.6(0.50.50.4)=0.420.3nAn=1,2,14.一条公共汽车路线的两个站之间，有四个路口处设有信号灯，假定汽车经过每个路口时遇到绿灯可顺利通过，具概率为0.6,遇到红灯或黄灯则停止前进，其概率为0.4,求汽车开出站后，在第一次停车之前已通过的路口信号灯数目X的概率分布(不计其他因素停车).解X可以取0,1,2,3,4.PX=0=0.4PX=1=0.6XO.4=0.24PX=2=0.62X0.4=0.144PX=3=

11、0.63X0.4=0.0864PX=4=0.64=0.129615.f(x)=/sin x,0,x Wa , b, 其他.问f(x)是否为一个概率密度函数，为什么？如果/打3(1) a=0,b=;(2)a=0,b=jt；(3)a=兀,b=兀.22解在0, m与,兀2 sin xdx =1,而在卜2 上,sinx W0.因此只有(1)中的a,b可以使f (x)是兀上，SinXA0,但是J0sinxdx=1,个概率密度函数.(x2x_27,、c16.f(x)=cex0,0,x0,问f(x)是否为密度函数，为什么？解易见对任忖x(OO,+00),f(x)A0,又2x0二xe/cdx=1cf(x)是一

12、个密度函数17.2x, f(x) =0,avx va +2.其他.确定(xa的值；若不是，说明理由.)0,因此a40,但是，当a= 0.5 ,求b的值.问f(x)是否为密度函数，若是,解如果f(x)是密度函数，则fA0时，j22Mdx=x2|a丰=4a+44由于匿f(x)dx不是1,因此f(x)不是密度函数.18.设随机变量Xf(x)22-,ax+a,f(x)=J兀(1+x)0,其彳也.确定常数a的值，如果Pax100,f(x)=x20,x150)px 150 =禽 100 xdx48 P( A)= 2720.设随机变量P |X |Xf1(x ) , f ( x ) =Ae|x1.确定系数 A

13、;计算解1=/Ae8dx=2A。.-e%x=2A解得A=12,1e.dxP|X|E1=k1ex|dx=1 -e- ： 0.63221.设随机变量Y服从0,5上的均匀分布，求关于x的二次方程4x2 十4xY+Y+2=0有实数根的概率.解4x2+4xY+Y+2=0.有实根的充分必要条件是=b24ac=167-16(Y+2)=16Y2-16Y-32A0设事件RA为所求概率.则P(A)=P116Y2-16Y-32-0:PY_2)P：Y-1)=0.622.设随机变量Xcf (x) =1 -x2,0,确定常数c,f ( x ),| x |V1,其他.计算 P |X|2c1dx=carcsinx屋=c兀.1

14、-x21兀23.P |X|4 = 2112dx =-arcsinx1201一3设随机变量0,F (x) = Ajx ,X的分布函数F ( x )为 x 0,0x1 ,x -1.确定系数A,计算P 10X 0.25 ),求概率密度f ( x).连续型随机变量 X的分布函数是连续函数，F ( 1 )=F (1 0),有 A= 1.0V x 1 ,其他.1f(x)=二2.x0,P10三X0.55;F(0.25)-F(0)=0.524.求第20题中X的分布函数F(x)解F(x)=P；.Xx:/，如当t0时,F(x)=/t二匕edt+0x1e-tdt25.解26.1 1g一二一(1-e)=1-e2 22

15、函数(1+x2)T可否为连续型随机变量的分布函数,为什么？不能是分布函数，因F(s)=1随机变量Xf(x)，并且f(x)=丰0.a兀(1x2)，确定a的值；求分布函数F(1=.二)；计算P(|X|1.兀(1x2),a.dx=arctan兀因此a=1F(x)=匚221(1+t)1dt=arctant兀11=arctanx2兀bdx=2兀(1x)j0|X |2 ，x -2 .1-4F(x)=x,0,确定常数A的值，计算由F(2+0)=FA1-=0,A=4。X4.2)，可得28.4P10X4.=P1(XX三4.=F=0.75随机变量Xf(x)(4)-F(0)，f(x)=，确定A的值；求分布函数x解J

16、lhodx:3dxee1e=Aarcel吗A因此A= 2,兀xF(x),二兀(e二)dt2 arctanet兀xnr；=2arctanex兀29.随机变量Xf (0V xv af (x)0 0,其僦他.-2 0 汽2 a汽兀当0c x兀时,F ( x) ；22 dt 汽0,2 x F(x)=, r 1,2x2汽x 00x0) x 0随机变量X的分布函数为0,F(x)=a2x22ax2亚1- e*31.解求X的概率密度并计算f(x)0,J32iax0时,0时,-axe1P0X0.1P*0Vx-、a=P*0Vx0时，Y的取值为a2+b,ab+b,1.1x=h(y)(y_b),h(y)=Xyaa12

17、fY(y)=h(y)fXh(y)=,y=a+b,ab+b,当y=a+b,ab+b时，a(b-a)fY(y)=0.类似地，若a0还是a0,ax+b均服从均匀分布.34.随机变量X服从0 ,”上的均匀分布Y=c0sx求Y的概率密度hfY ( y ).y=cosx 在0,2-11 一 y2上单调，在(0 ,1)上，h)=x =arccos yfx ( x因此fY(y)=，端1-y20,0Vy0x0时，y=原单调，其反函数为x=y2y=2yfY(y)=,二22ye0,y0,y.0.当x0时z=x2也是单调函数，其反函数为x=正fz(z)=2Vze,0，-Zz0时，f(x)=一二,2222二(1x)Y=

18、arctanX,fz工，分别计算随机变量Y与Z的概率密度解由于y).=arctanx是单调函数，其反函数x=tany,0,9i内恒不为零，因此，当0y0时也是x的单调函数，其反函数x=1x因此当z0时,fY(y)与xy=sec2y在1z2.zfz(z)=-12z21241()z22u(1z)fz(z)=X1+z2)0,z0z0X与X同分布.38.一个质点在半径为R圆心在原点的圆的上半圆周上随机游动求该质点横坐标X的密度函数fx(x).解如图，设质点在圆周位置为M弧MA的长记为L,显然L是一个连续型随机变量，L服从0兀以上的均匀分布.1I,0lkR,fL(l)=成0,其他.M点向横坐标X也是数，

19、且随机变量，它是弧长L的函X=函数x反函数为l=FCos0=RCoslRCosLRR是l的单调函数(0l兀R),其lx-RR2fx(x)Farccos-R2-xx-R:2=2R-xR时,1tR当x0,1),因2.312a+3a=1故a=1/6EX-1-01=6随机变量(EX)2EX=P663X服从参数为0.8的01分布，通过计算说明EX是否等于EX=PX=1EX=1X0.8=0.8(EX)0.8,(2EX)2=0.64随机变量Xf(x整数.当n为奇数时，xnf(x)是奇函数,且积分=0.5e-|x1,计算EX,n为正xnedx收敛，因此EXn-_.0.5x当n为偶数时，EXn=0.5xe*|d

20、x=0e4x|dx=2o0.5xn0xnedx=1(n1)edx=n!44.随机变量Xf(x),x,f(x)=2-x,0,0x1,1x2,烦tk.计算EX(n为正整数).EXn=jxnf(x)dx=j1xn%x+2(2-、n.x)xdx(2n1-1)-(2n2)-1n2n1n22n2-2(n1)(n2)45.随机变量Xf(x),bcx0ExE1,其维他.b,c均大于0,问EX可否等于1,为什么？解dj(x)dx=0cxbdx=-c=1b1而EX =b x .1ccxdx=b2由于方程组上二1b1c=1,b+2无解，因此EX不能等于1.46.计算第6,40各题中X的方差DX.解在第6题中，从第3

21、9题计算知EX=9,422741089841215EX=-=220220220220DX=EX(EX)2=0.46在第40题中，已计算出EX=300137252c5EX=n=cn=15cn1nn1=900137DXEX-(EX&1.7747.计算第23,29各题中随机变量的期望和方差.解在第23题中，由于f(x)=氏(0x1),因此EX=EX2*1x2102.,dxDX=EX5(EX)2=45在第29题中，由于2x(0x兀),因此兀EX2俨2x1202-dx=一式n3C322x,汽,02dx=。兀2DX=EX(22EX)2=工1848.计算第34题中随机变量Y的期望和方差.解EY=岛fY(y)dy=j0T兀1-y2y2“1dy=一y2222dy二兀49.DY=1_2Tt27已知随机变量X的分布函数0,1x2+x+,221x2+x221,F(x)为:x-1,-1x0,0x1,计算EX与DX.依题意，X的密度函数fx)为:f (x)=1 +x,1 -x,0,-1x0,0x1,其他.EX=01x(1x)dxi；x(1-xeX=IDM16212x(1x)dx0x(1一)dx=0、.1x)dx=650.已知随机变量X的期望EX=w,方