初中数学中求极值的几种常见的方法

1、初中数学中求最值的几种常见方法仪陇县实验学校李洪泉在生活实践中，人们经常面对求最值的问题：如在一定方案中，往往会讨论什么情况下花费最低、消耗最少、产值最高、获利最大等；在解数学题时也常常求某个变量的最大值或最小值。 同时，探求最值也是中考或一些高中学校自主招生考试中的一个热点内容，是初高中知识衔接的重要内容。这类问题涉及变量多，综合性强， 技巧性强， 要求学生要有较强的数学转化思想和创新意识。下面从不同的角度讨论如何求一些问题的最值。一、根据绝对值的几何意义求最值实数的绝对值具有非负性，a 0，即a的最小值为0，但根据绝对值的代数意义求一些复杂问题的最值就要采用分类讨论法，比较麻烦。 若根据绝

2、对值的几何意义求最值就能够把一些复杂的问题简单化。例 1 :已知 M =x _1| +卜43，贝 U M 的最小值是_。【思路点拨】 用分类讨论法求出 x 1x 一 3 的最小值是4,此时3一x、1。如果我们从绝对值的几何意义来看此题，就是在数轴上求一点，使它到点1 和点- 3 的距离之和为最短。显然 若x丈-3,距离之和为1一(3)冲2( -3 x ) 4;若一3 x 1，距离之和为1-( 3)= 4;若x 1,距离之和为1 - ( -3)2( x -1)4。所以，当一3 - x送1时，距离之和最短，最小值为 4。故M的最小值为 4二、利用配方法求最值则这个代数式的最小值就为k完全平方式具有

3、非负性，一个代数式若能配方成一2.m ( a b )k的形式，例 2 :设a , b为实数，求a2ab b2 _a - 2 b的最小值。【思a , b的完全平方式有关的式子可以求出最小值。二是引入参数设a2ab b2a一2b t，将等式整理成关于a 的二次方程，运用配方法利当a丄=0, b -1 P,即a = 0, b =1时，上式中不等号的等式成立，故所求的最小值用判别式求最值。2解：(方法一)配方得：a2a(a-(a2abb a2 b亠 *2(b 1) a b 2 b2424.b -12r)3(b1)一 住=124b 1)2趙 3b2- -3b122*y z-(k 1)2(2 k 1)2(

4、3 k 2)2日4( k -5)2-59 591414 145当k时，上式中不等号的等式成立。故14三、利用对称图形求最值根据两点之间线段最短可以求出两条线段之和的最小值。若两条线段在某条直线的同侧时，可以利用轴对称的性质将在某条直线同侧的两条线段转化成在该直线异侧的两条线段，进而求出最值。例 4、如下图，已知边长为8 cm的正方形AB C D,点E在A B上，且A E二2 cm。在对角线B D上求作一点P，使AP EP最短，并求出它的最小值。(方法二)令a2ab b2_ a _ 2b t-,整理得a2(b - 1) a (b2一一2b- t ) - 0，由题可知此关于 a 的二次方程有实数解

5、，2 2叫宀.(b- 1) - 4( b - 2 b t )03b23231tb_ b l 一42432t _ - (b 1)14当b -1时，上式中不等号的等式成立，故t的最小值为1，即原式的最小值为【思路点r 尸y 1z _ 2，则x235 9C.9D. 61 42z2的最小值为(-2-k，则x2y2JZ2就可用含k的代数式3表示，再通过配方求最小值。y1-2解：令1 z _ 2- k，贝U x3-k 1, y -2 k 1, z 3k 2,59x2y2z2的最小值为-1 42引入参数设x - 1例 3 :若xA. 3 B.段最短”，只需把A P和EP转化到一条线段上，这就需要找到 方形是

6、轴对称图形，对角线B D所在的直线是它的对称轴，而点B D上找一点P，使AP EP的和最小。根据“两点之间线E点关于BD的对称点。正E的对称点E在正方形的【思路点拨】 此题是要在边BC上，连结AE交BD于点P，连结PE，所以PE= PE港，AE AP *PA已EP,则点P就是所求作的点。要想求AP EP的最小值，只要求AE的长即可。与该图形类似的还有菱形、圆。解：如上图，作出点E关于BD的对称点E，在连接AE交BD于点P，则点P就是所求作的点。由图可知 AP PE - AE 匸门8262- 10 ,即AP EP的最小值为 10求作点C , D，使四边形A BC D的周长最短？并求出周长的最小值

7、。AD卅D C +C B的最小值即可。要想求出它的最小值，设法把这三条线段构造在一条线段上，分别作出点A,B的对称点A ,B，连接A B，与 x 轴和y轴分别交于点C,D，则A B - A D D CC B - A D D C C B，于是点C , D就是所求作的点。然后分别以A B, A B为斜边构造R t A B E和Rt A B F，易知点E坐标为（6，4），点F坐标为_二比2jf r _（2,一3），AE -4, BE_1，所以 AB - AE BE -17，同理可得，A B -113，则四边形A B C D的周长的最小值是 V17+*113。四、根据垂线段最短求最值例 6 （、201

8、1 年南充中考）如图，等腰梯形A BC D中，AD / /BC, AD - AB CD 2,C 60,M是B C的中点。（1）求证：M D C是等边三角形；（2）将VlDC绕点M旋转，当MD（即MD）与AB交于一点E,MC（即MC）同时与 AD 交于一点F时，点E, F和点A构成例 5、如下图，在平面直角坐标系中，已知点A （2, 4）,点B（6, 3），分别在 x 轴、y轴上【思路点拨】已知点A,B为定点，所以AB的长固定不变，这样只要求出AEF.试探究AEF的周长是否存在最小值。如果不存在，请说明理由；如果存在，请计算出AEF周长的最小值。但当自变量 x 定义在某一区间内时，x 存在着最值

9、，函数y也就存在着最值。2二次函数y一ax bx c的图像是一条抛物线。当自变量 x 取一切实数时， 抛物线顶点的纵坐标就是函数y的最值。当自变量 x 定义在某一区间的条件限制时，函数y的最值有以下两种情况：（1）当抛物线的顶点在该区间内时，顶点的纵坐标就是函数y的最值。（2）当抛物线的顶点不在该区间内时，函数y的最值在区间内两端点处取得。例 7 :某家电生产企业根据市场调查分析，决定调整产品生产方案，准备每周（按120个工时计算）生产空调器、彩电、冰箱共360台，且冰箱至少生产60台，已知生产这些家电产品每台所需工时和每台产值如下表家电名称空调彩电冰箱【思路点拨】易证BME二.AMF.由此可

10、推出AEAF町AB 2同时可推出.M E F为等边三角形， 进而得到EF _ M F,根据“垂线段最短”可得M F的最小值为点M到AD的距离J3,即EF的最小值是J3。由此可得到AEF周长的最小值为23。 +解： （(1 )略懸AEF的周长存在最小值理由如下：连接AM,由（1）可得 ABM D是菱形，V MAB , MAD V MCD *是等边三角形，BM A - BMEAMEBM E/AM F-60,EM F - AM F -AME 60在BME与AMF中，BM w AM EBM - FAM -60BME j AMF (ASA )BE - AF ,ME - MF ,AE AF -AE BE

11、- ABEM F - D M C - 60,故EM F是等边三角形，.EF - M FvMF的最小值为点M到AD的距离3，即E F的最小值是3AEF的周长-AE AF1EF - AB EFA E F的周长的最小值为2+3.五、利用一次函数与二次函数的性质求最值一次函数y二kx b的图像是一条直线。当自变量 x 取一切实数时， 函数y不存在最值。111工时2 13|4产值（千元）432问每周应生产空调器、彩电、冰箱各多少台，才能使产值最高？最高产值是多少（以千元为单位）？【思路点拨】 根据题意，可分别令生产空调器X 台，彩电y台，冰箱z台，总产值，易得总产值与冰箱台成一次函数关系。 乡60,存在

12、最值。M （千兀）M （千兀）zM解：分别令生产空调器X 台，彩电y台，冰箱z台，总产值为M （千元）， 由题可得：fx + y=3601 1 1X y _ z 12011234a IKI整理得：Mz 41080( z 60)，因为k=_-0, M随122M =4 x十3 y+2 z|z - 601增大而减小，所以当z _ 60时，M有最大值，即M的最大值为60 1080 - 1050（千2z7203z元）.当z 60时，X30, y-270.22故：每周应生产空调器30 台， 彩电270 台，冰箱60 台，才能使产值最高，最咼产值为1050 千兀。8:设、2+2+ 例X1, X2是方程2 X

13、4 mx2m3m20的两个实根，当m 为何值时，x2援X2有最小值，并求这个最小值。1 2X12X22是关于m 的二次函数，从判别式入手，根据取值范围可分析出X12X22的最小值。_ 2解：由题可知二.二（4m ） - 4 2 （2 m2 2令y X1X2，贝U24m)2=2，3 m 2 = 2m2亠3m222【思路点拨】 由韦达定理可知22sj? 3m 2)辽0，解得：m _ -3y(X1 X2)22 X1X2 -(安排使用多少千度电？工厂每天消耗电产生利润最大是多少元?即y.2m23 m 2( m2；一）.由函数图像可知，当m - -2时，y有最小值，最小值为32( 2 )2-322 -8

14、.故：当392时，X123（2011 年南充中考）8X22有最小值，最小值为匚9某工厂在生产过程中要消耗大量电能，例 9:润与电价是一次函数关系，经过测算，工厂每千度电产生利润 工厂消耗每千度电产生利润是多少？（X（元/千度）与每天用电量 m（千度）的函数 60千度，为了获得最大利润，工厂每天应的函数图象如图：（1 ）当电价为 600 元/千度时，为了实现节能减排目标，有关部门规定，该厂电价 关系为x=10m+500，且该工厂每天用电量不超过消耗每千度电产生利y（元/千度）与电价X（元/千度）2）样（元/千度扌30020 0 -十!K炀/千度&5W【思路点拨】根据图像易求出每千度电产生

15、利润y（元/千度）与电价x（元/千度）的1函数解析式为y =：AJX帝300（ x _ 0）。令工厂每天消耗电产生利润为W元，易得51 1-2_ Wm y m (X300)m孑二一：-(10?m 500 300丨二+ 2 m200 m (0 me 60)，5(5根据二次函数的性质即可求出W的最大值。解：略(2)设工厂每天消耗电产生利润为W元，由题意得：I2尹Wm y m ( =4X+, 300) m一(10 m + 500) + 300 2 m + 200 m (0 m三60)5L 5J、2化简配方，得：W = 2( m- 50) +5000(0兰m荃60)当m二50时，W最大=5000。即当

16、工厂每天消耗50 千度电时，工厂每天消耗电产生利润最大为5000 元.六、利用均值定理求最值当a, b均为正实数，且a+b = k（定值）时，a十b 2（定值）当且仅当a =b时取等号，此定理称为均值定理。运用均值定理求最值要同时满足“一正、二定、三 相等”三个条件。多数运用均值定理求最值的问题的条件具有隐蔽性，需要适当地变形 才能用均值定理求解。求X- 2 y的最小值。求解。例 10 :已知正数【思路点拨】 把X 2y看作(X 2 y )1,1 用已知条件整体代换， 再用解：X2 y (X2疔1 (X2 y)(8XX 16yX16 y10 2 -2yX18，由题可知，当且仅且-8=1时Xy等号成立，又x 0, y 0,解得X 2 y的最小值为18.需对4x -2进行凑项才能求出定值。解：y 4 x 21_(5 4 x4 x 512 (5 4 x)3_2 3 _ 15 4 x1当且仅当54 x，即x5 - 4 x七、运用三角函数法求最值=一-：3( a b ) -r4sin20 + 3 cos2)=8sin20 一33例 12 : 已知实数