(自填)韩师2011《高代》专插本考试样卷(答案)

1、韩山师范学院2011年专升本插班生考试样卷数学与应用数学专业高等代数A卷题号一二三四五六七八九十总分评卷人得分、选择题(每小题3分，共15分)题号12345答案1 .m个方程n个未知量的线性方程组中，若其系数矩阵的秩等于m,则()成立。(A)方程组一定有解；(B)方程组一定有无穷多解；(C)方程组一定无解；(D)方程组一定有唯一解.2 .设E1E2EsAEs+1-Et=I,其中Ei为初等矩阵，i=1,2,，t,则A-1等于().(A)E1E2Et;(B)EtE2E1;(C)Es+1EtE1Es;(D)EtEs+1E1Es.A1,3 .设A1,A”,As都是n阶方阵，则对角线分块矩阵A2.的秩等

2、<As)于().(A)秩(AiA2As);(B)秩A1X秩A2Xx秩As；(C)秩(A1+A2+As);(D)秩A1+秩A2+秩As.4.设加,党,，健与伪,白，区均为线性相关的向量组，则下列结论正确的是().(A)od+01,c2+区，光+,线性相关；(B)a1+01,o2+国，研诊线性无关；(C)为，02，os,8,也，国线性相关；(D)on,C2,，cs,跳也，3线性无关.5.%=/2,2,-1%12,-1,2是R3的规范正交组，添加()1333)1333J可以扩充为R3的规范正交基.（A）（3，（C）-2223，一3（D）,321,33；237.矩阵A=的矩阵.01"T

3、10与B=001)I。（）00”10可以看成某一线性变换关于两个基的02（）二、填空题（把答案填在题中横线上。每小题3分，共15分）1 .在n元排列中，反序数最大的排列的反序数为.2 .实数域上的不可约多项式的次数只能是.3 .f（x）=2xmxn矩阵A的行向量组所生成的Fn的子空间叫做A的.三、判断题（每小题2分，共14分.你认为正确的，在题后圆括号内打，错误的打“X”。）1.81357246是偶排列.（）2.多项式x4-2x3+2x-3在有理数域上是不可约的.（）3.设A是n阶方阵，那么det（-A）=-detA.（）4.在欧氏空间V中，当向量U于0尸#0时，有化尸尸&/2.（）5

4、.设f:2B,g:B-C是映射，又令h=g0f.如果h是单射，那么g也是单射.6.复数域上两个n元二次型等价的充分必要条件是它们的矩阵有相同的秩10x4.复数域C作为实数域R上的向量空间，维数是.+16x316x2+14x6在Qx内的典型分解式为1-63四、（8分）求矩阵A=054的逆矩阵.1064,五、（8分）求齐次线性方程组X|-x2+5x3-x4=0,jx1+x2-2x3+3x4=0,3xi-x28x3x4=0,xi3x2-9x37x4=0的一个基础解系.六、（8分）计算行列式daba+b+ca2a3abb2b3c2c3cdd2d3七、（8分）证明：多项式f（x）=1十x2土2!川十土在

5、复数域C内没有重根.n!八、（8分）设向量组%线性无关，证明口+P,P+Z¥+u也线性无关.九、（8分）设仃是数域F上向量空间V上的一个线性变换，口和P是仃的属于不同本征信九,N的本征向量.证明：Vk=F（k#0）,口+kB不是b的本征向量.十、（8分）设A与B都是n阶方阵.证明：如果AB=O,那么秩A+秩B&n.【自己得出来的答案】1 .A2 .C(由已知A=(E1E2-Es)A-1(Es+1Et)A-1所以AA-1=Es+1-EtE1E2-Es)3 .D(r(A)=r(A1)+r(A2)+r(As)4 .C(部分相关则整体相关，整体无关则部分无关)5.B(利用正交来做，再

6、单位化)(属于不同特征值的特征向量彼此正交，故(a1)at*a3=0,(a2T*a3=0即解齐次线性方程组，其系数矩阵为(2/32/3-1/3)2/3-1/32/3一a3=(1-2-2/(1A2+(-2)A2+(-2)A2)=(1/3-2/3-2/3(最后一步是标准化)1. n(n-1)/22. 1或2(实数域上的不可约多项式类型有2种:一次多项式,只含非实共腕复数根的二次多项式.所以是1或2)3. f(x)=2(x-1)(x-3)(xA3-xA2+x-1)4. 25. 行空间三.1. 错(反序数为13,是奇排列)2. 对3. 错(det(-A)=(-1)AndetA）4. 对5. 错（f为单

7、射）6. 对7. 错(一个线性变换b在两个基下的矩阵A、B的关系是相似(即B=Ta-1AT),而相似矩阵必有相同的特征值，故有相等的行列式与迹)四.00五.-3/2己1=1-3-3/2-2-3/235/2-17/2己2=-21001六.将第2行加到第1行第1行提出公因子a+b+c+d行列式化为范德蒙行列式故D=(a+b+c+d)(b-a)(c-a)(d-a)(c-b)(d-b)(d-c)七.令g(x)=f(x)=1+x+xA2/2!+xA3/3!+.+xA(n-1)/(n-1)!f(x)=g(x)+xAn/n!显然g(x)不能整除xAn/n!(后者只有0为根。0显然不是g(x)的根)所以g(x

8、)也不能整除f(x),所以f(x)无重根(多项式有重根的充要条件是能被导数整除)八.证明：假设a+0B+丫丫+a线性相关,则存在一组不全为零的数kl,k2,k3,使得k1(a+0)+k2(0+丫)+k3(丫+a)=0(k1+k3)a+(k1+k2)0+(k2+k3)丫=0又因为aBy线性无关所以k1+k3=k1+k2=k2+k3=0解得k1=k2=k3=0与假设矛盾，所以假设不成立所以a+BB+y丫+a线性无关九.解：反证，设a+kB是线性变换(T的属于本征值(的本征向量WJ(r(a+kB)=t(a+kB),所以(r(a)+k(r(B)=(a+ktB,由已知，(a,B是分别属于(T的两个不同本征信入、卜的本征向量)(r(a)=2ia,(t(B)=nB,所以入a+kpB=ta+k(B,所以(-入)a+k(-以)B=0.由于属于不同本征值的本征向量线性无关，所以(-入)=k(1-n)=0.由于kw0,所以(=人=g这与已知矛盾(题中入、11是不同的本征值).注：1 .属于不同本征